《大学物理期末复习》刚体动力学

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1、本节内容 一 、 刚 体 运 动 学 （ 复 习 ） 。二 、 刚 体 的 转 动 定 律 。 三 、 刚 体 的 转 动 惯 量 。1、 理 解 力 矩 及 转 动 惯 量 ， 掌 握 平 行 轴 定 理 ； （ 实 验 ） 2、 掌 握 转 动 定 律 ； 矢 量 的 矢 乘 积 ， 俗 称 叉 乘 ：大 小 ： 两 矢 量 构 成 的 平 行 四 边 形 面 积ABBAC C C ABABBA )0(sin ，ABBAC 质 点 动 力 学 小 结一 、 牛 顿 力 学 三 定 律 amdtvdmvmdtdF )(二 、 动 量 定 理 力 的 时 间 累 积 作 用 规 律12 - P

2、PPdtFI 三 、 动 能 定 理 力 的 空 间 累 积 作 用 规 律四 、 动 量 守 恒 定 律五 、 机 械 能 守 恒 定 律 质 点 动 力 学 的 三 大 武 器 k1rr k2 EErdFW 21 刚 体 ： 在 运 动 过 程 中 形 状 和 大 小 不 变 的 物 体主 要 研 究 内 容1、 刚 体 的 定 轴 转 动 的 运 动 描 述2、 刚 体 定 轴 转 动 定 律3、 刚 体 定 轴 转 动 的 角 动 量 定 理 与 角 动 量 守 恒4、 刚 体 定 轴 转 动 的 动 能 定 理 、 刚 体 的 势 能 。 刚 体 力 学 基 础理 想 模 型 。研

3、究 方 法 ： 牛 顿 质 点 力 学 的 理 论 质 点 系 叠 加 原 理 二 、 定 轴 转 动 的 角 量 描 述1、 刚 体 的 角 坐 标 与 角 位 移Ox轴 上 角 坐 标 为 正 ， 反之 为 负 。 X转 动 方 向 与 转 轴 方 向 成右 手 螺 旋 关 系 的 角 位 移为 正 ， 反 之 为 负 。 2、 刚 体 的 角 速 度 ： dtd Z Z面 对 转 轴 正 向 ， 逆 时 针 转 动 刚 体 的角 速 度 为 正 ， 反 之 为 负 。转 动 方 向 与 转 轴 方 向 成 右 手 螺 旋 的角 速 度 为 正 ， 反 之 为 负 。0 0 4、 刚 体

4、定 轴 转 动 中 角 量 和 线 量 的 关 系 22dtddtd rv dtd 与 方 向 一 致 时 ， 刚 体 加 速 转 动 ； vr3、 刚 体 的 角 加 速 度 ： 与 方 向 相 反 时 ， 刚 体 减 速 转 动 ；角 加 速 度 方 向 为 沿 轴 方 向 rv rat 22 rrvan 在 刚 体 作 匀 角 加速 转 动 时 ， =常 数 ，有 以 下 相 应 的 公 式 : 200 21 tt t 0 )(2 0202 在 质 点 作 匀 加 速 直线 运 动 时 ， a =常 数 ， 有以 下 相 应 的 公 式 : 200 21attvxx atvv 0 )(2

5、 0202 xxavv 第 五 节 特 殊 质 点 系 的 定 理 与 守 恒 定 律 改 变 刚 体 的 转 动 状 态 需 要研 究 力 的 哪 些 方 面 ？问 题 三 门 的 开 关 是 日 常 生 活 中 典 型 的 刚 体 的定 轴 转 动 的 情 形 。 请 问 在 任 何 位 置 处 推 开门 所 需 的 力 的 大 小 都 一 样 吗 ？ 除 了 力 的 大小 我 们 还 需 要 考 虑 力 的 哪 些 方 面 ？ Pz *O Fr dFdFrM sin: 力 臂d FrM 对 转 轴 z 的 力 矩 F力 矩 M用 来 描 述 力 对 刚 体 的 转 动 作 用 0,0 i

6、 ii i MF FF 0,0 i ii i MF FF 讨 论 12 fff 1frkMz sin1rfMz （ 1） 若 力 不 在 转 动 平 面 内 ， 把 力 分 解 为 平行 和 垂 直 于 转 轴 方 向 的 两 个 分 量 f 其 中 对 转 轴 的力 矩 为 零 ， 故 对 转轴 的 力 矩 2f f Z 1fr PO 转 动 平 面2f fzM O（ 2） 合 力 矩 等 于 各 分 力 矩 的 矢 量 和 321 MMMM（ 3） 刚 体 内 作 用 力 和 反 作 用 力 的 力 矩 互 相 抵 消 。ji MM jrir i jiF jFdiMjM一 对 内 力 的

7、力 矩 之 和 为 零 ! 力 矩 、 转 动 定 律 、 转 动 惯 量一 、 力 对 转 轴 的 力 矩 （ 总 结 ） frM z Z fr PdO zM 转 动 平 面fdM z Z 1fr PO 转 动 平 面2f fzM 1frM z f1、 力 在 转 动 平 面 内 2、 力 不 在 转 动 平 面 内sinfr rfsinrd sinff 对 mi 用 牛 顿 第 二 定 律 ：切 向 分 量 式 为 ：Fit外 + fit内 = mi ait外 力 矩 内 力 矩二 、 定 轴 转 动 定 律 的 推 导 iiii amfF 内外 两 边 乘 以 ri？ 2iiiitiit

8、 rmrfrF 内外 刚 体 在 外 力 作 用 下 如 何 转 动 ？ iiit iiit ff FF sinsin ri mi i i外iF 内ifait=ri 对 所 有 质 元 的 同 样 的 式 子 求 和 ：一 对 内 力 的 力 矩 之 和 为 零 ？令 J mi ri2 ，用 M 表 示 合 外 力 矩M J 刚 体 的 定 轴 转 动 定 律只 与 刚 体 的 形 状 、 质 量 分 布 和 转 轴 位 置 有 关 刚 体 绕 定 轴 转 动 时 ， 作 用 于 刚 体 上 的 合 外 力 矩等 于 刚 体 对 转 轴 的 转 动 惯 量 与 角 加 速 度 的 乘 积 。

9、)(sinsin 2 i iii iiii iii rmrfrF )(sin 2 i iii iii rmrF J ： 称 为 刚 体 对 于 转 轴 的 转 动 惯 量 ri mii i外iF 内if JM讨 论 :1、 仅 适 用 于 刚 体 定 轴 转 动 的 情 形 ；JM2、 M 是 刚 体 所 受 的 合 外 力 矩 ；3、 J 是 描 述 刚 体 转 动 惯 性 的 物 理 量 ；4、 此 定 律 的 作 用 与 牛 顿 第 二 定 律 相 类 似 。力 矩 M的 作 用 是 什 么 ？ 转 动 惯 量 J的 作 用 是 什 么 ？ 竿子长些还是短些较安全？ 飞 轮 的 质 量

10、为 什 么大 都 分 布 于 外 轮 缘 ？ (2) 为 瞬 时 关 系 (3) 转 动 中 与 平 动 中 地 位 相 同 maF JM (1) , 与 方 向 相 同 JM M 转 动 定 律 应 用 JM 三 、 刚 体 定 轴 转 动 定 律 的 应 用 隔 离 物 体 ， 分 析 受 力 ， 选 择 坐 标 ， 建 立 方 程 。 建 立 方 程 ： 对 质 点 ， 应 用 牛 顿 第 二 定 律 ； 对 刚 体 ， 应 用 定 轴 转 动 定 理 。 注 意 使 用 角 量 与 线 量 的 关 系 。解 题 步 骤 ： 例 1、 一 个 质 量 为 、 半 径 为 的 定 滑 轮

11、（ 当作 均 匀 圆 盘 ） 上 面 绕 有 细 绳 ， 绳 的 一 端 固 定在 滑 轮 边 上 ， 另 一 端 挂 一 质 量 为 的 物 体 而下 垂 。 忽 略 轴 处 摩 擦 ， 求 物 体 由 静 止 下 落高 度 时 的 速 度 和 此 时 滑 轮 的 角 速 度 。 mg解 ： : maTmgm 对 221 MRJJTRMM ：对 Ra gMm ma 2解 方 程 得 ： 242 Mmmghahv MmmghRRv 2 41 221 MRJ 2m 1maa amTgm 222 amgmT 11 1 2312 21 RmJJRTRTMM ：对 gm22T 1Tgm111 TT 2

12、2 TT Ra 角 量 和 线 量 的 关 系 ： 2.16 2T 1T 3m 例 2、 一 个 飞 轮 的 质 量 为 69kg， 半 径 为 0.25m,正 在 以 每 分 1000转 的转 速 转 动 。 现 在 要 制 动 飞 轮 ， 要 求 在 5.0秒 内 使 它 均 匀 减 速 而 最 后停 下 来 。 求 闸 瓦 对 轮 子 的 压 力 N为 多 大 ？ F0解 ： 飞 轮 制 动 时 有 角 加 速 度 )/(9.20 20 sradt rad/s7.10460 21000min/r10000 外 力 矩 是 摩 擦 阻 力 矩 ， 角 加 速 度 为 负 值 。 2mRJN

13、RRfM r 2mRNR )(5.360 NmRN 1s5 0 t 0Nfr 稳 定 平 衡 状 态 ， 当 其 受 到 微 小 扰 动 时 ， 细杆 将 在 重 力 作 用 下 由 静 止 开 始 绕 铰 链 O 转动 试 计 算 细 杆 转 动 到 与 竖 直 线 成 角 时的 角 加 速 度 和 角 速 度 例 2.17 一 长 为 l 、质 量 为 m 匀 质 细 杆 竖 直 放置 ， 其 下 端 与 一 固 定 铰 链O相 接 ， 并 可 绕 其 转动 由 于 此 竖 直 放 置 的 细杆 处 于 非 m,lO mg231 mlJ 解 细 杆 受 重 力 和铰 链 对 细 杆 的 约

14、 束 力 作 用 ， 由 转 动 定 律 得 NF Jmgl sin21 231 mlJ sin23 lg m,lO mgtt dddddd dd lg dsin23d )cos1(3 lg 0 0 四 、 转 动 惯 量 :i iirmJ 2 若 质 量 连 续 分 布 dmrJ 2刚 体 对 某 一 转 轴 的 转 动 惯 量 等 于 每 个 质 元 的 质 量 与这 一 质 元 到 转 轴 的 距 离 平 方 的 乘 积 之 总 和 。J 的 单 位 ： kgm2 dldm dsdm dVdm 质 量 为 线 分 布质 量 为 面 分 布质 量 为 体 分 布 其 中 、 、 分别 为

15、质 量 的 线 密度 、 面 密 度 和 体密 度 。线 分 布 体 分 布面 分 布 3、 刚 体 的 形 状与 转 动 惯 量 有 关 的 因 素 ：1、 刚 体 的 质 量 2、 转 轴 的 位 置 几种常见刚体的转动惯量 书 ：80页 例 1、 求 长 为 l 、 质 量 为 m 的 均 匀 细 棒 对 图 中 不 同 轴 的 转动 惯 量 。A Bl XA Bl /2 l /2C X解 ： 222 2 121 mldxxJ llC 20 2 31mldxxJ lA dxx dxx dmrJ 2 问 :同 一 物 体 转 轴 不 同 , J是 否 相 同 ?取 如 图 坐 标 ， dm

16、=dx注意 只 有 对 于 几 何 形 状 规 则 、 质 量 连 续 且 均 匀 分 布的 刚 体 ， 才 能 用 积 分 计 算 出 刚 体 的 转 动 惯 量 四 、 平 行 轴 定 理231 mLJ A结 论 :若 有 任 一 轴 与 过 质 心 的 轴 平 行 ， 相 距 为 d，刚 体 对 其 转 动 惯 量 为 J， 则 有 ： J JC md2。这 个 结 论 称 为 平 行 轴 定 理 。A BL/2 L/2C231 mlJ A 2121 mlJ C 22 41121 mLmL 22 LmJC 5、 求 质 量 为 m、 半 径 为 R、 厚 为 l 的 均 匀 圆 盘 的 转 动惯 量 。 轴 与 盘 平 面 垂 直 并 通 过 盘 心 。解 ： 取 半 径 为 r宽 为 dr的 薄 圆 环 ,lrdrdvdm 2 drlrdmrdJ 32 2 ZO RlRdrlrdJJ R 40 3 212 22 21 mRJlRm 问 ： 实 心 圆 柱 对 其 轴 的 转 动 惯 量 是 多 少 ? 作 业 Bye-bye1、 质 点 、 刚 体 的 角 动 量 、 角 动 量 定 理 及 其 守 恒 定 律 ，2、 力 矩 的 功 、 转 动 动 能 定 理 、 刚 体 的 势 能 。作 业 ： 一 、 1， 2， 3， 4动 量 部 分 习 题 课