材料力学第六章弯曲变形

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1、材料力学第六章材料力学第六章-弯弯曲变形曲变形第六章第六章 弯曲变形弯曲变形基本要求基本要求:1.掌握挠曲线近似微分方程；2.会应用积分法、叠加法计算梁的变形及弯曲刚度计算；3.熟悉提高弯曲刚度的措施。重点重点:积分法、叠加法计算梁的变形及弯曲刚度难点：难点：叠加法计算梁的变形及弯曲刚度。课时：课时：4学时第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6.6 6.6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一

2、些措施6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证构件的正常工作，成为弯曲变形问题。出现“爬坡”现象 使齿轮啮合力沿齿宽分布极不均匀，加速齿轮的磨损。C 挠度w和转角的正负号与所选的坐标系有关，在图示所选坐标系中，规定挠度w与坐标的正向一致者为正，反之为负。转角规定以逆时针转者为正，反之为负。构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。梁在横向力作用下发生弯曲变形，轴线由

3、原来的直线变成一条光滑曲线。这条曲线叫梁的挠曲线挠曲线。梁变形后，梁的任一截面的形心C沿与原轴线垂直的方向相对于原来的位置产生了一个线位移。这个位移就叫做该点的挠度（挠度（w），常用单位为cm或mm。对于平面弯曲，挠曲线是一条位于纵向对称平面内的平面曲线。梁的任一横截面相对于原来的位置绕中性轴旋转了一个角度。这个角位移叫做该截面的转角转角()，常用单位为rad。一、挠度和转角一、挠度和转角xxyFOw 我们知道了挠曲线方程式，对x求一次导数，就可以得到转角方程式。因此，研究梁的变形问题的关键就是建立挠曲线方程式。挠度w与转角是坐标x的函数：w=f(x)挠曲线方程式 =f(x)转角方程挠曲线的斜

4、率为：反映了挠度和转角之间的关系对于小变形情形，转角的值很小二、挠曲线方程和转角方程二、挠曲线方程和转角方程从微分学知，曲线w=f(x)上任一点处的曲率公式：说明：说明：1.1.适用范围：虎克定律使用的弹性范围适用范围：虎克定律使用的弹性范围且当变形很小；可略去剪切变形的影响。且当变形很小；可略去剪切变形的影响。2.2.挠曲线近似微分方程，其结果虽然是挠曲线近似微分方程，其结果虽然是近似的，但对于大多数工程实际问题来说近似的，但对于大多数工程实际问题来说是能够满足其精度要求的。是能够满足其精度要求的。上一章中，得出梁的任一微段曲率公式：挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线微分方程挠曲线微

5、分方程6.2 6.2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形转角方程挠曲线方程积分法计算梁的变形的步骤：积分法计算梁的变形的步骤：1.建立梁截面的弯矩方程式M(x)；2.代人挠曲线近似微分方程式，并积分；3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式；4.求梁任一截面的转角和挠度。挠曲线近似微分方程积分积分式中C和D是待定的积分常数，可根据梁的具体条件来确定。一、积分法求弯曲变形一、积分法求弯曲变形固定端铰支座二、边界条件和连续性条件二、边界条件和连续性条件 1.边界条件：边界条件：在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的。（1）当弯矩方程需要

6、分段建立时，各段的挠度、转角方程将不同，但在相邻梁段的交接处，挠曲线应该是一条连续光滑曲线，不应有图6.7 a和b所示的不连续和不光滑的情况。即在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。（2）中间铰处，挠曲线是连续而不光滑的，即铰两恻的梁，在中间铰处挠度相等，但转角不相等。在中间铰处挠度相等，但转角不相等。2.2.连续性条件：连续性条件：解解(1)(1)列出弯矩方程式列出弯矩方程式(3)(3)积分。积分。用积分法求解wmax(2)(2)建立挠曲线近似微分方程建立挠曲线近似微分方程d=2wmax例例6.16.1 图(a)为车床上用三爪夹紧工件进行切削

7、的示意图。图(b)为其计算简图。若车刀作用于工件上的力P=360N，工件直径d=1.5cm，长度l=7.5cm，工件材料的弹性模量E=200GPa，试问由于工件弯曲变形而产生的最大直径误差是多少?工件长度增至2L，工件的直径误差将增加8倍。即随着工件长度的增加，其加工精度将明显降低，甚至很难加工，因此，卡盘夹紧法常用来加工短粗工件，对于细长工件，需利用尾架顶尖或中间直接安装中心架等方法，以减小工件变形，保证加工精度。(5)(5)确定最大挠度确定最大挠度工作的最大挠度发生在自由端。=l时得(4)(4)确定积分常数确定积分常数C C和和D D当=时，=，w=，=支反力AC段（0 x1a）（ax2l

8、）CB段解解(1)(1)分段列出弯矩方程式分段列出弯矩方程式M(x)M(x)。CB段AC段（2 2）代人挠曲线近似微分方程式，并积分；）代人挠曲线近似微分方程式，并积分；例例6.26.2内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可简化成在集中力F作用下的简支梁，如图6.10所示。试讨论这一简支梁的弯曲变形。边界条件:当1=时，w1=；当=l时，w=连续条件:当1=时，1=，w1=w 将其代入，得转角和挠度方程式为：（3 3）确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式；）确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式；得(4)(4)求最大挠度。求最大挠度。得：令当时，x1a，wmax发生在AC段内。若求最大转角，求

9、A、B，比较大小，取其大者。以l=0.5l代入w1得:当当载荷P处于梁中点，即=l时，l=0.5l；当载荷移至支座B,即时 即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距中点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大挠度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程中当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度发生在梁的中点，其结果误差不超过3。例例6.3 桥式起重机的大梁和建筑中的梁都可简化成简支梁，梁的自重就是均布载荷。讨论在均布载荷作用下，简支梁的弯曲变形。解解：(1)列出弯矩方程式列出弯矩方程式(2)建立挠曲线近似微分方程式建立挠曲线近似微分方程式,积分。积分。x=0时，w=0；x=l时，w=

10、0代入以上两式得转角方程及挠曲线方程为x=l/2时，w=0,说明：说明：因为梁结构对称，挠曲线在跨度中点对称。因此，该点处出现挠度的最大值。(4)(4)确定最大挠度和转角确定最大挠度和转角(3)(3)确定积分常数确定积分常数C C和和D D6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 由于梁的挠曲线近似微分方程式是线性微分方程式，梁截面的剪力、弯矩、转角和挠度都是载荷的线性函数。因此可用叠加法计算梁的变形。即，由载由载荷系引起的挠度曲线就等于由各载荷单独作用时所引荷系引起的挠度曲线就等于由各载荷单独作用时所引起的挠度曲线的迭加。起的挠度曲线的迭加。当梁上作用有各种不同的载荷时，M(x)

11、就有比较多的项，若继续采用积分法计算梁的变形，其计算过程就比较繁琐，为此，在工程中常采用叠加法。运用叠加法，可以求出载荷共同作用下的挠度和转角。其步骤如下:1.1.求出各载荷单独作用时的变形；求出各载荷单独作用时的变形；2.2.求其代数和求其代数和 。从表 6.1(10)、(8)查得：()总挠度为：解解首先把作用在粱上的载荷系分解为只有均布载荷q作用 和只有集中力P作用两种情形。()例例6.46.4图示简支梁，承受均布载荷和集中力F的作用，试求梁中点C的挠度(EI为常数)。例例6.5 车床主轴可简化成图示外伸梁。F1为切削力，F2为齿轮传动力。若把外伸梁作为等截面梁，求截面B的转角和端点C的挠

12、度。解：设想沿截面解：设想沿截面B将外伸梁将外伸梁分成两部分。分成两部分。AB部分为简支梁(图c)，梁上除集中力F2外，在截面B上还有剪力FS和弯矩M，且FS=F1，M=F1a。剪力FS传递于支座B,不引起变形。在F2作用下，由表6.1（8）（1 1）求截面）求截面B B的转角的转角在弯矩M作用下，由表6.1（6）也是外伸梁在截面B的转角 引起的挠度（b）求截面）求截面C的挠度：的挠度：F1作用下的挠度：把BC部分为悬臂梁(图d)，由表6.1（2）得引起的挠度和F1作用下的挠度之和。C点的挠度为转角 例例6.6 在简支梁的一部分上作用均布载荷(图6.13)。试求跨度中点的挠度。设查表6.1（9

13、），微分载荷dF=qdx引起的挠度为则跨度中点C的挠度为解：解：可将梁分为两段，用积分法。现用叠加法。1.max和和wmax所在位置的判断、对称性的利用所在位置的判断、对称性的利用 (1)悬臂梁受同向的横向载荷作用时，或横向载荷和集中力偶对固定端之矩具有相同符号时，max和wmax总出现在自由端；(2)简支梁的max总出现在左、右支座截面处，wmax根据求函数极值的原理，总出现在=0的截面处；(3)对称结构受对称载荷作用时，在对称截面(该截面处不装中间铰)上，转角为零。即=0，并有wmax；(4)max和wmax指的是绝对值最大的转角和挠度。2.用叠加法借助查表求弯曲变形时的注意点用叠加法借助

14、查表求弯曲变形时的注意点 (1)勿舍简就繁；(2)根据题给情况作物理量的代换，不能照搬公式；(3)当题给载荷与表中反向时，表中给出的转角、挠度均应取相反的符号；(4)当挠曲线方程为分段函数时，应注意每段函数的适用范围，不能随意取一个。几点应注意的问题：几点应注意的问题：6.6 6.6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施 影响梁弯曲变形的各种因素：(1)梁的几何尺寸(惯性矩I和梁长L)，(2)材料的弹性模量,(3)梁的支承和载荷情况。各类钢材的弹性模量E变化不大，当承载能力主要受刚度条件限制时采用高强度优质钢是不恰当的。提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施一、改善结构形式一、改善结构形

15、式减小弯矩减小弯矩二、选择合理的截面二、选择合理的截面增大惯性矩增大惯性矩三、超静定梁三、超静定梁四、预加反弯度四、预加反弯度 一、改善结构形式一、改善结构形式一、改善结构形式一、改善结构形式减小弯矩减小弯矩减小弯矩减小弯矩皮带轮采用卸荷装置：皮带拉力经滚动轴承传给箱体，它对传动轴不再引起弯矩铸件进行人工时效时，图a比图b的堆放方式合理。因为按前一种方式堆放时，铸件内的弯矩较小，弯曲变形也就小。1.1.减小弯矩减小弯矩2.2.2.2.改变载荷施加方式和支座位置改变载荷施加方式和支座位置改变载荷施加方式和支座位置改变载荷施加方式和支座位置1.改变载荷施加方式。将集中力改为分散在两处施加或均布到全

16、梁可提高梁的强度，并可减小变形，提高刚度。2.改变支座位置。将简支梁改为外伸梁，使支座靠近，可提高梁的强度，也可使梁的变形明显减小，提高刚度。静定梁的跨长L对弯曲变形影响最大，因为挠度与跨度的三次方(集中载荷时)或四次方(分布载荷时)成正比。随着跨度的增加，静定梁的刚度将迅速下降，这一特点就大大限制了静定梁的使用范围。因此，对于变形过大而又不允许减少其跨长的承弯杆件，根据不同要求，可采用超静定梁或桁架等结构。3.3.3.3.减少梁长减少梁长减少梁长减少梁长二、选择合理的截面二、选择合理的截面二、选择合理的截面二、选择合理的截面增大惯性矩增大惯性矩增大惯性矩增大惯性矩 改变截面形状，在截面积基本

17、不变的情况下使惯性矩增大，可减小弯曲变形。一般空心薄壁截面的惯性矩都比同面积的实心截面为大。导轨、床身、立柱、大行程焊架悬臂多采用空心薄壁截面。三、超静定梁三、超静定梁三、超静定梁三、超静定梁 在镗长孔时安装尾架，车细长轴时加顶尖支承，都是增加梁的支承点。又如两端简支的圆轴，如其一端改用两个轴承或改用宽滑动轴承，则其约束接近固定端。四、预加反弯度四、预加反弯度四、预加反弯度四、预加反弯度 对负载向下的天车梁，一般在制造时要求有上拱度L/500L/700。在焊接船舶甲板、大型水闸等易产生下挠结构时也常采用预加反挠度的办法。小小 结结梁的变形描述量挠度w转角计算方法积分法1.建立弯矩方程式M(x)

18、；2.代人挠曲线近似微分方程，进行积分；3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式；4.求任一截面的挠度和转角。叠加法1.求出各载荷单独作用时的变形量；2.求其代数和刚度条件提高刚度的措施1.减小弯矩 2.改变载荷施加方式和支座位置；3.减少梁长；4.增大惯性矩；5.超静定梁；6.预加反弯度。挠曲线近似微分方程习题：习题：P197：6.1a、b，6.3d，6.4b，9.10c，6.11c，6.15纯弯曲时的正应力公式推导纯弯曲时的正应力公式推导超静定问题。综合考虑变形几何、物理和静力学关系来解决。超静定问题。综合考虑变形几何、物理和静力学关系来解决。P142:P142:图5.4(5.1)(5.1)回顾考虑以下问题回顾考虑以下问题:1.表示什么?2.图中OO 是什么线?3.EIZ表示什么量？结束结束