结构动力知识学知识题解答

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1、第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守 恒定理法。1、牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律m餐工F，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2 ）禾U用动量距定理J疾工m，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的

2、特征根，得到该系统的固有频率。3、拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标0的动能T和势能U的表达式; 进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L二T-U ；（2 ）由格朗日方程 （知-|L =0，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const（2 ）将能量守恒定理T+U二Const对

3、时间求导得零，即d（丁 + U）= 0，进一步得到 dt系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法方法一：衰减曲线法。求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波 谷的幅值 A 、 A 。ii+1A（2 ）由对数衰减率定义5二ln（，进一步推导有Ai+15=_2Z 2 因为:较小，所以有方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：（2）分析以上幅频曲线图，得到：卩二

4、卩 / 2 二、：2匚 /4 ；1,2max于是 2 = （1 一 2匚）0 2；1n进一步 2 二（1 + 2匚）0 2 ；2n最后匚=6 -0 ）/ 20 二 Am / 2o ；2 1 n n1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法 方法一：幅频（相频）曲线法当单自由度系统在正弦激励F sin0 “乍用下其稳态响应为：0x = A sin(m t-a),其中：(1)(2)从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述(1),(2 )式求得阻尼比匚。方法二：功率法：(1)单自由度系统在F sin

5、o丫作用下的振动过程中，在一个周期内，弹性力作功为阻尼力做功为Wd 一帧 cA * 2、激振力做作功为W = _冗 F sin a ； f0即：2) 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，W + W + w = 0 :cdf于是兀 F sin a -兀o a 2 = o0c进一步得：A = F sin a co ；(3 ) 当 o =o 时，sin a = 1nA = x 1 1 1 + (k k , 1 2丿 ,maxst卩二I/2 J匚二2卩maxmax1.4 求图 1-35 中标出参数的系统的固有频率。刚度为48EIL348EIk48EI+kl3(1)此系统相

6、当于两个弹簧串联，弹簧刚度为心 简支梁则固有频率为：W(48 EII348 EI + k 13图 1-33（a）2）此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为:k = k1 +48EI ;13则固有频率为:T:kl 3 + 48 EI 二二i； mml 3m图 1-33（b）（3）系统的等效刚度为k1 k13EI3EIk = k += k + 1l31l 3则系统的固有频率为w _ 卜13 + 3EImml 3图 1-33（c ）4）由动量距定理Y m(F)= I瞅得： 00(19 -k - 1 + 19 -k - 1)二丄 ml 20 2 i 22122得：露-k10= 0 ,/VX/ 2m2m

7、图 1-33 ( d )1.5求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.解：以e为广义坐标，则系统的动能为t=t重物+ t轮厂2（m）s+21 o旌系统的势能能为：u=u重物+ u弹簧二-x+2尬2拉格朗日函数为L=T-U ;由拉格朗日方程（理）旦=0得dt。玫 dxkx = 0g则，所以：系统的固有频率为、:|1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R，质量为M，作纯滚动。弹簧刚度为K。解：磙子作平面运动，其动能T=T平动+T转动。xW W/N图1-35而势能系统机械能T=1 M&2；平动 21 /妇=I 2 IR丿T转动1 1 3 T =

8、 2MX2+4 MX2 蔦 MX2 ；U =丄 Kx 2 ；231T +MX + 2 Kx 2 =C ;由A（T + U）= 0得系统运动微分方程 dt得系统的固有频率O =严；3M1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质量为mB，半径为rB杆AC的扭转刚度为KA,杆BD的扭转刚度为KB,解：由齿仑转速之间的关系 ArA =O BrB得角速度b系统的动能为：T = T + T = 1J2 +1 j2ArBr、；转角9AA B 2 A A 2 B B(2 Am r 22丿(2 Am r 222 = 4 (nA + mB Za2 ；图 1-36系统的

9、势能为：U = 2 KaQ aBQB 2 一一 A T AQ 2BB)=1KAr2AB r 2 丿 ABl2;系统的机械能为T + U = 4 (nA + mB hr 2 I c亠 Q 2 = C ； B r 2 I ABl由A (T + U )= 0得系统运动微分方程 dtKBr 2 A；T lQ a = 0 ；B丿因此系统的固有频率为2( K + K=imr 2AA B 2 丨2+ m 2A B A2 K + KA1.8已知图1-37所示振动系统中，匀质杆长为L，质量为m,两弹簧刚度皆为K,阻尼系数为C,求当初始条件e =q& = o时00(1) f (t) = F sin o t 的稳态

10、解；(2) f (t) = 6 (t)t 的解；解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程jeg=-cf斗2敢K(L 20+ f (t)L K(L A2e12丿IN212丿J = J r2 dm = J r2 dr =LLmL212图 1-3722L2翼 3CL2% 6KL20 = 6Lf (t)；化简得幽 3C 除 6K 0 =2 f (t)m m mL(1) 求 f (t) = F sint的稳态解；(1)将f (t) = F sint代入方程(1)得3C % 理 0 = F sin tmL(2)令 2n = 3C; 2 =理;h =里；得m n m mL3)设方程(3)的稳态解为x = A

11、sin t-a)4)将(4)式代入方程(3)可以求得：A =-6F(2)求f(t) =8(t)的解;将f (t) = 8 (t)代入方程(1)得令 2n = 3C ； 2 =竺；h = 6 -m n mmL2 - 2 / + 4n 2 2 Lvn(K 一 m 2 ) + 9C 2 22n3C a = arctg= arctg 2 -26K - m2n3C 除匹 0= 8 (t)m m mL5)00- 2n0 20 = h8(t)n6)方程(6)成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励h8 (t)的响应。由方程(6 )可以得到初始加速度然后积分求初始速度0籃=t = J h8 (t)d t = h

12、 J 8 (t)d t = h ；再积分求初位移0t = h J )d t = 0 ；0 0 =这样方程（6 ）的解就是系统对于初始条件驚、嘴和Q 的瞬态响应x = Aesin6 t + 9)；d将其代入方程（6）可以求得：A = ; 9 = 0;最后得x = Ae nt sin Co t + 9)=-e nt sin Co t)dmodd1.9图1-38所示盒内有一弹簧振子，其质量为m,阻尼为C,刚度为K,处于静止状态， 方盒距地面高度为H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间，由机械能守恒定理m

13、gH = 2 mV2的振子的初速度V = 2gH ；底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度V = J2gH的主动隔振系统的运动微分方程为：mX+ CX+ Kx = 0；或越射Kx = 0;mm或 越2nX- 2x = ；n系统的运动方程是对于初始条件的响应：x = Ae_nt sin心dt+9）；A =Y x o2 +f X +4 nX o、2 I d=生=亘ddrox9 = arctgd-Q= 0& +Cro xo n oV2gH . / )x =sm O t 丿;dd1.10汽车以速度V在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、k、c已知。路面波动情况可以用正弦函数y二hsin（at

14、）表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：图 1-39m承+ cy&+ ky = ach cos(at) + kh sin( at)（2）汽车振动的稳态解:设稳态响应为： y = A sin（ro t 一 a）代入系统运动微分方程(1)可解得：k 2 + c 2P 2A =- h (k m 2)2 + c2 2/mc 3a = acrtan()；k (k m 2) + c 2 21.11 若电磁激振力可写为F(t)= H sin2 0 t，求将其作用在参数为m、k、c的弹簧振子上的稳态响应。解：首先将此

15、激振力按照傅里叶级数展开：F (t)=牛(ai=1cos(it) + b sin(it)ii其中：a = T F(t) cos(it)dt ；i T 0因为F(t) = H sin2( t)是偶函数，所以b. = 0。0ib = T F (t) sin(i t )dti T 0于是F(t) = H cos(2 t)2 2 0x(t) = A sin(2 t a + 兀 /2)-2k0式中HA -一2mIv( 2 4 2) + 16n2 2、n002na = arctan； 2 4 2n0ckn =, 2 =2mn m1.12.若流体的阻尼力可写为F = bX3，求其等效粘性阻尼。d解：(1)流

16、体的阻尼力为F = -bX3 ；d(2) 设位移为 x = Acost-a)，而 dx = Xdt ；(3) 流体的阻尼力的兀功为dW = F dx = -(-bX3Xd t)；dd(4) 流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：W = JF dx = J-bX3dx = J-bX4dt = J-bwAcos(t-a)4dt = -b3A4兀d4(5 )粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：-血cA23(6 )等效粘性阻尼：取 =，令-?b 3 A4兀=-顽c A2 n 4 n n eq3可得： ceq 4 n-只舊(1) (CN)e i e e r (x x-H 必Uls麗R蔦書

17、 (T)矗coCXIOH 丄e)+-鮒只檢张昌區棍皿氏彳监、鮒只症、遐丘K-a+3)u-s7RBZ I zOH (a+3)启 s(芨 e+ V4 PZ3W)OH (+ 3)启s(r芨 VZ3W)El)ml邇戈弋(CN) SI(3) 系统的频率方程若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行列式等于零，即：2k m 2 kk2k m 2展开得5)6)m 2 4 4mk 2 + 3k 2 = -系统的固有频率为： 1 = JK / m ； 2 = J 3K / m(4) 系统的固有振型将2代入系统的特征方程(4)式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为：丄=1Y (1) A (1)2Y (

18、2) A(2)2系统各阶振型如图所示：其中(a)是一阶振型，(b)是二阶振型。a)(b)-1(5)系统的主振动系统的 第一主振动为x1) = A1)sin(x 21)= A21)sin(i1 kt + %) = Af) sin(# t + a1);t + %) =y (1)Af) sin(* t + a1)系统的第一主振动为x(2) = A2)sing2 t + %) = A2)sin(、i t + %)；：3kx =A sing t + a ) = y A sin(讣t + a )22211m2.2 确定图2-12 所示系统的固有频率和固有振型。解：（1）系统的动能11T = (2m)U2

19、+ (m)U2 = mU22 1 2 2 1u22）系统的势能因为弹簧上端A、B两点的位移u +uu = 2u T 2 A1U1 + U 2;u2B2所以系统的势能为Ku +u K u +uV =(2u -12)2 +(14)22 1 2 2 2K=4(5u -2U1U2+ u2)；图 2-12（3）系统的 Lagrange 函数1KL = T - V = mU +吨盲呵一 2u-u+ u 2)4）系统的运动微分方程由Lagrange方程Aduj= 0(j = 1,2)可得5K2mU+ Ku u = 01 2 1 2 2KKmS u + u = 02 2 1 2 22m5Ku =V0u0_I

20、2丿(6)系统的特征方程 设系统的运动微分方程的解为U = A sin( t+a), u2 = A2 sin( t + a)代入系统的运动微分方程得系统的特征方程K一 2m 2 + 二 K A 一 一 A = 01 2 22丿KKA + m 2 + 二-A = 07)系统的频率方程解得系统的固有频率(7)系统的固有振型系统的固有振型(5 )一 2m2 + KI2丿A100_系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为(5、2m 2 + KI24m 24 一7Km2 + 2K2 = 0IKK= 0.6 ; 2 = 1.181m 2m将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得A(1

21、)1A(2)1=0.28;- =1.67;A(2) y (2)2A(1) y 28）系统的主振动ku(1)= A sin( t + a ) = A sin(0.6 t+a ); m 1u 21) = A21)sin叫2) = Asin:kt + a ) = 0.28A(1) sin(0.6 t+a )11m 1i- t+a ) = A sin(1.18j t+a );mu 22) = A22) sinJt+a ) = 1.67A sin(1.1 8f t+a )m 12.3 一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑（图2-13 ），杆的质量为m,两弹簧的刚度分以均质杆的静平衡位置为坐标原点，均质杆

22、的质心C 的位移为u = 1(U+ U)；C 2 12图 2-13均质杆绕质心C的转角为申=sin 1二2二;LL均质杆的运动微分方程=Ku L KLu1 2 2mU& = K (2u + u );c2 = K(2u + u ); KL 1 2 mL2 U + 普12 L即JC 唇 KU1 L_2 U 2；m(U+ U&)、即嘈+戰=-2k（2u1+勺）； mU1 + 巻丿=6 K Ou】u 2 丿；（2 ）系统的特征方程即弋 mU1 + mU!2 + 4 K%mU1 + mU2 + 2 Ku = 0 ;212Ku +6Ku = 0;121）u 2 = A? sin t + a) ，代入方程(

23、1)设运动微分方程（1）的解为u = A sin（o t + a）11一 m 2 A 一 m 2 A + 4KA + 2KA1 2 1 2m 2 A 一 m 2 A 一 12KA + 6KA1 2 1 24 K 一 mW 2mW 2 一 12 K2 K 一 mW 26 K 一 mW 2A14） 系统的频率方程 系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零4 K 一 mW 2 2 K 一 mW 2mW 2 一 12 K 6K 一 mW 2m 2w 4 一 12KmW 2 + 24K 2 = 0 ;解得系统的两个固有频率W1 = 1.612 ;W2 = 3.066 ；（5）系统的固有振型

24、 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的两阶固有振型（8）系统的两阶主振动A(1)A y (1)72A 137 .1= = .u1) = A1)sin(W t + Q) = A1)sin(1.6121 + )； u21) = A；1)sin(W t + Q) = 2.33Af) sin(1.6121 + ) u2)= A2)sin(W t + Q) = A；2)sin(3.0661 + )； u22) = A；2)sin(W t + Q) = 一1.81人12)sin(3.0661 + %)2.4 确定图 2-14 所示系统的固有频率和固有振型，并画出固有振型。解：（1）系统

25、运动微分方程匕=2K(u2 - uj ; =_2K(u2 - uj ;2mU+ 2Ku - 2Ku = 0112m_ 2 KKu + 2 Ku = 02 1 21）（2）系统特征方程设运动微分方程（1）的解为ui = A sin（ t+a）和u = A sin（ t + a）,22图 2-14代入方程（1）C-m2 -KA2、0; _ 2 KAi +1K - m2 力 2 = 0；K - m 2-2K-K2K-m2A3）系统频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零K - m 2-2 K-K2K - m 2m4 -3K2 = 0 ;2解得=04）系统的固有振型 将系统的固有

26、频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的两阶固有振型A11=AV2A(2)=1；TA(2)211 ； ，V (2)2+1+1-1/22.5图2-15所示的均质细杆悬挂成一摆，杆的质量为m,长为L,悬线长为L/2 ,求该系统（2）求系统的 Lagrange 函数L = T-V = j 収 + 咚水 2 JC 瞪 +1 mgL(CO 1 + cos 2)mL2图 2-15mL28 1 理 + 2魅赢1- 2 + mgL(cos 1 + cos J ；3）求系统的运动微分方程由 Lagra nge 方程 AI-L o (j 1,2)可得dt 2&丿 d.止餐+吨强+岛0J 414221餐+座弾+

27、岛04132224）系统特征方程mL2mL2设运动微分方程（1）的解为(mg -mL2mL2f0 = u Il 2丿Pcos t02）系统的固有频率和振型对于系统运动微分方程两边作拉氏变换得m$ 2 +(C + C 从 +(K + K OU (s) - (Cs + K )U (s) = P r 1js2 +Q2(Cs + K )U 1(s) + ks 2 +(C +(K + K W 2(s) = 0 ;(C + C)s +(K + K (Cs + K )S 2 +G+s工 + 川 0；解得S2 0.31 土 j31.4 , s34 0.346 土 j37.37 ;因此31 31-4,32 37

28、37；系统的固有振型，即各阶振幅比为：1Y (1)A(1)=-1- = 1A(1)2A(2)1Y (2) A(2)2系统的 第一主振动为x(1)1x(1)2=Af) sin( t + Q) = Af) sin( t + )；=A21) sin(11+ Q) =Y Af) sin(11+ QJ系统的第一主振动为x)(2)2=A sin(ro t+a ) = A sin(ro t+a );1 2 1 1 2 2=A sing t+a ) =Y(2) A sin(ro t+a )2 2 1 1 2 23)u1 的稳态响应由拉氏方程组解得于是以s = jG代入得4 = Peja220.69G0.75G

29、0.63Ga = arctan一 arctan一 arctan 1204-G 21421 -G 2987 02u1 的稳态解为件=A cos(Gt +a);见图2.11 减小受简谐激振励单自由度系统的振幅的方法之一，是在该系统上附加一个“可调吸振器”，吸振器由弹簧-质量组成。这样原系统和吸振器就构成了一个两自由度系统 M2 4LMlP cos G t2-21.（1）建立系统的运动方程；（2）设系统的稳定响应为u2u (t) =U cos(0t),u (t) =U cos(0t) ，1 1 2 2K2试证明u1(k 一 02m ) pk pU (0) 一 22 1,U ( 一 2 P11D(0)

30、2D (0)其中 D(0) = (k + k 一 02m )(k 一 02m ) 一 k 21 2 1 2 2 2K1/2K1/2图 2-21（3 ）将吸振器调到k :m = km，证明当0 2 = k , m时，即原系统处于共振状态,1的2 2 11 1 1 1响应振幅为零；（4 ）若吸振器调到= 25时，画出kU j P和ky 2. p对频率比r = 0m】的频幅图。解：（1）对每个质量进行受力分析，由牛顿第二定律得系统的运动微分方程mu = P cos 丿ku + k (u 一 u ) 1 1 1 11 2 2 1 ；m U = k (u 一 u )2 2 2 1 2m u + (k +

31、 k )u 一 k u = p cos(0t) 1 1 1 2 1 2 2 1 ；mWku+ku =02 2 2 1 2 22）将系统的稳定响应代入运动微分方程组得(k + k 一m 02)U 一k U = p1 2 1 1 2 2 1 ；k U + (k m 0 2)U = 02 1 2 2 2由 Cramer 法则，U (0)=伙2一02化)P1, U (0)=工其中1D (0)2D (0)D(0) = (k + k 02m )(k 02m ) 一 k 21 2 1 2 2 2（3）当k . m = k m时，系统的频率方程为2 2 11D(0)=k + k m Q 21 2 1k2将Q 2 = k m代入上式，显然满足方程，故此时系统处于共振状态。1 1并且有U 1(Q)=0设 k 2； m2 = k1 m1，且 P= m m1 = 0.25 时，可得k U p1 V 11(1 +卩一r 2)(1 r 2)卩1 一 r 2(1 +卩一r 2)(1 r 2)卩所以频幅图为o5000Ak =