第5章几何变换

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1、第5章 几何变换 二维几何变换三维几何变换 二维几何变换 基本变换 矩阵表示和齐次坐标 复合变换 其它变换 坐标系间的变换 仿射变换 变换的光栅方法 基本变换平移将物体沿直线路径从一个坐标位置到另一个坐标位置的重定位平移是不产生变形而移动物体的刚体变换 旋转将物体沿xy平面内的圆弧路径重定位缩放缩放变换改变物体的尺寸矩阵表示 平移 x x dx y y dy=+P(x,y)P(x,y)(dx,dy)=XY旋转cos sinsin cosP(x,y)P(x,y)rrX=rcos(a+)=r(cosa cos-sina sin)=Xcosa-YsinaY=rsin(a+)=r(sina cos+c

2、osa sin)=Xsina+Yconaa二维旋转XY=XY缩放 x sx 0 y 0 syP(x,y)P(x,y)二维缩放以原点为基准点的缩放矩阵表示和齐次坐标 平移 P=T(dx,dy)P 旋转 P=R()P 缩放 P=S（Sx，Sy）P逆变换XY1=XY11 0 dx0 1 dy0 0 1cosa -sina 0 sina cosa 0 0 0 1XY1=XY1XY1=Sx 0 00 Sy 00 0 1XY1齐次坐标表示：(X,Y)(Xh,Yh,h)(hX,hY,h)(X,Y,1)复合变换设连续两次的变换,变换矩阵为M1,M2 则复合变换矩阵M=M2 M1,P=M2 M1 P;P=M P

3、连续两次平移连续两次缩放连续两次旋转绕任意选择的基准点(x,y)的旋转通用固定点缩放通用定向缩放复杂任意变换(tx1,ty1)(tx,ty)(tx2,ty2)连续两次平移XY1=XY11 0 tx20 1 ty20 0 11 0 tx10 1 ty10 0 11 0 tx1+tx20 1 ty1+ty20 0 1=XY1tx=tx2+tx1ty=ty2+ty1连续两次缩放1 2 4sx=sx1.sx2sy=sy1.sy2XY1=sx2 0 00 sy2 00 0 1XY1sx1 0 00 sy1 00 0 1=XY1sx1.sx2 0 0 0 sy1.sy2 0 0 0 1sx1=sx2=2连

4、续两次旋转cosa2 -sina2 0 sina2 cosa2 0 0 0 1cosa1 -sina1 0 sina1 cosa1 0 0 0 1cos(a1+a2)-sin(a1+a2)0 sin(a1+a2)cos(a1+a2)0 0 0 1=a1a2R(2)R(1)=R(1+2)P=R(1+2)P绕任意选择的基准点(x,y)的旋转：平移物体使基准点位置被移动到坐标原点绕坐标原点旋转平移物体使基准点回到其原始位置平移物体使固定点与坐标原点重合对于坐标原点缩放用步骤1的反向平移将物体移回原始位置通用固定点缩放通用定向缩放沿s1方向缩放步骤：旋转，缩放，平移s1s2复杂任意变换若干次简单变换合

5、成一次复杂变换一次复杂变换往往可以分解成若干次简单变换的有序组合通用复合变换和计算效率P=M3M2M1P 每点12 次乘法,12次加法M=M3M2M1 24次乘法,16次加法P=MP 每点4次乘法,4次加法XY1=rsxx rsxy trsx rsyx rsyy trsy 0 0 1XY1其它变换反射反射是产生物体的镜像的一种变换任意直线反射任意点反射 -1000100011000-10001-1000-10001Y轴反射X轴反射原点反射错切错切是一种会使物体形状发生变化的变换1shx0010001100shy100011shx 0shy10001x=x+shxyy=yy=y+shyxx=xx

6、=x+shxyy=y+shyxxxyy 仿射变换形式为 x=axx x+axy y+bx y=ayx x+ayy y+by的坐标变换称为二维仿射变换。平行线转换成平行线,有限点转换成有限点平移、旋转、缩放、反射和错切是二维仿射变换的特例任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的组合几何变换的光栅方法光栅操作 操纵长方形象素数组的光栅功能象素值的块移动(bitBlt)将一块象素从一个位置移到另一位置典型光栅功能：copy 将象素块从一个光栅区域移到另一区域；read 将一个象素块存入设定的数组中；write 将象素数组传送到帧缓冲器中的某位置。组合象素值的方法replace模式布尔操作(与、

7、或和异或)二进制运算操作90度倍数的旋转:旋转像素值阵列非90度倍数的旋转 计算平均复盖象素象素块的缩放三维空间的几何变换 1.三维平移、缩放和旋转平移缩放xyz1xyz1=P=TPxyz1sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1xyz1=P=SP1 0 0 tx0 1 0 ty 0 0 1 tz 0 0 0 1 一般比例变换以任意点（xf,yf,zf)为中心的缩放将该点平移到原点 T=缩放(以原点为中心)S=平移回原处 T-1 T-1 S T=1 0 0 -xf0 1 0-yf 0 0 1-zf 0 0 0 1sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0

8、1Sx 0 0 (1-Sx)xf0 Sy 0 (1-Sy)yf 0 0 Sz(1-Sz)zf 0 0 0 1 三维旋转旋转的正方向 复合矩阵 M=T-1ST=xyz1cosa0sina 0 0 1 0 0-sina0cosa 0 0 0 0 1xyz1=P=RyPxyz1 1 0 0 0 0 cosa-sina 0 0 sinacosa 0 0 0 0 1xyz1=P=RxP绕Y轴旋转绕X轴旋转xyz1cosa-sina 0 0sinacosa 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1xyz1=P=RzP绕Z轴旋转一般三维旋转绕任意轴旋转绕任意轴旋转 角角 平移使旋转轴过原点 T 绕X轴旋转使旋

9、转轴落到XZ平面 Rx 绕 Y轴旋转使旋转轴与Z轴重合 Ry 绕Z轴旋转指定角(Rz()Ry-1 Rx-1 T-1M=T-1.Rx-1.Ry-1.Rz().Ry.Rx.T 旋转轴轴单位矢量平移 T=旋转任意轴与Z轴重合 1。绕X轴转角，至u”2。绕Y轴转角，至z轴 1 0 0 -xf0 1 0 -yf 0 0 1 -zf 0 0 0 1 u=(0,b,c)uz=(0,0,1)u”=(a,0,d)旋转（正交矩阵）设 R=Ry()Rx()R=若定义任何坐标轴的矢量u作为旋转轴，建立ux uy uz 坐标系并令uz=u,(a,b,c）ux与u垂直，大小为aR11R12 R13 0R21R22 R23

10、 0R31R32 R33 00 0 0 1 uux=(0,ac,-ab)|uux|=ad uy=(0,c/d,-b/d)ux=uy uz =(d,-ab/d,-ac/d)代入RR=d ab/d -ac/d 00 c/d -b/d 0a b c 00 0 0 1其它变换反射点反射 (原点)(非原点)轴反射 绕轴转180平面反射 坐标平面，非坐标平面错切Z轴错切改变X、Y坐标 x=x+az y=y+bzZ坐标保持不变1 0 a 00 1 b 00 0 1 00 0 0 1SHz=建模变换与坐标系变换建模坐标系统轮子建模 拖拉机建模 公路建模坐标系 坐标系 坐标系 局部变换与全局变换 研究生高级计算

11、机图形学课题设计研究生高级计算机图形学课题设计1.写一篇三维造型方面的论文，要求不少于3000字，独立完成。内容可以是以下几方面：2.绘制一个具有真实感的三维场景，其中至少含有2个三维物体。可以使用OpenGL或其他函数库，要求独立完成从建模、坐标变换到消隐算法、光照模型、面绘制算法、纹理映射的全部过程。3.计算机图形学理论或算法的研究。如：曲线、曲面拟合算法；并行面绘制算法；特定物体表面的纹理映射算法。4.分形几何造型的研究。如：分形树、分形山、树木、花草、云、瀑布等。5.科学计算的可视化。可将计算数据、物理、化学现象或其他自然现象的观察数据进行三维空间的可视化。6.CAD或其他应用研究。7.图形、图像、动画方面的研究The End of Chapter 5