2422（5）三角形的内切圆

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1、。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想想一想1、确定圆的条件是什么？、确定圆的条件是什么？（1）圆心与半径；）圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点）不在同一直线上的三点2、如何由不在同一直线上的三点确定一个圆？、如何由不在同一直线上的三点确定一个圆？3、李明在一家木料厂上班，工作之余想对、李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的形用料，且使

2、圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。几种设计，请同学们帮他确定一下。ABC问题：如图问题：如图ABC，要求画与要求画与ABC的三边都相切的圆，如何的三边都相切的圆，如何画？画？思考下列问题：思考下列问题：（1）如图，若）如图，若 O与与ABC的两边相切，那么圆心的两边相切，那么圆心O的位的位置有什么特点？置有什么特点？答：圆心答：圆心0在在ABC的的_上上。（2）如图）如图2，如果，如果 O与与ABC的夹内角的夹内角ABC的两边相的两边相切，且与夹内角切，且与夹内角ACB的两边也相切，那么此的两边也相切，那么此 O的圆心在的圆心在什么位置？什么位置？BCAIDNMOMABC

3、N角平分线角平分线已知：已知：ABC求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆BCAID作作法法：1、作作B、C的的平平分分线线BM、CN，交点为交点为I2、过点过点I作作IDBC，垂足为垂足为D3、以、以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 II就是所求的圆就是所求的圆 NM圆心圆心O在在BAC,ABC与与ACB的三个角的三个角的的_的交点上。的交点上。角平分线角平分线与三角形各边都相切的圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的叫做三角形的内切圆内切圆ABCIDEF三角形三角形内切圆内切圆的圆心叫做三角形的的圆心叫做三角形的内心内心这个三角形叫做这个三角形叫做圆圆的的外切三角形外切

4、三角形三角形的三角形的内心内心就是三角形的三个内角就是三角形的三个内角角角平分线的交点平分线的交点三角形的三角形的内心内心到三角形的三边的距离到三角形的三边的距离相等，等于三角形内切圆的半径相等，等于三角形内切圆的半径例例2 ABCABC的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆 O O与与与与BCBC、CACA、ABAB分别相切于分别相切于分别相切于分别相切于点点点点D D、E E、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求求求求AFAF、BDBD、CECE的长的长的长的长.解解:设设设设AF=x(cm),BD=y(cm),CEAF=

5、x(cm),BD=y(cm),CEz(cmz(cm)AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).O O与与与与ABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切AFAFAE,BDAE,BDBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xy y9 9y yz z1414x xz z1313解得解得解得解得x x4 4y y5 5z z9 9 例题例题2ABCEDFO设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADA

6、DAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径r或或rabc2ababc 变式变式P103如图如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切的内切圆的半径圆的半径 r.D练习练习1 1、直

7、角三角形的两直角边分别是直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm则其内切圆的半径为则其内切圆的半径为_。2 2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱圆柱的下底面是圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆棱柱圆柱的下底面是圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆已知直三棱柱的底面等边三角形边长为已知直三棱柱的底面等边三角形边长为cm，求圆柱底面的半径。，求圆柱底面的半径。常用辅助线：有三角形的内心，常连接内心和三角常用辅助线：有三角形的内心，常连接内心和三角形的顶点和过内心作边的垂线段。形的顶点和过内心作边的垂线段。C CA

8、AB BO OABCOabcDE2cmP98P98已知：已知：ABC中中,ABC=50,ACB=75,点点O是内心，求是内心，求BOC的度数。的度数。ABCO外心外心2、ABC的内切圆半径为的内切圆半径为r,ABC的周长为的周长为L,求求ABC的面积的面积.A AB BC CO O三角形的外接圆：三角形的内切圆：A AB BC CI ID例例2、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆OO分别相切于点分别相切于点L L、M M、N N、P P，求证：求证：AD+BC=AB+CD AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得

9、证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC，DN=DP DN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BC AB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 例题例题21 1、四边形、四边形ABCDABCD外切于外切于O O（1 1）若）若ABAB：BCBC：CDCD：DA=2DA=2：3 3：n n：4 4 则则n=_n=_（2 2）若）若ABAB：BCBC：CD=5CD=5：4 4：7 7，周长为周长为4848 则最

10、长的边为则最长的边为_2、圆内接平行四边形是矩形圆内接平行四边形是矩形 圆圆外切平行四边形是外切平行四边形是_ABCDACBDOABCDOO3、圆内接梯形为等腰梯形4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为_ABDCEF反思：圆外切等腰梯形的腰长反思：圆外切等腰梯形的腰长等于中位线长等于中位线长（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为_ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为_ABDCEF基础题：基础题：1.1.既有外接圆既有外接圆既有外接圆既有外接圆,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2.2

11、.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3.3.OO是边长为是边长为是边长为是边长为2cm2cm的正方形的正方形的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆,EF,EF切切切切 OO 于于于于P P点，交点，交点，交点，交ABAB、BCBC于于于于E E、F F，则，则，则，则BEFBEF的周长是的周长是的周长是的周长是_._.EFHG正方形正方形正方形正方形22cm22cm2cm2cm作作业1.到三角形到三角形三边距离相等三边距离相等的点是三角形的（的点是三角形的（）A、内心、内心B、外心、外心2.一个直角三角形的斜边的长为一个直角三角形的斜边的长为10cm，内切圆的，内切圆的半径为半径为1cm，则三角形的周长是，则三角形的周长是_3.已知：已知：ABC中，中，E是内心，是内心，A的平分线和的平分线和ABC的外接圆相交于点的外接圆相交于点D，求证：求证：DE=DB=DCABCDE