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1、一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知关于x的方程x2（2k+1）x+k2+10（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k2，求该矩形的对角线L的长【答案】（1）k；（2）.【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2(2k1)xk210有两个不相等的实数根，得出0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）方程x2(2k1)xk210有两个
2、不相等的实数根，(2k1)241(k21)4k30，k；(2)当k2时，原方程为x25x50，设方程的两个根为m，n，mn5，mn5，矩形的对角线长为：.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0时，方程有两个不相等的实数根；（2）=0时，方程有两个相等的实数根；（3）0时，方程没有实数根2计算题 （1）先化简，再求值：（1+），其中x=2017 （2）已知方程x22x+m3=0有两个相等的实数根，求m的值【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作
3、用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）（1+）= = =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：方程x22x+m3=0有两个相等的实数根，=（2）241（m3）=0，解得，m=4 点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3关于的方程有两个不相等的实数根求实数的取值范围；是否存在实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）且；（2）不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根【解析】
4、【分析】由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围.首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于的等式，解出值，然后判断值是否在中的取值范围内.【详解】解：依题意得，又，的取值范围是且；解：不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程的两根分别为，由根与系数的关系有：，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，由知，且，不符合题意，因此不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根【点睛
5、】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。4已知关于x的一元二次方程若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；若此方程的两个实数根为，且满足，求m的值【答案】（1）的最小整数值为；（2）【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：方程有两个实数根，即 的最小整数值为（2）由根与系数的关系得：，由得： ， 【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.5某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱为了促销，该水果店决定降价销售市场调查反映:若售价每降价
6、1元，每星期可多卖10箱设该苹果每箱售价x元（40x60），每星期的销售量为y箱（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40x60），
7、则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40x60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,-100,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.6如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答
8、案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（1004x）米 根据题意得 （1004x）x=400，解得 x1=20，x2=5 则1004x=20或1004x=80 8025， x2=5舍去 即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用7“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相
9、同（如图），这样图1中黑点个数是61=6个；图2中黑点个数是62=12个：图3中黑点个数是63=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵【答案】60个，6n个；（1）61；3n23n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6
10、块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n3（n1）+1=3n23n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵详解：图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：23+1=7个，第3个点阵中有：36+1=17个，第4个点阵中有：49+1=37个，第5个点阵中有：512+1=60个，第n个点阵中有：n3（n1）+1=3n23n+1，故答案为：60，3n23n+1；（2）3n23n+1=271，n2n90=0，（n10）（n+9）=0，n1=10，n2=
11、9（舍），小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键8为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人
12、数在30人以上，等量关系为：（100在30人基础上降低的人数2）参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可试题解析：10030=30003150，该班参加研学游活动的学生数超过30人设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为1002（x30）元，由题意得：x1002（x30）=3150，整理得x280x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为1002（3530）=9080，符合题意当x=45时，人均旅游费用为1002（4530）=7080，不符合题意，应舍去答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动考点：一元二次方程的应用9阅读下面内容：
13、我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当a0，b0时：（）2=a2+b0a+b2，当且仅当a=b时取等号请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x0时，x+的最小值为 当x0时，x+的最大值为 ；（2）若y=，（x1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOB、COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值【答案】（1）2；2（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25【解析】【分析】（1）当x0时，按照公式a+b2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x0时，x0，0，则也可以按公式a+b2（当且仅当a=
14、b时取等号）来计算；（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设SBOC=x，已知SAOB=4，SCOD=9，由三角形面积公式可知：SBOC：SCOD=SAOB：SAOD，用含x的式子表示出SAOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可【详解】（1）当x0时，x22；当x0时，x0，0x22，则x（x）2，当x0时，x的最小值为 2当x0时，x的最大值为2故答案为：2，2（2）x1，x+10，y=（x+1）525=4+5=9，y的最小值为9（3）设SBOC=x，已知SAOB=4，SCOD=9则由等高三角形可知：
15、SBOC：SCOD=SAOB：SAOD，x：9=4：SAOD，SAOD，四边形ABCD面积=4+9+x13+225当且仅当x=6时，取等号，四边形ABCD面积的最小值为25【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用10已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】（1）因为方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2得出其判别式0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值【详解】（1）方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得：k10且=12k+130，解得：k且k1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2x1+x2=0，=0，k=又k且k1，k不存在【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q
济南备战中考数学一元二次方程综合经典题
