超几何分布、二项分布、正态分布

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1、超几何分布、二项分布、正态分布【学习目标】1、通过实例，理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布列及其导出过程，并能进行简单 的应用。2、理解n次独立重复试验(即n重伯努利试验)及其意义，理解二项分布并能解决一些简单 的实际问题。3、借助直观图，了解是正态分布曲线与正态分布，认识正态分布曲线的特点及曲线表示的 意义。4、会查标准正态分布表，会求满足正态分布的随机变量x在某一范围内的概率。【重点与难点】重点：正确理解超几何分布、二项分布、正态分布的意义。难点：正确进行超几何分布、二项分布、正态分布有关概率的计算。【知识要点】1、超几何分布：厂pHr一般地，若一个随机变量x的分布列为：P(x=r)=

2、凶 其中r0， 1， 2， 3，,，】=min(n, M),则称x服从超几何分布。厂严厂严上整上:二驭记作 XH(n, M，N),并将 P(xr)，记为 H(r, n，M，N)。女如 在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格 品数x的概率分布列如表一所示：(表一) 012IP(x=r)1T-MC?-.-1 严闯_-M -1T-1-.I-IT.-4 2 pTi 一 2-it其中一min(n, M),满足超几何分布。2、伯努利试验(n次独立重复试验)，在n次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对 立的结果A与血出现，P(A)pE(0, 1),这样的试验称为n次独

3、立重复试验，也称为伯努利试 验。_p) = 1p=q,则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率(OSkSn)为P(k) 骨 Ik0, 1, 2, 3,n),它恰好是(q+p)n的二项展开式中的第k+1项。3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(xk)%叼:其中0p1, p+q1, k=0, 1, 2, ,n,则称x服从参数为n、p的二项分布，记作xB(n, p)。如：n次射击中，击中目标k次的试验或投掷骰子n次，出现k次数字5的试验等均满足二 项分布。3、正态分布曲线。(1)概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至 形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概

4、率密度曲线。(2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为P(x)=(xGR)的曲线称之为正态密度曲线。正态密度曲线图象特征： 当xVy时曲线上升；当x卩时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐 近线。 正态曲线关于直线x=y对称。 o越大，正态曲线越扁平；o越小，正态曲线越尖陡。 在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间对，PE/占恰好是正态密度曲线 下方和x轴上3对上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x服从参数为卩和o的正态分 布，简记为XN(卩，02)。在现实世界中很多随机变量遵循正态分布。女口：反复测量某一个物理量，其测量误

5、差x通常 被认为服从正态分布；某一地区同性别同年龄组儿童的体重W也近似地服从正态分布。-99 7怀/1鸥.珈:95.4% ；|11111130 J4 2P 5 J4 JJ. + (5 H 十0 十页圄一)若XN, 02)，则随机变量x在卩的附近取值的概率很大，在离卩很远处取值的概率很少。 如图一所示：随机变量x取值落在区间(卩一o,卩+o)上的概率约为68.3%，落在区间(卩一2o, 卩+2o)上的概率约为95.4%，落在区间(卩一3o,卩+3o)上的概率约为99.7%。其中，卩实际上就是随机变量x的均值，02为随机变量x的方差，它们分别反映x取值的 平均大小和稳定程度。5、标准正态分布：正态

6、分布N(0, 1)称为标准正态分布，此时，P(x)=(xWR),通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率。数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主导地位，则这样的随机变量 服从正态分布，特别是在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将 趋近于正态分布，这就是中心极限定理，中心极限定理告诉我们在平均重复观察多次后，我们可 以利用正态分布对随机事件进行分析和预报。可以证明，对任一正态分布xNg, o2)来说，都可以通过z= 转化为标准正态分布zN（0，1）。6、利用Excel进行有关概率计算。(1) 超几何分布函数计算：按“插入/函数/

7、统计”选择超几何分布函数“HYPGEOMDIST”，然后 依次输入r、n、M、N的值，或直接在单元格内输入“=HYPGEOMDIST(4； 5，10，30)”即可得 到后边例1中H(4； 5，10，30)的值，约为0.029472443。(2) 二项分布函数计算：选择“插入/函数/统计”，选择二项分布函数“BINOMDIST”，然后依 提示输入相应的参数k、n、p的值，或在单元格内直接输入“=BINOMDIST(80，10000，0.006, 1)”即可得到后面例4中P(x80)的值，约为0.994。正态分布函数计算：选择“插入/函数/统计”，选择正态分布函数“NORMDIST”，输入相应 参

8、数X、卩、o的值，或在单元格内直接输入“=NORMDIST(184.5，184，2.5, 1)”，就可得到后 边例6中P(x184.5)的值，约为0.5793。7、二项分布的近似计算。对于二项分布函数，当n比较大，而p比较小(p0.1)，而乘积np大小“适中”时，可以利用 血迪-必-*厂即近似公式P(x=k)=“来计算。【典型例题分析】例1：高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这 些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球一个白球就中一等奖，求中一等奖 的概率。解：以30个球为一批产品，其中红球为“不合格品”，随机抽取5个球，x表示抽到的红

9、球 数，则x服从超几何分布H(5, 10, 30),.210x20_ 00由超几何分布公式可得：H(4； 5, 10, 30)= 打皿仍优 23751 =0.0295,所以获一等奖的概率约为2.95%o例2：生产方提供50箱的产品中，有两箱不是合格产品，米购方接收该批产品的准则是： 从该批产品中任取5箱产品进行检测，若其中的不合格产品不超过一箱，则接收该批产品，问: 该批产品被接收的概率是多少？解：用x表示5箱中的不合格品的箱数， 则x服从超几何分布H(5, 2, 50),这批产品被接收的条件是5箱中有0或1箱不合格产品， 故该产品被接收的概率为P(xSl)即：0 -：:49址4呂工47宣4丐

10、=Cq=5!4:3x2xl45:x44+2 x45.j5=50x49243=22 =0.992答：该批产品被接收的概率约为99.2%o例3：求抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面向上的概率。分析：将一枚均匀硬币随机抛掷100次，相当于做了 100次独立重复试验，每次试验有两个 可能结果，即出现正面(A)与出现反面(虫)且P(A)=p)=0.5。解：设x为抛掷100次硬币出现正面的次数， 依题意随机变量xB(100，0.5)，u刘”勿”丄oo旳=宀刃3门fiao则 P(x=50)=8%。答：随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率约为8%。例4：某保险公司规定：投保者每人每年交付公

11、司保险费120元的人身意外保险，则投保者 意外伤亡时，公司将赔偿10000元，如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006，若该公司吸收 10000人参加保险，问该公司赔本及盈利额在400000元以上的概率分别有多大？解：设这10000人中意外死亡的人数为x，根据题意，xB(10000，0.006)，p(x=k) = C缶皿o工。一当死亡人数为x人时，公司要赔偿x万元, 此时，公司的利润为(120-x)万元， 由上述分布，公司赔本的概率为：120 120工 p(尤=疋)cfooooP(120-x0) = 1 P(x40)=P(x1.52)； (3)P(0.57VzS2.3)； (4)P(z1.4

12、9)。解：(1)P(z1.52)=1 P(z1.52) = 10.9357=0.0643。(3) P(0.57Vz2.3)=P(z2.3)P( z0.57)=0.98930.7157 = 0.2736。(4) P(z1.49)=P( zN1.49) = 1P(z134 .5-1S41解：(1)P(x 184.5) = P= P(z 0.2) = 1 玖 z(2)P(179 Vx189)=P(352525 丿=P( 2z2) = P(z2) P(z 2)=玖 z2)=玖 z2) 1 P(z2)=2P(z2) 1 =2x0.97721 =0.9544答：随机抽取一罐，其实际净重超过184.5g的概率是0.4207，在179g与189g之间的概率 是 0.9544。例7：某电话站为300个电话用户服务，在一个小时内每一个电话用户，使用电话的概率等 于0.01，求在一个小时内有4个用户使用电话的概率。解：设A表示一个用户在这一小时内使用电话的事件，记 p=P(A) = 0.01, q=P(克)=0.99,本题相当于进行300次独立的贝努利试验，事件A出现的次数k=4,(观 *一些on：)34故其所求概率为p(k) = %xD.D15.加气=41=0.169。