实际问题与一元一次方程

《§3.4 实际问题与一元一次方程》学案 【复习要点】 1、等式表示的是 关系 2、方程的定义：含有未知数的 3、一元一次方程的定义：只含有 ，未知数的次数都是 ，等号两边都是 ，这样的方程叫做一元一次方程 4、 解一元一次方程的一般步骤：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 【列一元一次方程解决实际问题的一般步骤】 例：（教材78页）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70㎞/h，卡车的行驶速度是60㎞/h，客车比卡车早1h经过B地，问：A、B两地间的路程是多少？ 分析：这是一个行程问题，题中说“客车比卡车早1h经过B地”，即卡车到达B地用的时间比客车用的时间 1h，因此发现这道题含有这样的一个相等关系（等量关系）：卡车到达B地用的时间 客车到达B地用的时间=1h.如果设A、B两地间的路程是x㎞，则卡车到达B地用的时间可以表示为 h，客车到达B地用的时间可以表示为 h。 解：设A、B两地间的路程是x㎞，根据题意得 1、 方程为我们解决许多问题带来方便，因此方程被认为是用来分析和解决实际问题非常有用的数学工具。对于任何一道实际应用题，要想准确列出方程，关键就得从该问题中找出一个 2、 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： ① 审：读懂题目，审清题意，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的关系，关键找到一个等量关系 。 ② 设：设适当的量为未知数，并用含未知数的代数式表示其它的未知量。设未知数一般分为直接设未知数和间接设未知数。 ③ 列：根据找到的等量关系列出一元一次方程。 ④ 解：解所列出的一元一次方程。 ⑤ 检：检验所求得的方程的解，一要看这个解是否是方程的解，二要看这个解是否符合题意或实际意义。 ⑥ 答：根据问题写出答语。 例：（教材90页）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制最大量少100t。新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？ 分析：题目中的等量关系是什么？ 解：设新、旧工艺的废水排量分别为2xt、5xt，根据题意得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 ∴（t） （t） 答：新、旧工艺的废水排量分别为200t、500t 注：比例问题通常设每一份为x，便于计算。 【常见的几种应用题类型】 一、和差倍分问题 1、（教材86页）某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？ 分析：本题中的等量关系为 解：设前年这个学校购买了x台计算机，根据题意得 2、 某厂今年的产值是去年产值的3倍少25万，今年和去年产值总和是75万，求今年该厂的产值。 3、 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 4、 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？ 5、某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000kW·h（千瓦·时），全年用电15万kW·h，这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？【注意各数据的单位】 6、小明、小强两兄弟两人今年分别为8岁和12岁，若设x年前哥哥的年龄是弟弟的年龄的2倍，则x的值为多少？根据题意可列方程 7、学校组织植树互动，已知在甲处植树有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 注：解决和差倍分问题应抓住题目中的关键词语，如多、少、倍、提前、推迟、减少、增加…… 二、数字问题问题 1、有一个两位数，两个数位上的数字和是9，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数大63，求原两位数。 分析：若一个两位数十位上数字为a，个位数字为b，则这个两位数可以表示为 。本题中的等量关系为 解：设原两位数的个位数字为x，则十位数字为 ，根据题意得 2、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位数字的和的5倍恰好等于这个两位数，求这个两位数。 注：数字问题的关键是用同一个未知数去表示不同位上的数字，及如何表示这个数，要尤其注意数与数字的区别。 3、三个连续的自然数和为273，求这三个连续的自然数。 变式：三个连续的偶数可以表示为： 三个连续的奇数可以表示为： 4、（教材87页）有一列数，按一定顺序排列成1，-3，9，-27，81，-243，……其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？ ※三、行程问题 基本数量关系：⑴路程=速度×时间 ⑵顺水速度=静水速度＋水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度 1、甲、乙两人从相距480㎞的两地相向而行，甲乘汽车每小时行90㎞，乙骑自行车每小时行30㎞，如果乙先行2h，那么甲出发多长时间后两人相遇？ 分析：本题中的等量关系为 解：设甲出发x h后两人相遇，根据题意得 2、A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时走60千米，一列快车从B地开出，每小时走65千米。 （1）两车同时开出，相向而行，x小时相遇，根据题意列方程得 （2）两车同时开出，背向而行，x小时之后，两车相距620千米，根据题意列方程得 （3）慢车先开出1小时，同向而行，快车开出x小时与慢车相遇，根据题意列方程得 3、小明、小亮两人相距40㎞，小明先出发1.5h，小亮再出发，小明在后小亮在前，两人同向而行，小明的速度是8㎞/h，小亮的速度是6㎞/h，小明出发后几小时可以追上小亮？ 问：能找到等量关系吗？可以试试画个简单的示意图。 4、（教材94页）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的平均速度。 问：你能找到本题中的等量关系吗？ 5、 一轮船在A、B两地之间航行，顺水航行用3小时，逆水航行比顺水航行多用30分钟，轮船在静水中的速度是26千米/小时，问水流的速度是多少？【注意单位】 6、思考题：某铁路桥长1200米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用50秒，整个火车完全在桥上的时间是30秒，求火车的长度和速度。 注：画线段示意图是解决行程问题常用的方法，对分析题意，找等量关系有很大的帮助。 ※四、工程问题 基本数量关系：⑴工作总量=工作效率×工作时间 ⑵工作量=人均效率×人数×时间 1、（教材100页 ）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 问：你能找到本题中的等量关系吗？ 2、整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：把总工作量看作1，则每人的工作效率是。两个工作量之和应该等于总工作量1. 3、某服装厂加工车间有工人54人，每人每天可加工上衣8件或裤子10条，应怎样合理分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？ 4、某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产6个零件，结果比规定时间提前3天并超额生产120个零件，求该班组要完成的零件任务是多少？ 5、一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要30天，如果先由甲队单独做8天，再由乙队单独做3天，其余的由甲、乙两队合做，则还需要多少天才能完成？ 6、某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比订货任务少生产100套；如果每天平均生产23套，就可超过订货任务20套，问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 7、进水管向空池注水3小时可注满，出水管向外排水4小时可把水放完，若两管同时开放，则几个小时可把空池注满？ ※五、销售问题 基本数量关系：⑴利润=售价－进价 ⑵利润率= ，变式：售价=进价× ⑶打x折的售价=原价× 1、某商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商品按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？ 分析：商品的利润=进价× = －进价 解：设此商品的进价是x元，根据题意得 2、某商品的进价是15000元，若要使其在销售中获利20%，问售价应为多少？ 3、NIKE服装打折店将某件衣服按进价提高50%后标价，再打八折销售，售价为240元，设这件衣服的进价为x元，根据题意可列方程 注：销售问题中应抓住售价、进价、利润及其他量之间的数量关系。 ※六、增长率、降低率问题 基本数量关系：（1）增长量=原始量×增长率；增长后的量=原始量×（1+增长率） （2）降低量=原始量×降低率；降低后的量=原始量×（1-增长率） 1、某商场甲、乙两个柜台一月份营业额共64万元，二月份甲增长了20%，乙增长了15%，营业额达到75万元，求两个柜台各增长了多少万元？ 分析：两柜台二月份的营业额共增长了75-64=11（万元），可以找到一个等量关系：甲柜台增长的量+乙柜台增长的量=11万元，若设甲柜台一月份的营业额为x万元，乙柜台一月份的营业额为 万元，则甲、乙两柜台二月份的营业额增长量分别表示为 解：设甲柜台一月份的营业额为x万元，根据题意得 2、有A、B两种原料，其中A种原料每千克50元，B种原料每千克40元，据最新消息，这两种原料过几天要调价，A种原料上涨10%，B种原料下降15%。某厂共需这两种原料11000千克，经核算，调价后购买两种原料的总费用不变，问A、B两种原料各需多少？ 七、储蓄问题 基本数量关系：⑴利息＝本金×期数×利率 ⑵本息和＝本金＋本金×期数×利率 例：王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元，你能算出王先生存入的本金是多少元吗？ 【探究下列几个实际问题】 销售中的盈亏（教材102页） 题目：一商店在某一时间内以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 分析：“ 每件60元的价格”是衣服的 ，“盈利25％”即利润率为25％，“亏损25％”即利润率为 ，“盈利”指售价＞进价，“亏损”指售价＜进价 [问题1]：若一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25％，那么商品利润是多少？若卖出后亏损25％，那么利润又是多少？ 解：盈利25％时，利润是40×25％＝10元；亏损25％时，利润是 40×（－25％）＝－10元． [问题2]：你能否求出题目中的两件物品的进价吗？ 解：设盈利25％的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元．根据进价与利润的和等于售价，可以得到方程 ，解得 ． 类似地，设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是－25％y元，可以得到方程 ，解得 ． [问题3]：你能分析总的亏损情况吗？ 解：两件衣服的进价是 元，而两件衣服的售价是60+60=120元，售价 进价，由此可以知道卖这两件衣服总的是 ． 注：要判断销售后是否盈利或亏损，实际就是要判断出售价和进价的大小关系，因此由题目中的已知条件找出每件衣服的进价是解决问题的关键。 球赛积分表问题（教材103页） 　 [问题1]：通过观察积分榜，你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？进而你能得到胜一场积几分吗？ 分析：观察积分榜，从最下面一行数据可以看出：负一场积 分；设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值， ．即：负一场积 分，胜一场积 分． [问题2]：用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； 分析：如果一个队胜m场，则负 场，胜场总积分 分，负场总积分 分，总积分为 ． [问题3]：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 解：设一个队胜了x场，则负了 场．根据“胜场总积分等于负场总积分”列方程得 注：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。 油菜种植问题 题目：某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率40％．今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点． 基本的数量关系：油菜籽的产油量＝油菜籽亩产量×含油率×种植面积． [问题1]：今年与去年相比，这个村油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20％，问今年油菜籽种植面积是多少亩？ 分析：设今年种植的油菜x亩，则去年种植的油菜有 亩，列式表示去、今年两年的产油量（单位：千克），去年产油量＝160×40％× ，今年产油量＝180× ×x．根据今年比去年产油量提高20％，列出方程 ＝180×50％×x． 解得 [问题2]：油菜种植成本为210元/亩，油菜收购价为6元/千克，请比较这个村去今两年油菜种植成本与将油菜全部售出所获收入． 分析：去年油菜种植成本为 （元），售油收入为 （元），售油收入与油菜种植成本的差为： （元）． 今年油菜种植成本为 （元），售油收入为 （元）， 油收入与油菜种植成本的差为： （元）． 所以两年相比，今年的油菜种植成本 ，售油收入 ． 电话计费问题（教材104页） 下表中有两种移动电话计费方式： 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 [问题1]：设一个月内用移动电话主叫时间为t min（t是正整数），根据上表，列表说明：当t在不同范围内取值时，按方式一和方式二如何计费。 分析：由上表知，计费与 有关，计费时首先要看主叫是否超过限定时间。 主叫时间t/min 方式一计费/元 方式二计费/元 t＜150 t=150 150＜t＜350 t=350 t＞350 [问题2]：观察上表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法。 分析：主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化。 ①当t≤150时，按 的计费少； ②当150＜t＜350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而按方式二的计费一直是88元，因此，当150＜t＜350时，存在主叫时间按方式一和方式二计费相等的情况。根据方程 =88 ，解得 即：当t= min时，两种方式的计费是相等的，都是88元； 当150min＜t＜ min时，按方式一的计费少于按方式二的计费； 当 min＜t＜350min时，按方式二的计费少于按方式一的计费 ③当t=350时，按 的计费少； ④当t＞350时，按照方式一的计费是 元，按方式二的计费是 元，易知 的计费少。 综合以上情况分析可以发现： ，选择方式一省钱； ，选择方式二省钱； [问题3]：有位经理他每月的主叫时间基本都在330min到360min，请你帮他选择一种省钱的计费方式？ 与电话计费问题类似的，还有用电（水、气）的问题、医疗报销问题，银行的储蓄问题……这类问题的解决关键是理清题目中的分段点及其对应关系，此类问题都属于方案决策问题。 在生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要选择一个最优方案，选择最优方案就是要把每一种方案的结果都算出来，通过比较，确定最优方案。 1、某商场在2014年元旦期间搞促销活动，一次性购物不超过200元不优惠；超过200元，但不超过500元，按9折优惠；超过500元，超过部分按8折优惠，其中的500元仍按9折优惠。某人两次购物分别用了134元和466元。问： （1）此人两次购物，若物品不打折优惠，他会花去多少钱？ （2）此人两次购物共节省了多少钱？ （3）若此人购买相同的商品，将两次购物改为一次性购物，是否更省钱？说明理由。 2、某园林门票价格规定如下表： 购票人数 1-50人 51-100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级甲、乙两班共104人去该园林游玩，其中甲班人数较多，有50多人，经计算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应该支付费用1240元。 （1）两班各有多少名学生？ （2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？