1“函数的应用”教学案例(石小康已改）

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1、“函数的应用”教学案例石小康一、教学设计1、背景情况2000年湖北省黄冈市的一道中考题：“国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造。莲花村六组有4个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在4个村庄联合架设一条线路，他们设计了4种架设方案（图中实线部分）。请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线。受本题的启发，又了解到贵阳市金阳新区要修建部分休闲广场以及广场周边要建若干生活小区。而生活小区之间必然要涉及到安装煤气、架设电线、污水排放等诸多问题，再结合本人所教班级（高一理科实验班）学生实际，于是便盟生了上一堂“数学情境与提出问题”的教改实验课。2

2、、课前准备教师设计制作多媒体课件,其中文字及静态图形用“PowerPoint”制作，动态图形用几何画板制作。学生准备文具：计算器、三角板、圆规、水彩笔等。3、设计思路根据“数学情境与提出问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境问题”学习链，使学生真正成为课堂的主人，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、启迪智慧、发展能力、体验数学的过程。基于上述精神，结合教学内容及教学对象的特点，我作了如下教学设计：3.1 创设一个学生熟悉而又感兴趣的数学情境：生活小区间煤气管道如何铺设最节省资金。3.2 启导学生提出自己关心的现实问题：如

3、何使正方形广场四个角上的生活小区间铺设的煤气管道总长最短。3.3 逐步将现实问题转化，抽象概括成数学问题：正方形内到各顶点的线段长度之和何时最小。3.4 为了解决其数学问题，要求学生自主探索、交流合作、估算猜测；教师进行启发诱导、展示动态图形；师生共同归纳，直至优选出最佳方案，即后面方案6所示的对称图形。3.5 对方案6所反映的数学问题进行逻辑证明，使学生体会到数学证明的作用，从中获取相关的数学知识，并培养逻辑推理、演绎证明的能力。3.6 根据相应的数学问题，启导学生，建立相应的函数模型“y=2x+4”，求出函数的最小值，最终解决管道铺设的实际问题。二、教学过程投影展示：“金阳广场”是一个边长

4、为四百米的正方形休闲广场，在此广场的四个角上建有A、B、C、D四个生活小区。小区欲安装煤气管道，但煤气公司只答应将煤气主管道安装到A小区，而其余三小区的煤气管道将由他们自筹资金铺设与A小区联通。生活小区负责人李主任知道住在C小区的小红是一所重点中学的高中生，于是就请小红帮助设计一下铺设煤气管道的方案，小红欣然接受，并于第二天就将设计好的方案交给了李主任，李主任看了设计方案后非常满意，并决定马上请煤气公司安装。请问，你知道小红是怎样设计的吗？师：请同学们认真阅读所展示的内容，仔细分析其中的涵义，然后分组（六人一组，共8个组）讨论，注意揣摩小红的设计思想。讨论之后每组派一代表将讨论的结果口头表述出

5、来。生1：小红设计时考虑了如何节省煤气管道的总长度；还考虑了煤气管道能否从广场草坪下面通过。生2：小红设计时考虑了安全因素，需要安装多少个闸阀；还考虑了如何使煤气管用得最少。生3：小红设计时考虑了怎样能使煤气管用得最少；还考虑了怎样能方便煤气管道的维修、保养。生4、生5：师：同学们的讨论很热烈，考虑的问题全面周到，提出的设想也比较符合实际，尤其是都考虑到铺设的煤气管道总长要最短。事实上，从李主任的角度，主要考虑的是如何节省资金，而节省资金的关键又取决于煤气管道总长的多少。至于别的诸多因素，据调查了解，都不会对管道铺设产生太大的影响。因此，小红的设计能使李主任非常满意，其原因应该是使铺设的煤气管

6、道总长最短，从而花钱最少。问题1：最佳设计方案一般应考虑哪些因素？众生：省时、省力、省钱、美观、适用、安全问题2：如果让你来设计，其方案如何？师：请各小组讨论，并把你们的设计方案用水彩笔在学案上画出示意图。各小组共提出了以下六种方案（图中实线部分为管道路线）师：要使铺设的煤气管道总长最短，显然煤气管道不能走广场外面从同学们的设计方案中，不难算出，方案1、2的管道长度要大于方案2、3的管道长度，方案5的管道长度又要比方案3、4的管道长度小，但方案5与方案6的情况又是怎样的呢？（在此，我特别请了方案6的设计者孙喆同学谈谈他的创意）。孙喆：首先，我想到的是连结对角线，此时管道总长为24=8（百米）。

7、接着，我又冒出一个想法：将对角线的交点0“拉长”，使之成一条线段，注意调整这条线段的两个端点的位置，应该会找到一个合理的方案。比如，作如下估算:取EAD= FBC=30(如图1)，则此时管道总长为4(2)+42(2)=4+4（百米）8（百米），即说明猜想是可取的。 师：刚才大家听了孙喆同学的叙述，请你们结合自己的设计体会，归纳出最佳设计方案，即铺设的煤气管道总长最短的设计方案应该是哪一个？众生：应该是方案6。问题3：正方形内到各顶点的线段长度之和何时最小？教师展示多媒体课件（如图2），通过几何画板演示，同学们观察设计方案中有关线段长度之和的数据变化情况，其结果确实是方案6所设计的情形最好。师：

8、通过估算及几何画板的演示，方案6所示的设计方案最佳。请同学们想一想，其理由是什么？经过各小组的讨论，得出如下结论：结论1：方案6中，如果EF左右平行移动，则有关线段长度之和增大。如图3所示，将EF向右平行移至MN位置。要比较AE+ED+EF+FB+FC与 AM+MD+MN+NB+NC的大小，因为AE=ED=FB=FC，AM=BN，MD=NC，EF=MN，所以只需比较FB+FC与NB+NC的大小，在FBC与NBC中，它们同底等高，故又只需比较等底等高的三角形中，等腰三角形和非等腰三角形的周长谁大谁小。定理：等底等高的三角形中，等腰三角形的周长最小。证明：延长BF到P，使BF=FP，连结PN（如图

9、4）FNBC，FB=FC PFNCFN PN=NCNB+NC=NB+NPPB=FB+FP=FB+FC因此，等底等高的三角形中，等腰三角形的周长最小。由定理知，当EF左右平行移动时，则有关线段长度之和增大。结论2：方案6中，如果EF上下移动，则有关线段长度之和也增大。如图5所示，将EF向上移至MN位置，延长BF交CD于P，连结NP，则NP=MD，FP=ED。要比较AE+ED+EF+FB+FC与AM+MD+MN+NB+NC的大小，因为AE=ED=FB=FC，AM=MD，NB=NC，EF=MN，所以只需比较NP+NC与FP+FC的大小，而FCP与NCP是等底等高的两个三角形，由定理知，NP+NCFP

10、+FC。因此，当EF上下移动时，则有关线段长度之和增大。结论3：方案6中，如果EF不规则移动时，则有关线段长度之和仍然增大。如图6所示，将E、F任意移动至M、N位置（在正方形ABCD内部），分别过M、N 作AD、BC 的平行线交EF于 G、H，则 AGD和BHC为等腰三角形，且分别与AMD和BNC等底等高，又MNGH，由定理知，AM+MD+MN+NB+NCAG+GD+GH+HB+HC，又由结论2知，AG+GD+GH+HB+HCAE+ED+EF+FB+FC。因此，当EF不规移动时，则有关线段长度之和仍然增大。综合结论1、2、3得，方案6（对称图形）铺设的煤气管道总长度，比其它方案铺设的煤气管道总

11、长度都要小，因而为最佳方案。然而，在方案6中，线段EF的长度在变化，又使得相应的线段长度之和发生变化，那么，E、F究竟在何处时，才使相关线段长度之和最小呢？问题4：正方形ABCD内，当E、F在何处时，AE+ED+EF+FB+FC有最小值？再让各小组讨论，试着建立函数模型，研究函数最值。教师进行巡视，了解学生建模情况，最后统一归纳出一般性的解答：在方案6中，设EF=2x（0x2），y=AE+ED+EF+FB+FC（单位：百米），延长FE交AD于G（如图7），则EGAD。由AE= =得 y=4AE+EF=4+2x即y-2x=4，两边平方并整理，得 12x2+4(y16)x+128y2=0 x为正实

12、数 =16（y16）2412（128y2）0即 y28y320 y44 或y4+4又 y0 y4+4当 y=4+4时，x=20，2故 x =2（百米）时，y有最小值4+4（百米）。因此，当点E、F在AB与CD（或AB与CD）的对称轴上（正方形ABCD内部）且分别离AD与BC（或AB与CD）的距离为 (百米)时，(此时ADE=DAE=CBF=BCF=30)，其管道总长最小。师：同学们，本问题的解决对你们的启发一定不小，看得出不少同学兴趣很浓，意犹未尽，那么请各小组课后继续讨论，并提出你们感兴趣的数学问题（如正方形广场为其它几何图形时情况又怎样？），然后形成数学作文。三、教学反思1、本堂课，教师立

13、足于所创设的情境，从解决问题的需要出发，灵活有序地组织启导学生，通过动手实践、自主探索、合作交流等学习方式从事一系列具体的数学活动，亲身经历了提出问题、解决问题的全过程，使学生真正成为最佳方案的“发现者”和“创造者”，亲身感受到发现与创造的苦和乐，也体会到数学应用的广泛和奇妙，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。从课后各小组完成的数学作文也中充分反映了本堂课所达到的教学效果，其中孙喆、严娇、蒋国军三位同学的数学作文具有较高水平，不仅语言流畅，思路自然，图形精美，分析全面透彻，推证严谨，还对教学中的部分疏漏问题作了适当的补充和完善。2、创设数学情境是“情境问题”教学的基础，教师

14、在创设数学情境时，必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标、教学需要等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较分析，选择具有较好教育和教学功能的情境。鉴此，本课所设置的数学情境：“生活小区负责人李主任”有必要改为“请我们为生活小区设计铺设煤气管道的方案，使得管道总长最短，应如何设计？”这样就能使学生尽快进入设计状态，直接进行实质性问题的探索研究，以减少不必要的猜测时间，提高课堂教学效益；又如对数学情境进行这样修改，也是很有意义的，即“若铺设煤气管道每米1百元，而三小区已自筹资金10万元，试问这笔资金能否铺设好煤气管道？”3、在结论1的研究过程中，将FB+FC与NB+NC的大小比较，转化

15、为同底等高的两个三角形其余两边和的大小比较，再转化为“定理”的证明。此处的教学应流畅自然，应避免粗糙和突然。4、方案6是介于方案4和方案5之间的一种情形，当EF=4(百米)时，即为方案4；当EF=0（E、F缩为一点）时，即为方案5。这种变化过程在几何画板中很容易体现出来，因此，教师在多媒体演示上还应该更充分一些，多给点时间让学生观察和感受，以便进行直觉猜想、归纳抽象。5、在建立函数模型时，各小组的建模思路不太一致，教师应全面的搜集各组的建模方式，充分肯定每位同学的建模思想，认真比较各种函数模型，共同选定目标函数。6、在求函数最小值时，也应该让学生有更多的实际体验机会，特别是无理函数向二次方程的

16、转化，判别式的应用，变量的取舍等内容是学生比较模糊且容易出错的地方。在教学中，不要怕学生遇到麻烦或出现错误，实际上，出现有价值的错误有时比不出现错误显得更有意义。7、鉴于本堂课所涉及的问题对高一年级学生来说难度比较大，牵涉到的知识也比较多，需要引伸的内容又不少，因此，有必要增加一个课时，就有关问题进行更彻底、更深层的探讨。比如，对函数y=2x+4的图象与性质以及与本实际问题的关系还可作深入研究；又如，在建立函数模型时，将自变量设为角度，尝试用三角函数知识求解问题也是一条途径。参考文献吕传汉，汪秉彝中小学数学情境与提出问题教学探究贵州人民出版,2002年（贵州师范大学附属中学 550001）点

17、评：本课以数学“情境问题”教学模式为指导，在灵活应用函数知识的基础上，培养学生数学建模、数学应用的意识和能力。1模拟性的情境，将学生带入到生活之中，让学生以“建筑设计师”的身份投入到数学学习当中，领悟数学应用的广泛性。2自主探究基础上的学习方式极大调动了学生学习的积极性，让学生积极参与数学活动，大胆猜想、合情推理、探究证明。3鼓励学生大胆设计。展示自己的设计方案，在数学图形的世界中寻找数学的美与价值。抓住学生设计的“闪光点”（将对角线交点“拉长”为一条线段），及时鼓励，用几何画版演示猜想的合理性，对于激励学生质疑反思，探索创新的行为有直接的促进作用。4正确应用多媒体辅助教学。把感性认识与理性认识相结合、让方案设计与多媒体展示，猜想与论证有机结合，引导学生由表及里地认识和应用数学知识。（点评人 曾小平 汪秉彝）9