直线、射线、线段(提高)知识讲解

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1、直线、射线、线段（提高）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题；3利用线段的和差倍分解决相关计算问题【要点梳理】要点一、直线1概念： 直线是 最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线” 、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述2. 表示方法：（ 1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1 所示，可表示为直线 AB ( 或直线 BA ) （ 2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2 所示，可以表示为直线l 3.基本性质： 经过两点有一条直线，并且

2、只有一条直线简单说成：两点确定一条直线要点诠释：直线的特征：（ 1）直线没有长短，向两方无限延伸（ 2）直线没有粗细（ 3）两点确定一条直线（ 4）两条直线相交有唯一一个交点4. 点与直线的位置关系：（ 1）点在直线上，如图3 所示，点A 在直线 m 上，也可以说：直线m 经过点 A （ 2）点在直线外，如图4，点 B 在直线 n 外，也可以说：直线n 不经过点B要点二、线段1. 概念： 直线上两点和它们之间的部分叫做线段2. 表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB 或线段 BA （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5 所示，记作：线段

3、a3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段例如：下图所示， 用圆规在射线AC 上截取 AB a法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段例如：可以先量出线段a 的长度，再画一条等于这个长度的线段4. 基本性质： 两点的所有连线中，线段最短简记为：两点之间，线段最短如图 6 所示，在A ，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的图 6要点诠释：（ 1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短（ 2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离（ 3）线段的比较：度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短叠合法： 利用直尺和圆规把线段放

4、在同一条直线上，使其中一个端点重合， 另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短5. 线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如图7 所示，点 C是线段 AB 的中点，则 AC CB1 AB ，或 AB 2AC 2BC2图 7要点诠释：若点 C是线段 AB的中点，则点C 一定在线段AB上要点三、射线1. 概念： 直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点如图 8 所示，直线l 上点 O 和它一旁的部分是一条射线，点O 是端点l图 82. 特征： 是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长3. 表示方法：（ 1）可以用两个大写英文字

5、母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8 所示，可记为射线OA （ 2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8 所示，射线OA 可记为射线l要点诠释：( 1) 端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线如图9 中射线OA ，射线 OB 是不同的射线图 9( 2) 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线如图10 中射线 OA 、射线 OB 、射线 OC 都表示同一条射线图 10要点四、直线、射线、线段的区别与联系1. 直线、射线、线段之间的联系（ 1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上

6、取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线（ 2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线2三者的区别如下表要点诠释：（1） 联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面【典型例题】写上“直线” “射线”“线段”字样类型一、有关概念1. 如图所示，指出图中的直线、射线和线段【思路点拨】 从图上看， A、D、 F 分别是线段 CB、 BC、 BE的延长线上的点，也就是说，D、 F 三点的位置并不是完全确定的此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了A、【答案与解析】解：直线有一条：直线AD ；射线有六条：射线BA 、射线BD 、

7、射线CA 、射线CD 、射线BF 、射线EF；线段有三条：线段BC 、线段BE 、线段CE【总结升华】 在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒然而，在叙述线段的延长线的时候， 表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了， 因为线段向一方延伸后就形成了射线 ( 延长部分已不再是线段本身了 ) ，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点举一反三：【高清课堂：直线、射线、线段397363拓展 4】【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点是为什么 ?画图说明 .这【答案】解：过两点有且只有一条直

8、线. （或两点确定一条直线. ）两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（ 1）；要么没有公共点，如图（ 2）；不能有两个公共点 .类型二、有关作图2如图 ( 1) 所示，已知线段a， b( a b) ，画一条线段，使它等于2a- 2b【答案与解析】解：如图 ( 2) 所示：( 1)作射线 AF ；( 2)在射线 AF 上顺次截取AB BC a；( 3)在线段 AC 上顺次截取AD DE b，则线段 EC 就是所要求作的线段【总结升华】 用尺规作图时，要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹举一反三：【变式 1】下列说法正确的有()射线与其反向延长线成一条直线；直线 a、 b 相交于点m；两直线相

9、交于两个交点；直线 A 与直线 B 相交于点MA 3 个B 2 个C 1 个D 4 个【答案】C【变式 2】下列说法中，正确的个数有()已知线段a， b 且 a- b c，则 c 的值不是正的就是负的；已知平面内的任意三点A ， B， C 则 AB+BC AC ；延长 AB 到 C，使 BC AB ，则 AC 2AB ；直线上的顺次三点D 、 E、 F，则 DE+EF DFA 1 个B 2 个C 3 个D 4 个【答案】 C类型三、个（条）数或长度的计算3. 根据题意，完成下列填空如图所示， l1 与 l 2 是同一平面内的两条相交直线， 它们有 1 个交点，如果在这个平面内，再画第3 条直线

10、 l3 ，那么这3 条直线最多有_个交点；如果在这个平面内再画第4条直线 l4 ，那么这 4 条直线最多可有 _个交点由此我们可以猜想：在同一平面内，6 条直线最多可有_个交点，n( n 为大于 1 的整数 ) 条直线最多可有_个交点 ( 用含有 n 的代数式表示 ) 【答案】 3， 6， 15，n(n 1 ).2【解析】 本题探索过程要分两步：首先要填好3 条直线最多可有2+1 3个交点，再类推4条直线， 5 条直线， 6 条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论【总结升华】 n( n 为大于1 的整数 ) 条直线的交点最多可有： 1 23 .n( n1)(n 1

11、)2个举一反三：【变式 1】平面上有n 个点，最多可以确定条直线【答案】n(n1)2【变式 2】一条直线有n 个点，最多可以确定条线段 ，条射线n(n1)【答案】， 2n【高清课堂：直线、射线、线段397363拓展1 （ 4）】【变式 3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?【答案】 0 个， 1 个， 2 个，或 3 个 .4. 已知线段 AB 14cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC 4cm， M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长【思路点拨】 题目中只说明了A 、 B、 C 三点在同一直线上，无法判定点C 在线段还是在线段AB 外 ( 也就是在线段AB 的延长线上 ) 所以

12、要分两种情况求线段AM【答案与解析】解：当点C 在线段 AB 上时，如图所示AB 上，的长因为 M 是线段 AC 的中点，1所以 AMAC 2又因为 AC AB - BC ， AB 14cm， BC 4cm，所以 AM1 ( AB BC )1 (14 4) 5(cm) 22当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图所示因为 M 是线段 AC 的中点，所以AM1 AC2又因为 AC AB+BC ，AB 14cm， BC 4cm，所以AM1 ( ABBC )9( cm) 2所以线段 AM 的长为 5cm 或 9cm【总结升华】 在解答没有给出图形的问题时， 一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即

13、当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论举一反三：【变式】( 武汉武昌区期末联考) 如图所示，数轴上线段AB 2( 单位长度 ) ，CD 4( 单位长度 ) ，点 A 在数轴上表示的数是- 10，点 C 在数轴上表示的数是16若线段AB 以 6 个单位长度 /秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以 2 个单位长度 /秒的速度向左匀速运动( 1) 问运动多少秒时，BC 8( 单位长度 )( 2) 当运动到BC 8( 单位长度 ) 时，点 B 在数轴上表示的数是_ _BDAP( 3) P 是线段AB上一点， 当B 点运动到线段CD上时，是否存在关系式3 PC若存在，求线段PD 的长；

14、若不存在，请说明理由【答案】解： ( 1)点 B 在数轴上表示的数是- 8，设运动t 秒时， BC 8（单位长度），则：当点 B 在点 C 的左边时，6t+8+2t 24t2( 秒 )当点 B 在点 C 的右边时，6t- 8+2t24t4( 秒 )答：当 t 等于 2 秒或 4 秒时， BC 8( 单位长度 )( 2)由（ 1）知：当t 2( 秒 ) 时， B 点坐标为： -8+6t= 8+6 2=4（单位长度）当 t 4( 秒 ) 时， B 点坐标为： -8+6t= 8+6 4=16（单位长度）所以答案为： 4 或 16( 3)存在，若存在，则有：BD AP+3PC ，设运动时间为t( 秒

15、) ，则：1当 t 3 时，点 B 与点 C 重合，点 P 在线段 AB 上， OPC2 且 BD CD 4， AP+3PC AB+2PC 2+2PC所以： 2+2PC=4 ，解得： PC 1此时，PD 5132当 3t时，点 C 在点 A 与点 B 之间， OPC 24点 P 在线段 AC 上时BD CD - BC 4- BCAP+3PC AC+2PC AB - BC+2PC 2- BC+2PC由 4- BC=2 - BC+2PC ， 可得： PC 1， 此时 PD 5点 P 在线段 BC 上时BD CD - BC 4- BC ， AP+3PC AC+4PC AB - BC+4PC 2- B

16、C+4PC17由 4- BC=2 - BC+4PC ，可得： PC，此时 PD223当 t13时，点 A 与在点 C 重合， 0PC 24BD CD - AB 2，AP+3PC 4PC17由 2 4PC，可得： PC，此时 PD2213t74当时， 0 PC 442BD CD BC 4 BC ，AP+3PC AB - BC+4PC 2- BC+4PC由 4 BC=2 - BC+4PC ，可得： PC172，此时 PD2综上可得：存在此关系式，且PD的长为5 或 7 .2类型四、路程最短问题5.如图所示，某公司员工分别住A 、B 、C 三个住宅区， A 区有 30 人， B 区有 15 人，C

17、区有 10 人三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区?【答案与解析】解：所有员工步行到停靠点A 区的路程之和为:0 30+100 15+( 100+200) 10 0+1500+3000 4500( m) ；所有员工步行到停靠点B 区的路程之和为:100 30+0 15+200 103000+0+2000 5000( m) ；所有员工步行到停靠点C 区的路程之和为：( 100+200) 30+15 200+10 0 9000+3000+0 12000( m) 因为 4500 5000 12000，所以所有员工步行到停靠点A 区的路程之和最小，所以停靠点的位置应设在A.【总结升华】 本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可得解.举一反三：【变式】如图，从A A-G-E-BBA 到B 最短的路线是（ A-C-E-B）CA-D-G-E-BD A-F-E-B【答案】D