测量学第3章-测量误差基本知识

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1、 3-4 误 差 传 播 定 律 在 实 际 工 作 中 有 许 多 未 知 量 不 能 直 接 观 测 而 求 其 值 ，需 要 由 观 测 值 间 接 计 算 出 来 。 例 如 某 未 知 点 B的 高 程 HB，是 由 起 始 点 A的 高 程 HA加 上 从 A点 到 B点 间 进 行 了 若 干 站 水准 测 量 而 得 来 的 观 测 高 差 h1hn求 和 得 出 的 。 这 时 未 知 点 B的 高 程 H。 是 各 独 立 观 测 值 的 函 数 。 那 么如 何 根 据 观 测 值 的 中 误 差 去 求 观 测 值 函 数 的 中 误 差 呢 ？ 阐述 观 测 值 中

2、误 差 与 观 测 值 函 数 中 误 差 之 间 关 系 的 定 律 ， 称为 误 差 传 播 定 律 。 一 、 观 测 值 的 函 数 1、 和 差 函 数 设 有 函 数 ：Z为 x、 y的 和 或 差 的 函 数 ， x、 y为 独 立 观 测 值 ， 已 知 其 中 误 差为 mx、 my， 求 Z的 中 误 差 mZ。设 x、 y和 z的 真 误 差 分 别 为 x、 y和 z则 若 对 x、 y 均 观 测 了 n次 ， 则将 上 式 平 方 ， 得 yxz yxz )2,1( niyixizi )2,1(2 222 niyiixyixizi nnnn yxyxz 2222求

3、和 ， 并 除 以 n， 得 由 于 x、 y均 为 偶 然 误 差 ， 其 符 号 为 正 或 负 的 机 会 相同 ， 因 为 x、 y为 独 立 误 差 ， 它 们 出 现 的 正 、 负 号 互 不 相关 ， 所 以 其 乘 积 xy也 具 有 正 负 机 会 相 同 的 性 质 ， 在 求 xy 时 其 正 值 与 负 值 有 互 相 抵 消 的 可 能 ； 当 n愈 大 时 ，上 式 中 最 后 一 项 xy /n将 趋 近 于 零 ， 即 0lim nn yx 将 满 足 上 式 的 误 差 x、 y称 为 互 相 独 立 的 误 差 ， 简 称 独 立误 差 ， 相 应 的 观

4、 测 值 称 为 独 立 观 测 值 。 对 于 独 立 观 测 值 来 说 ，即 使 n是 有 限 量 ， 由 于 式 残 存 的 值 不 大 ， 一 般 就忽 视 它 的 影 响 。 根 据 中 误 差 定 义 ， 得 0lim nn yx 222 yxz mmm 两 观 测 值 代 数 和 的 中 误 差 平 方 ， 等 于 两 观 测 值 中 误 差 的 平 方之 和 。当 z是 一 组 观 测 值 X 1、 X2Xn代 数 和 （ 差 ） 的 函 数 时 ， 即nxxxz 21 式 中 mxi是 观 测 值 xi的 中 误 差 。可 以 得 出 函 数 Z的 中 误 差 平 方 为

5、22222 1 xnxxz mmmm 结 论 ： n个 观 测 值 代 数 和 （ 差 ） 的 中 误 差 平 方 ， 等 于 n个 观 测 值中 误 差 平 方 之 和 。当 诸 观 测 值 xi为 同 精 度 观 测 值 时 ， 设 其 中 误 差 为 m， 即 mx1=mx2=mxn=m则 为 在 同 精 度 观 测 时 ， 观 测 值 代 数 和 （ 差 ） 的 中 误 差 ， 与 观测 值 个 数 n的 平 方 根 成 正 比 。 nmmz 例 1： 设 用 长 为 L的 卷 尺 量 距 ， 共 丈 量 了 n个 尺 段 ， 已 知 每 尺段 量 距 的 中 误 差 都 为 m， 求

6、 全 长 S的 中 误 差 ms。 解 ： 因 为 全 长 S=L L L（ 式 中 共 有 n个 L） 。 而 L的 中 误 差 为 m。 nmmS 结 论 ： 量 距 的 中 误 差 与 丈 量 段 数 n的 平 方 根 成 正 比 。例 2： 如 以 30m长 的 钢 尺 丈 量 90m的 距 离 ， 当 每 尺 段 量 距的 中 误 差 为 5mm时 ， 全 长 的 中 误 差 为 ： mmm 7.83590 当 使 用 量 距 的 钢 尺 长 度 相 等 ， 每 尺 段 的 量 距 中 误 差 都 为mL， 则 每 公 里 长 度 的 量 距 中 误 差 mKm也 是 相 等 的 。

7、 当 对 长度 为 S公 里 的 距 离 丈 量 时 ， 全 长 的 真 误 差 将 是 S个 一 公 里 丈量 真 误 差 的 代 数 和 ， 于 是 S公 里 的 中 误 差 为 ： 式 中 ， S的 单 位 是 公 里 。 kss msm 结 论 ： 在 距 离 丈 量 中 ， 距 离 S的 量 距 中 误 差 与 长 度 S的 平 方 根成 正 比 。 例 3 为 了 求 得 A、 B两 水 准 点 间 的 高 差 ， 今 自 A点 开 始 进 行水 准 测 量 ， 经 n站 后 测 完 。 已 知 每 站 高 差 的 中 误 差 均 为 m站 ，求 A、 B两 点 间 高 差 的 中

8、 误 差 。 解 ： 因 为 A、 B两 点 间 高 差 hAB等 于 各 站 的 观 测 高 差 hi（ i=l，2n） 之 和 ，即 hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 结 论 ： 水 准 测 量 高 差 的 中 误 差 ， 与 测 站 数 n的 平 方 根 成 正 比 站mnmhAB 2、 倍 数 函 数设 有 函 数 ：Z为 观 测 值 的 函 数 ， K为 常 数 ， X为 观 测 值 ， 已 知 其 中 误 差为 mx， 求 Z的 中 误 差 mZ。设 x和 z的 真 误 差 分 别 为 x和 z则 若 对 x 共 观 测 了 n次 ， 则将 上 式 平 方 ， 得求 和 ，

9、 并 除 以 n， 得 kxz xz k )2,1( nik xizi )2,1(222 nik xizi nkn xz 222 nm nm xx zz 22 xz xz kmm mkm 222结 论 ： 观 测 值 与 常 数 乘 积 的 中 误 差 ， 等 于 观 测 值 中 误 差 乘 常 数 。 例 4 在 1： 500比 例 尺 地 形 图 上 ， 量 得 A、 B两 点 间 的 距 离SAB=23.4mm， 其 中 误 差 msab=土 0.2mm， 求 A、 B间 的 实地 距 离 SAB及 其 中 误 差 msAB。 解 ： SAB=500 Sab=500 23.4=11700

10、mm=11.7m 得 msAB 500 mSab 500 （ 士 0.2） =土 100mm 0.1m 最 后 答 案 为 SAB=11.7m士 0.1m 3、 线 性 函 救 设 有 线 性 函 数 ：则 有例 5 设 有 线 性 函 救观 测 量 的 中 误 差 分 别 为 ，求 Z的 中 误 差 nnxkxkxkz 2211 22222112 )()()( nxnxxz mkmkmkm 321 141149144 xxxz mmmmmmmmm 6,2,3 321 mmm z 6.1614121493144 222 4、 一 般 函 数 nxxxfz 21,式 中 xi(i=1， 2n)为

11、 独 立 观 测 值 ， 已 知 其 中 误 差 为 mi(i=1 2n)， 求 z的 中 误 差 。 当 xi具 有 真 误 差 时 ， 函 数 Z相 应 地 产 生 真 误 差 z。 这 些真 误 差 都 是 一 个 小 值 ， 由 数 学 分 析 可 知 ， 变 量 的 误 差 与 函数 的 误 差 之 间 的 关 系 ， 可 以 近 似 地 用 函 数 的 全 微 分 来 表 达 。 xnnxxz xfxfxf 21 21 式 中 （ i=l， 2n） 是 函 数 对 各 个 变 量 所 取 的 偏 导数 ， 以 观 测 值 代 人 所 算 出 的 数 值 ， 它 们 是 常 数 ，

12、因 此上 式 是 线 性 函 数 可 为 ：ixf n nz mxfmxfmxfm 22222212212 例 6 设 有 某 函 数 z=Ssin式 中 S=150.11m， 其 中 误 差 m s =士 005m； =119 45 00 ， 其 中 误 差 m=士 20.6 ； 求 z的 中 误差 mz。解 ： 因 为 z=Ssin， 所 以 z是 S及 a的 一 般 函 数 。 mmm msmm z sz 44 cossin 22222 求 观 测 值 函 数 的 精 度 时 ， 可 归 纳 为 如 下 三 步 ： 1） 按 问 题 的 要 求 写 出 函 数 式 ： 2） 对 函 数

13、式 全 微 分 ， 得 出 函 数 的 真 误 差 与 观 测 值真 误 差 之 间 的 关 系 式 ：式 中 ， 是 用 观 测 值 代 入 求 得 的 值 。3） 写 出 函 数 中 误 差 与 观 测 值 中 误 差 之 间 的 关 系 式 ： nxxxfz 21, xn nxxz xfxfxf 21 21ixf n nz mxfmxfmxfm 22222212212 二 、 一 般 函 数 的 中 误 差 观 测 值 函 数 中 误 差 公 式 汇 总 函 数 式 函 数 的 中 误 差一 般 函 数倍 数 函 数 和 差 函 数 线 性 函 数 算 术 平 均 值 ),( 21 nx

14、xxFZ 2222222121 nnZ mxFmxFmxFm xxZ KmmKmKxZ 22nxxxZ 21 nmmZ nnxkxkxkZ 2211 2222222121 nnZ mkmkmkm nnnnnl lllx 12111 nmm X 误 差 传 播 定 律 的 应 用 用 DJ 6经 纬 仪 观 测 三 角 形 内 角 时 ， 每 个 内 角 观测 4个 测 回 取 平 均 ， 可 使 得 三 角 形 闭 合 差 m15 。 例 1： 要 求 三 角 形 最 大 闭 合 差 m15， 问 用 DJ6经 纬 仪 观 测 三 角 形 每 个 内 角 时 须 用 几 个 测 回 ？ 1 2

15、 3=(1+2+3)-180解 ： 由 题 意 ： 2m= 15,则 m= 7.5每 个 角 的 测 角 中 误 差 ： 3.435.7 m 测 回即 43.45.8,5.83.4, 22 nnnmmx 由 于 DJ6一 测 回 角 度 中 误 差 为 ：由 角 度 测 量 n测 回 取 平 均 值 的 中 误 差 公 式 ：5.826 m 误 差 传 播 定 律 的 应 用例 2： 试 用 中 误 差 传 播 定 律 分 析 视 距 测 量 的 精 度 。 解 :(1)测 量 水 平 距 离 的 精 度 基 本 公 式 ： 2cosKlD 求 全 微 分 ： dKldlKdDdllDdD )

16、cossin2(cos 2水 平 距 离 中 误 差 ： 22222 )2sin()cos( mKlmKm lD )206265( 其 中 ： 误 差 传 播 定 律 的 应 用例 2： 试 用 中 误 差 传 播 定 律 分 析 视 距 测 量 的 精 度 。 解 : (2)测 量 高 差 的 精 度 基 本 公 式 ： 求 全 微 分 ： dKldlKdDdllDdD )cossin2(cos 2高 差 中 误 差 ： 2222 )2cos(2sin21 mKlmKm lh 2sin21 Klh )206265( 其 中 ： 误 差 传 播 定 律 的 应 用例 3:(1)用 钢 尺 丈

17、量 某 正 方 形 一 条 边 长 为 求 该 正 方 形 的 周 长 S和 面 积 A的 中 误 差 .解 : (1)周 长 , lml (2)用 钢 尺 丈 量 某 正 方 形 四 条 边 的 边 长 为其 中 : 求 该 正 方 形 的 周 长 S和 面 积 A的 中 误 差 . ili ml lllll mmmmmlllll 43214321 且lS 4 lS mm 4 面 积 , 2lA lA lmm 2 周 长 的 中 误 差 为 dldS 4全 微 分 :面 积 的 中 误 差 为 全 微 分 : ldldA 2 （ 2） 1 2 3 4=S l l l l 1 2 3 42 2

18、 2 2 22 242s l l l lssm m m m mm mm m 1 2 2 2 22 1 1 22 222A AAA l lm l m l mm mm m 如 果 对 某 个 未 知 量 进 行 n次 同 精 度 观 测 ， 则 其最 或 然 值 即 为 n次 观 测 量 的 算 术 平 均 值 ： ni in llll nnX 121 1)(1 在 相 同 条 件 下 对 某 段 长 度 进 行 两 组 丈 量 ：lll 4,2,1 第 一 组 ： 第 二 组 ： lll 10,6,5 算 术 平 均 值 分 别 为 LL 21 , 414211 41)(41 i illllL

19、10510652 61)(61 j jllllL ,21 mm LL 其 中 误 差 分 别 为 ：mmL14 22 mmL26 2241 mmL 62 mmL 全 部 同 精 度 观 测 值 的 最 或 然 值 为 ： 1010 10 541 j ji i lllX 64 64 21 LL mmmm LmmLmm LL LL 2222 122122 21 21 pp LpLpX 21 2211 121 2121 pp LLppXp i 在p i Li XLi值 的 大 小 体 现 了 中 比 重 的 大 小 ，称 为 的 权 。 令 22 02 2i ii L Lmmp m m 若 有 不

20、同 精 度 观 测 值 , 21 LLL n 其 权 分 别 为, 11 ppp n 该 量 的 最 或 然 值 可 扩 充 为 ： ppLX ppp LpLpLp n nn 21 2211称 之 为 加 权 算 术 平 均 值 。 当 各 观 测 值 精 度 相 同 时 pppp n 21 nppX n i in LLLL 121 )111( )( mmmm n 21 定 权 的 基 本 公 式 ： 2i icp mc为 任 意 正 数 ， 权 等 于 1的 中 误 差 称 为 “ 单 位 权 中误 差 ” ， 一 般 用 m0表 示 。 所 以 ： 2020 1i ii imp mm m

21、p中 误差 的 另 一 种表 达方 式 ： 权 的 特 性1、 反 映 了 观 测 值 的 相 互 精 度 关 系 。 3 、 不 在 乎 权 本 身 数 值 的 大 小 ， 而 在 于 相 互 的 比 例 关 系 2 2 20 0 02 2 2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1: : : : : : : : :n n nm m mp p p m m m m m m 2、 c值 的 大 小 和 X值 没 有 关 系4 、 若 Li是 同 类 量 的 观 测 值 ， 此 时 ， 权 无 单 位 。 若 Li是不 同 类 量 的 观 测 值 ， 权 是 否 有 单 位 不 能 一 概 而 论 ， 而 视具 体 情 况 而 定 。 四 、 单 位 权 中 误 差 的 计 算 在 同 精 度 观 测 中 ， 观 测 值 的 精 度 是 相 同 的 ， 因 此 可 用 来 计 算 观 测 值 的 中 误 差 。 在 不 同 精 度 观 测 中 ， 每 个 观测 值 的 精 度 不 同 ， 就 必 须 先 求 出 单 位 权 中 误 差 ， 然 后根 据 求 出 各 观 测 值 的 中 误 差 。 1 nvvmnm 或以 推 导 计 算 单 位 权 中 误 差 的 公 式 为 0 /i im m p 00 1pm npvvm n