定积分的应用(几何上应用

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1、1 第 六 章 定 积 分 的 应 用 2 回 顾 曲 边 梯 形 求 面 积 的 问 题 ba dxxfA )(一 、 问 题 的 提 出曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线)(xfy )0)( xf 、x轴 与 两 条 直 线 ax 、bx 所 围 成 。 a b x yo )(xfy 定 积 分 的 微 元 法 3 求 曲 边 梯 形 面 积 的 步 骤 ： a b xyo ix1x 1ix 1nxiii xfA )(、 分 割1 ni iAA 1、 近 似2、 求 和3 ni iAA 1 ni ii xf1 )(、 取 极 限4 ini i xfA 10 )(lim ),max( nxx

2、x 21 上 任 一 点为 , ,iii iii xx xxx 1 1 ba dxxf )( i 4 则上 步 骤 若 省 略 下 标 ,i, iiiii xxxxx 1 iA Aii xf )( ii x取 ii xxf )( xxf )( dxxf )(ii xfA )(lim 0 dxxfA ba )(:的 方 法实 际 求 面 积 A a b xyo )(xfy .,)( bxax 为 积 分 变 量选 取1 上 作 近 似在 典 型 区 间 ,)( dxxx 2 dxxfA )( dxxfdA )(即 x dxx 面 积 元 素_积 分到对 面 积 元 素 从 ba)(3 dxxfA

3、 ba )( , dxxxxxx 5 当 所 求 量 U符 合 下 列 条 件 ： （ 3） 部 分 量 iU 的 近 似 值 可 表 示 为 ii xf )( ； :问 题 ?分 表 示什 么 样 的 量 可 以 用 定 积 6 元 素 法 的 一 般 步 骤 ：1） 根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 , ba ； 求 微 元内 考 虑 典 型 区 间在 ,) xxxba 2 dxxfdU )( 积 分到将 微 元 从 ba)3 dxxfU b a )( 这 个 方 法 通 常 叫 做 元 素

4、 法 应 用 方 向 ： 平 面 图 形 的 面 积 ； 体 积 ； 平 面 曲 线 的 弧长 ； 功 ； 水 压 力 ； 引 力 和 平 均 值 等 7 1、 直 角 坐 标 系 情 形xyo )(xfy a bxx x曲 边 梯 形 的 面 积 ba dxxfA )(平 面 图 形 的 面 积第 一 节 8x yo )(1 xfy )(2 xfy a b曲 边 梯 形 的 面 积 ba dxxfxfA )()( 12如 果 图 形 是 由 两 条 曲 线 围 成x xx :微 元 法 为 积 分 变 量取 x)(1 bxa 求 微 元在 典 型 区 间 ,)( xxx 2 dxxfxfdA

5、 )()( 12 积 分)(3 9 一 般 地 设 两 条 连 续 曲 线 )(,)( xfyxfy 21 与 直 线 )(, babxax 所 围 平 面 图 形 面 积 为A ,则 xdxfxfAd )()( 21 xdxfxfA b a )()( 21y xo )(xfy 1 )(xfy 2a bx dxx 10 例 1 计 算 由 两 条 抛 物 线 xy 2 和 2xy 所 围 成 的图 形 的 面 积 .解 两 曲 线 的 交 点)1,1()0,0( dxxxdA )( 2 , 10 xdxxxA )( 210 103332 23 xx .31 2xy2yx求 面 积 元 素上在

6、典 型 区 间 ,)( dxxx 2 为 积 分 变 量取 x)(1 积 分)(3 11 例 2 计 算 由 曲 线 xxy 63 和 2xy 所 围 成的 图 形 的 面 积 .解 两 曲 线 的 交 点 ).9,3(),4,2(),0,0( 23 6xy xxy选 为 积 分 变 量x 3,2x,0,2)1( x dxxxxdA )6( 231 ,3,0)2( x dxxxxdA )6( 322 2xy xxy 63 12 于 是 所 求 面 积 21 AAA dxxxxA )6( 202 3 dxxxx )6( 3230 .12253说 明 ： 注 意 各 积 分 区 间 上 被 积 函

7、 数 的 形 式 问 题 ： 积 分 变 量 只 能 选 吗 ？x 13 :图如 果 曲 线 围 成 的 面 积 如 xyo )(yx )(yx cd:微 元 法 ,) dycy 为 积 分 变 量取1 上 求 微 元在 ,) dyyy 2 ydyydyyydA )()( 积 分)3 dyyyA dc )()( 14 例 3 计 算 由 曲 线 xy 22 和 直 线 4 xy 所 围成 的 图 形 的 面 积 .解 两 曲 线 的 交 点 ).,(),( 4822 422 xy xy选 为 积 分 变 量y , 42ydyyydA 24 2 .)( 182442 242 dyyydAA xy

8、 2 2 4 xy22yx 4 yx 15 如 果 曲 边 梯 形 的 曲 边 为 参 数 方 程 )( )(ty tx 曲 边 梯 形 的 面 积 .)()(21 tt dtttA （ 其 中 1t 和 2t 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ） 在 1t , 2t （ 或 2t , 1t ） 上 )(tx 具 有 连 续 导 数 ，)(ty 连 续 . 16 例 4 求 椭 圆 12222 byax 的 面 积 .解 椭 圆 的 参 数 方 程 tby tax sincos由 对 称 性 知 总 面 积 等 于 4倍 第 一 象 限 部 分 面 积 a ydxA 04 0

9、2 )cos(sin4 tatdbdttab 20 2sin4 .ab 17 例 5. 求 由 摆 线 )cos(,)sin( tayttax 1)0( a 的 一 拱 与 x 轴 所 围 平 面 图 形 的 面 积 .解 : tdta 20 22 )cos1( tdta 2 0 42 2sin4 令 2tu udua 42 sin8 udua 0 42 sin16 2 216a 43 21 223 a 0 a ydxA 20 dttata )cos()cos( 1120 xyo a2 18 6例 图 形 面 积 上 所 围在与求 曲 线 ,sinsin 02xyxy xyo :解 的 交 点

10、与求 xyxy 2sinsin :有 三 个 ),(),(),( 023300 3dxxxA 0 2sinsin dxxx 30 2 )sin(sin dxxx 3 2 )sin(sin 330 221221 coscoscoscos xxxx 25 19 7例公 共 部 分 的 面 积 所 围 图 形与求 椭 圆 1313 2222 yxyx xyo:解 求 交 点 13 13 22 22 yx yx由 得 交 点 坐 标 为 ).,(),(),(),( 2323232323232323 DCBA ABC D1AdxxxA 230 221 3113 123 1431 AA 333 332 2

11、0 2、 极 坐 标 系 情 形 系 关 系 ：、 直 角 坐 标 系 与 极 坐 标)1 sincosry rx 1 22 yx 1rxyx 422 xyo 42 22 yx )( cos4r 21 设 由 曲 线 )(r 及 射 线 、 围 成 一 曲 边 扇 形 ，求 其 面 积 xo d d ddA 221 )(曲 边 扇 形 的 面 积 .)( dA 221 2)、 极 坐 标 系 下 求 面 积 )(r:微 元 法 ,)( 为 积 分 变 量取1 上 求 面 积 元 素在 ,)( d2 积 分)(3 22 例 8 求 双 纽 线 2cos22 a 所 围 平 面 图 形的 面 积

12、. 解 由 对 称 性 知 总 面 积 =4倍 第一 象 限 部 分 面 积14AA daA 2214 40 2 cos .2a xy 222 cosa 1A 23 例 9 求 心 形 线 )cos1( ar 所 围 平 面 图 形 的面 积 )0( a . 解 dadA 22 121 )cos( 利 用 对 称 性 知 .223 a d d2)cos1( 02212 aA d)coscos21( 2 02a 2sin41sin2232a 0 24 10例 及求 由 四 条 曲 线 cos,cos 84 rr围 成 图 形 的 面 积34 ,:解 cos4r xyx 422 cos8r xyx

13、 822 , 34 为 积 分 变 量取 面 积 元 素 cos4r xyo cos8r ddA )cos()cos( 22 4821 积 分 dA 34 22 4821 )cos()cos( 633 25 11例 .成 如 图 的 面 积求 圆 及 柏 努 利 双 纽 线 围 cos2r 232 sinr xyo:解 求 交 点 2322 sincosrr由交 点 ).,(),( 20623 dA 60 2321 sin d 26 2221 cos 6 26 xo y 0MA nMB1M 2M 1nM设 A、 B是 曲 线 弧 上 的 两个 端 点 ， 在 弧 上 插 入 分 点BMM MM

14、MA nn i , ,1 10 并 依 次 连 接 相 邻 分 点 得 一 内 接 折 线 ， 当 分 点 的 数 目无 限 增 加 且 每 个 小 弧 段 都 缩 向 一 点 时 ， 此 折 线 的 长 |1 1 ni ii MM 的 极 限 存 在 ， 则 称 此 极 限 为曲 线 弧 AB的 弧 长 . 第 二 节 平 面 曲 线 弧 长 27 设 曲 线 弧 为 )(xfy )( bxa ， 其 中 )(xf 在 , ba 上 有 一 阶 连 续 导 数 xo y a bx dxx 取 积 分 变 量 为 x， 在 , ba上 任 取 小 区 间 , dxxx ， 以 对 应 小 切

15、线 段 的 长 代 替 小 弧 段 的 长 dy 小 切 线 段 的 长 22 )()( dydx dxy 21 弧 长 元 素 dxyds 21 弧 长 .1 2dxys ba 1、 直 角 坐 标 情 形 28 解 ,21xy dxxds 2)(1 21 ,1 dxx所 求 弧 长 为 dxxs ba 1 .)1()1(32 2323 ab a b 29 例 2 计 算 曲 线 dny nx 0 sin 的 弧 长 )0( nx .解 nnxny 1sin ,sinnxdxys ba 21 dxnxn 0 sin1ntx ndtt0 sin1 dtttttn 0 22 2cos2sin22

16、cos2sin dtttn 0 22 cossin .4n 30 曲 线 弧 为 ,)( )( ty tx )( t 其 中 )(),( tt 在 , 上 具 有 连 续 导 数 .22 )()( dydxds 222 )()( dttt dttt )()( 22 弧 长 .)()( 22 dttts 2、 参 数 方 程 情 形 31 例 3 求 星 形 线 323232 ayx )0( a 的 全 长 .解 星 形 线 的 参 数 方 程 为 tay tax 33sincos )20( t根 据 对 称 性 14ss dtyx 20 224 dttta 20 cossin34.6a xyo

17、 32 例 4 证 明 正 弦 线 xay sin )20( x 的 弧 长 等 于 椭 圆 tay tx sin1cos 2 )20( t 的 周 长 .证 设 正 弦 线 的 弧 长 等 于 1sdxys 20 21 1 dxxa 20 22cos1 设 椭 圆 的 周 长 为 2s ,cos12 0 22 dxxa 33 ,20 222 dtyxs 根 据 椭 圆 的 对 称 性 知 dttats 0 2222 cos1sin2 dxxa 0 22cos12 ,1s故 原 结 论 成 立 . dtta 0 22cos12 34 曲 线 弧 为 )( )(rr 其 中 )( 在 , 上 具

18、 有 连 续 导 数 . sin)( cos)(ry rx )( 22 )()( dydxds ,)()( 22 drr 弧 长 .)()( 22 drrs 3、 极 坐 标 情 形 35 例 5 求 极 坐 标 系 下 曲 线 33sin ar 的 长 .)0( a解 drrs )()( 22 313cos3sin3 2 ar ,3cos3sin 2 a.23 a daa 24262 3cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0( )3 36 例 6 求 阿 基 米 德 螺 线 ar )0( a 上 相 应 于 从 0到 2 的 弧 长 .解 ,ar drrs )()( 22 .

19、)412ln(4122 22 a 20 daa 222 20a d12 37 旋 转 体 就 是 由 一 个 平 面 图 形 饶 这 平 面 内一 条 直 线 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 这 直 线 叫 做旋 转 轴 圆 柱 圆 锥 圆 台1、 旋 转 体 的 体 积立 体 的 体 积 及 侧 面 积第 三 节 38 一 般 地 ， 1)、 如 果 旋 转 体 是 由 )(xfy 、 直 线ax 、 bx 及 x轴 所 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x轴旋 转 一 周 而 成 的 立 体 ， 体 积 为 多 少 ？ dxxfdV 2)(旋 转 体 的 体 积 为 dxxfdxyV b

20、aba 22 )( xyo a b)(xfy :微 元 法 ,)( bxax 为 积 分 变 量取1 上 求 微 元在 ,)( dxxx 2 x dxx积 分)(3 39 y r解 hPxhry 取 积 分 变 量 为 x， ,0 hx在 ,0 h 上 任 取 小 区 间 , dxxx ， xo直 线 方 程 为OP 40 dxxhrdV 2 圆 锥 体 的 体 积 dxxhrV h 20 hxhr 0322 3 .3 2hr y rhP xo 41a ao y x例 2 求 星 形 线 323232 ayx )0( a 绕 x轴 旋 转构 成 旋 转 体 的 体 积 .解 ,323232 x

21、ay 332322 xay , aax 旋 转 体 的 体 积 dxxaV aa 33232 .10532 3a 42 3例 椭 球 体 积 轴 旋 转 形 成 的绕计 算 椭 圆 xbyax 12222 xyo:解 上 半 圆 方 程 22 xaaby axax ,)( 取 积 分 变 量 为1 a a上 求 微 元在 ,)( dxxx 2 x dxxdxydV 2 dxxaab )( 2222 积 分)(3 dxxaabV aa )( 2222 234 ab:注 Vy轴 旋 转 ，、 若 绕1 ba2343342 aVba 时 ，、 当 43x yo )(yx cddyy 2)( dcV:

22、微 元 法 ,)( dycy 为 积 分 变 量取1 上 求 微 元在 ,)( dyyy 2 ydyydyydV 2)(积 分)(3 dyy 2)( dcV 44 4例 . ,轴 旋 转 的 体 积绕 所 围 成 的 图 形求 由y xyxy 022 xyo 2xy :解 2xy yx dyyV b a 2)( ydy 20 2 45 dxxfxV bay )( 2 xyo )(xfy a b:事 实 上 bxax ,)( 为 积 分 变 量取1 x dxxdxxxfdV )(2积 分)(3 dxxfxV bay )( 2 求 微 元） 在 典 型 区 间（ ,2 dxxx 46解 绕 x轴

23、旋 转 的 旋 转 体 体 积dxxyV ax )(220 20 22 )cos1()cos1( dttata 20 323 )coscos3cos31( dtttta .5 32a a2a )(xy 47 绕 y轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 可 看 作 平 面 图 OABC与 OBC 分 别 绕 y轴 旋 转 构 成 旋 转 体 的 体 积 之 差 .dyyxV ay )(220 2 dyyxa )(220 1 o y xa2 ABCa2 )(2 yxx )(1 yxx 2 22 sin)sin( tdtatta 0 22 sin)sin( tdtatta 20 23 sin)sin(

24、 tdttta .6 33a:1解 法 48 绕 y轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 oy xa2 ABC:2解 法 )(xfy dxxfxV ay )( 202 20 )sin()cos1()sin(2 ttadtatta 20 23 )cos1)(sin(2 dtttta .6 33a 49 例 6 求 由 曲 线 24 xy 及 0y 所 围 成 的 图 形绕 直 线 3x 旋 转 构 成 旋 转 体 的 体 积 . 解 取 积 分 变 量 为 y, 4,0y体 积 元 素 为 dyQMPMdV 22 dyyy )()( 22 4343 ,dyy 412 dyyV 40 412 .64

25、 3 dyP Q M 50 7例 轴 旋 转 体 的 体 积和求 下 图 绕 yx xyoA B 2xy 2y2 xy:解 22xy xy由 ),( 11A交 点 2 2y xy由 ),( 22B交 点 dxxdxxxV x 20 401 42 42 )( )( 24832151 20 2dyyVy )( 2 51 2、 平 行 截 面 面 积 为 已 知 的 立 体 的 体 积,)( dxxAdV .)( ba dxxAV ),(xA的 面 积 为已 知 一 立 体 的 平 行 截 面:则 立 体 的 体 积 为 xyo a bx微 元 法 bxax ,)( 为 积 分 变 量取1 dxx

26、)(xA 积 分)(3 .)( ba dxxAV 上 求 微 元在 ,)2( dxxx 52R R x yo解 取 坐 标 系 如 图底 圆 方 程 为 222 Ryx 垂 直 于 x轴 的 截 面 为 直 角 三 角 形 x截 面 面 积 ,tan)()( 2221 xRxA 立 体 体 积 dxxRV R R tan)( 2221 .tan332 R 53 解 取 坐 标 系 如 图底 圆 方 程 为 ,222 Ryx xyo Rx 垂 直 于 x轴 的 截 面 为 等 腰 三 角 形截 面 面 积 22 xRhyhxA )(立 体 体 积 dxxRhV RR 22 .hR221 54 垂

27、 直 轴 的 截 面 是 椭 圆 111 2222 2 22 2 )()( axax c zb y例 10. 计 算 椭 球 面 1222222 czbyax 所 围 立 体 (椭 球 )的 体 积 .解 :它 的 面 积 为 )()( 221 axbcxA 因 此 椭 球 体 体 积 为 xdbc ax )( 221 bc2 0a bca34特 别 当 a = b = c 时 就 是 球 体 体 积 . )( axa aV 02 x 233ax xy z aax 55 11例 与一 平 面 图 形 是 由 抛 物 线 22 yx轴 所 围 成 ，轴 、处 的 法 线 及过 点 yxA ),(

28、 13 ;)( 求 此 平 面 图 形 的 面 积1:解 xyo 2 3AB22 yx ydydx 2 ydxdy 21 2113 yxdxdykA的 切 线 斜 率点 处 的 法 线 方 程曲 线 在 点 A )( 321 xy 072 yx),( 70点 坐 标 为B .)( 轴 旋 转 体 的 体 积轴 及求 此 平 面 图 形 绕 yx2 56 xyo 2 3AB ),( 703212 334 072 yx 22 yxdxxdxxVx 232230 227 )()( 2105yV dyydyy 210 2271 227 )()( 15823dxxA 32 22 3)17( 57 3、

29、旋 转 体 的 侧 面 积对 于 旋 转 体 的 侧 面 积 ， 在 小 区 间 , dxxx 上 用 圆 周 长 )(2 xf 与 弧 长 微 元 ds 的 乘 积 作 为 部 分 量 S 的 近 似 值 侧 面 积 的 微 元 dxxfxfdsxfdS )(1)(2)(2 2 图 6 16 58 于 是 ， 旋 转 体 的 侧 面 积 ba dxxfxfS )(1)(2 2若 光 滑 曲 线 由 参 数 方 程 )()( )( tty tx给 出 , 则 它 绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 侧 面 积 为 S )(2 t ttt d)()( 22 59 xRyo例 1.

30、计 算 圆 上 绕在 , 21222 RRxxxRyx x 轴 旋 转 一 周 所 得 的 球 台 的 侧 面 积 S .解 : 对 曲 线 弧 , 2122 xxxxRy 应 用 公 式 得 212 xxS 22 xR 2 1 22 xR x xd 21 d2 xx xR )(2 12 xxR 当 球 台 高 h 2R 时 , 得 球 的 表 面 积 公 式24 RS 1x 2xoz y x 60 例 2. 求 由 星 形 线一 周 所 得 的 旋 转 体 的 表 面 积 S .解 : 利 用 对 称 性 2022 S ta 3sin 22 tta sincos3 2 td 20 42 dc

31、ossin12 ttta ta 52 sin5112 022512 a tta cossin3 2绕 x 轴 旋 转 星 形 线 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 taytax 33 sin,cos 61 求 在 直 角 坐 标 系 下 、 参 数 方 程 形 式下 、 极 坐 标 系 下 平 面 图 形 的 面 积 .（ 注 意 恰 当 的 选 择 积 分 变 量 有 助 于 简 化积 分 运 算 ）四 、 小 结旋 转 体 的 体 积 绕 轴 旋 转 一 周x绕 非 轴 直 线 旋 转 一 周绕 轴 旋 转 一 周y平 行 截 面 面 积 为 已 知 的 立 体 的 体 积 62 2

32、056 P习 题 1(单 数 ),2,4,5(1)(3),8,9, 10,12,15,16,17, 20,21,22,24,25 63直 角 坐 标 系 下参 数 方 程 情 形 下极 坐 标 系 下 弧 微 分 的 概 念求 弧 长 的 公 式 平 面 曲 线 弧 长 的 概 念 64 65 思 考 题 闭 区 间 , ba 上 的 连 续 曲 线 )(xfy 是 否 一 定 可 求 长 ？ 66 思 考 题 解 答不 一 定 仅 仅 有 曲 线 连 续 还 不 够 ， 必 须 保 证曲 线 光 滑 才 可 求 长 67 一 、 填 空 题 ：1、 曲 线 xy ln 上 相 应 于 83

33、x 的 一 段 弧 长 为 _；2、 渐 伸 线 )sin(cos tttax ， )cos(sin tttay 上 相 应 于 变 到从 0t 的 一 段 弧 长 为 _； 3、 曲 线 1r 自 43 至 34 一 段 弧 长 为 _ .二 、 计 算 半 立 方 抛 物 线 32 )1(32 xy 被 抛 物 线 32 xy 截 得 的 一 段 弧 的 长 度 .三 、 计 算 星 形 线 tax 3cos ， tay 3sin 的 全 长 . 练 习 题 68 四 、 求 心 形 线 )cos1( ar 的 全 长 . 五 、 证 明 ： 曲 线 xy sin )20( x 的 弧 长

34、 等 于 椭 圆22 22 yx 的 周 长 . 六 、 在 摆 线 ),sin( ttax )cos1( tay 上 求 分 摆线 第 一 拱 成 3:1 的 点 的 坐 标 . 69 练 习 题 答 案 一 、 1、 23ln211 ； 2、 22a ； 3、 23ln125 . 二 、 1)25(98 23 . 三 、 a6 . 四 、 a8 . 六 、 )23,)2332( aa . 70 思 考 题 求 曲 线 4xy ， 1y ， 0 x 所 围 成的 图 形 绕 y轴 旋 转 构 成 旋 转 体 的 体 积 . 71 思 考 题 解 答 xyo 14yxy 交 点 ),1,4(立

35、 体 体 积 dyxVy 1 2dyy 1 216 116y .16 1y 72 一 、 填 空 题 ： 1、 连 续 曲 线 ,)(xfy 直 线 ax ， bx 轴及 x 所 围 图 形 轴绕 x 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 的 体 积v _， 轴绕 y 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 的 体 v积 _； 2、 ba dxxfv )( 常 用 来 表 示 _立 体 的 体 积 ； 3、 抛 物 线 axy 42 及 直 线 )0( 00 xxx 所 围 成 的 图 形 轴绕 x 旋 转 而 成 的 立 体 的 体 积 _； 4、 0,0,cosh yaxxaxay 所 围 成

36、的 图 x形 绕 轴 旋 转 而 成 的 立 体 的 v体 积 _； 练 习 题 73 二 、 有 一 铁 铸 件 ， 它 是 由 抛 物 线 、2101 xy 1101 2 xy 与 直 线 10y 围 成 的 图 形 ， 轴绕 y 旋 转 而 成 的 旋 转 体 ， 算 出 它 的 质 量 （ 长 度 单 位 是 厘 米 ， 铁 的 密 度 是 38.7 厘 米克 ） . 三 、 把 星 形 线 3 23232 ayx 轴绕 x 旋 转 ， 计 算 所 得 旋 转 体 的 体 积 . 四 、 求 摆 线 )sin( ttax ， )cos1( tay 的 一 拱 ，0y ， 绕 直 线 a

37、y 2 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体 积 . 74 五 、 求 222 ayx 绕 )0( abbx 旋 转 所 成 旋 转体 的 体 积 . 六 、 设 有 一 截 锥 体 ， 其 上 ， 下 底 均 为 椭 圆 ， 椭 圆 的 轴长 分 别 为 和BA 2,2 ba 2,2 , h高 为 ， 求 这 截 锥 体 的 体 积 . 七 、 设 直 线 baxy 与 直 线 0 x ， 1x 及 0y 所 围成 梯 形 面 积 等 于 A， 试 求 ba , 使 这 个 梯 形 轴绕 y 旋 转 所 得 体 积 最 小 . 75 一 、 1、 ba dxxf )(2 , ba dxxxf

38、)(2 ； 2、 已 知 平 行 截 面 面 积 的 ； 3、 202 ax ； 4、 2243 sha . 二 、 (克 ) . 三 、 310532 a . 四 、 327 a . 五 、 ba222 . 六 、 )(261 bAaBABabh . 七 、 Aba ,0 . 练 习 题 答 案 76 思 考 题 设 曲 线 )(xfy 过 原 点 及 点 )3,2( ， 且 )(xf为 单 调 函 数 ， 并 具 有 连 续 导 数 ， 今 在 曲 线 上 任 取 一 点 作 两 坐 标 轴 的 平 行 线 ， 其 中 一 条 平 行 线与 x轴 和 曲 线 )(xfy 围 成 的 面 积

39、 是 另 一 条 平 行 线 与 y轴 和 曲 线 )(xfy 围 成 的 面 积 的 两倍 ， 求 曲 线 方 程 . 77 思 考 题 解 答 1S 2S xyo )(xfy),( yx12 2SS x dxxfS 02 )( x dxxfxySxyS 021 )( )(2)( 00 xx dxxfxydxxf ,2)(3 0 xydxxfx 两 边 同 时 对 求 导x 78 yxyxf 22)(3 yyx 2积 分 得 ,2 cxy 因 为 曲 线 )(xfy 过 点 )3,2( 29 c,292 xy 因 为 )(xf 为 单 调 函 数所 以 所 求 曲 线 为 .223 xy 7

40、9 一 、 填 空 题 ：1、 由 曲 线 eyey x , 及 y轴 所 围 成 平 面 区 域 的 面 积 是 _ .2、 由 曲 线 23 xy 及 直 线 xy 2 所 围 成 平 面 区 域 的 面 积 是 _ .3、 由 曲 线 1,1,1,1 2 xxyxxy 所 围 成 平 面 区 域 的 面 积 是 _ .4、 计 算 xy 22 与 4 xy 所 围 的 区 域 面 积 时 ， 选 用 _作 变 量 较 为 简 捷 .5、 由 曲 线 xx eyey , 与 直 线 1x 所 围 成 平 面 区 域 的 面 积 是 _ . 练 习 题 80 6 曲 线 2xy 与 它 两

41、条 相 互 垂 直 的 切 线 所 围 成 平 面 图 形 的 面 积 S， 其 中 一 条 切 线 与 曲 线 相 切 于 点 ),( 2aaA ， 0a ， 则 当 a _时 ， 面 积 S最 小 .二 、 求 由 下 列 各 曲 线 所 围 成 的 图 形 的 面 积 ： 1、 xy 1 与 直 线 xy 及 2x ；2、 y 2x 与 直 线 xy 及 xy 2 ； 3、 )cos2(2 ar ；4、 摆 线 )cos1(,)sin( tayttax )20( t 及x 轴 ；5、 cos3r 及 cos1r 的 公 共 部 分 ； 6、 笛 卡 尔 叶 形 线 axyyx 333 .

42、 81 三 、 求 抛 物 线 342 xxy 及 其 在 点 )3,0( 和)0,3( 处 的 切 线 所 围 成 的 图 形 的 面 积 . 四 、 求 位 于 曲 线 xey 下 方 ， 该 曲 线 过 原 点 的 切 线 的左 方 以 轴及 x 上 方 之 间 的 图 形 的 面 积 . 五 、 求 由 抛 物 线 axy 42 与 过 焦 点 的 弦 所 围 成 的 图 形面 积 的 最 小 值 . 82 一 、 1、 1； 2、 332； 3、 2； 4、 y ； 5、 21 ee ； 6、 21. 二 、 1、 2ln23 ； 2、 67； 3、 2a ； 4、 23 a ； 5、 45 ； 6、 223a . 三 、 49. 四 、 2e. 五 、 238a . 练 习 题 答 案