两个重要极限、无穷小的比较

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1、1 第 五 节 极 限 存 在 准 则 两 个 重 要 极 限二 、 两 个 重 要 极 限1sinlim0 xxx ex xx )11(lim一 、 极 限 存 在 准 则夹 逼 准 则 ； 单 调 有 界 准 则 2 (2)lim limn nn ny z a 1. 夹 逼 准 则(1) ( 1,2, )n n ny x z n lim nn x a 准 则 ：准 则 ： 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .2.单 调 有 界 准 则 0 0( )( )xU Mx x 准 则 I ： 或 时 ,有(1) ( ) ( ) ( ),g x f x h x 0( )lim ( )xx x

2、f x A 0 0( ) ( )(2) lim ( ) , lim ( ) ,x xxx xxg x A h x A 一 、 极 限 存 在 准 则 3 例 1 ).12111(lim 222 nnnnn 求解 nnn 22 111 nnnn 2lim又 ,1 1lim 2nnn ,1 由 两 边 夹 法 则 得.1)12111(lim 222 nnnnn ,12 nnnnn2 nn 111lim 2111lim nn 41 2 1n nx x x x lim ( )nn x a M lim ( ) nn x b m nx 1nx M1x 2x xm nx1nx 1x2x xab 证 明 略

3、1 2 1n nx x x x 准 则 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .2、 单 调 有 界 准 则 M m 5 证 ,1 nn xx 显 然 ;是 单 调 递 增 的nx,331 x又 ,3kx假 定 kk xx 31 33 ,3 ;是 有 界 的nx .lim 存 在nn x,31 nn xx ,32 1 nn xx ),3(limlim 2 1 nnnn xx ,32 AA 2131,2131 AA解 得 (舍 去 ).2131lim nn x .)的 极 限 存 在式 n例 2 ( 重 根证 明 数 列 333 nx 6 0sin1. lim 1x xx 设 单 位 圆 O，

4、 圆 心 角 ,xAOB ，20 x作 单 位 圆 的 切 线 .AC,sin BDx ,tan ACx,x AB AOB AOCAOBS S S 扇 形 A Cxo BD1 1 11 sin 1 1 tan2 2 2x x x sin tan ,x x x sin cos 1,xx x 即 .02 也 成 立上 式 对 于 xsincos ,2 10 , xx xx 即 当 时 有0limcos 1,x x ,11lim0 x又 .1sinlim0 xxx 7 1sinlim0 xxx ( ) 0sin ( )lim 1( )x xx 001) 0 sin (1) lim 1 型 不 定 式

5、 ，特 点 ： (2) sin . 后 的 变 量 与 分 母 的 变 量 形 状 一 致13) .( 极 限 值 0sin2lim 2x xx如 ： 1sinlim 1x xx1sin( 1)lim 1x xx 1 11 +0 sin(sin )lim sinx xx（ 令 ）2u x 1 1lim sinx x x即 12) 作 用 ： 0 .00 , 0 可 以 解 决 含 有 三 角 函 数 的 型 的 极 限 问 题都 适 用 0 sinlim 1u uu 8 xkxx sinlim 0解 ： kxkxkkx sinlim0 .k xxx tanlim 0 xxx xx cos1li

6、msinlim 00解 ： )cos1sinlim(0 xxxx 例 1. x xx tanlim0求 0 sin lim ( 0).x kx kx 求例 2. ( ) 0sin ( )lim 1( )x xx 例 3. .cos1lim 20 x xx 求解 ： 220 2sin 2limx xx原 式 220 )2( 2sinlim21 x xx 20 )22sin(lim21 xxx .210 sinlimkx kxk kx 21 cos 2sin ,2xx 21 cos 2cos 2xx 9 例 4. 0arcsinlim .x xx求解 ： 0 arcsinlim 1x xx 原 式

7、 0limsint t tarcsint x tx sin 1sinlim10 t tt 00经 验 ： 含 有 三 角 函 数 ,反 三 角 函 数 的 型 的 极 限 问 题 常 用思 考 ： sinlim ? x xx sinlim ?x xx 0 sinlim ?x xx .第 一 个 重 要 极 限 解 决0 1sinlimx xx t x sin( )lim tt 0t 0 sinlimt tt 1 10 12.lim(1 )xx ex 1 证 明 略 ( )( ) 1lim (1 )( ) f xf x ef x xx x 2)211(lim xx x)11(lime e xx

8、x 10 )1(lim e1( )( ) 0lim 1 ( ) xx x e 1lim(1 ) e 1 =1 11 12. lim(1 )xx ex 例 5. .)11(lim xx x求解 : xx x)11( 1lim ( )( 1)1lim(1 ) xx x 原 式 .1e2 lim(1 ) ?xx x ( )m n mna a11(lim ) 1x xx 222(1 )limx xx 2 22(1lim ) x xx 2 22lim(1 ) x x x 2e 1（ ） 1 （ ） 12 补 例 . 231. lim( ) .2 xx xx 求解 : 2( 2) 41lim(1 )2 x

9、x x 原 式 2.e 1112. lim xx x 求 2 21(1 ) 2lim xx x 2( 2 41 1lim(1 ) ) (1 )2 2xx x x 解 : 111lim1 ( 1)xx x 原 式 .e经 验 ： 含 幂 指 函 数 型 极 限 常 用 第 二 个 重 要 极 限1 1 ( )m n mna a 1 2lim 2(1 )x xx 2x3（ 1+ ）x原 式 *6*4 2lim 2(1 )xx x x33（ 1+ ）x 2.e 13 解 xx x)11(lim )11()11(lim xxx xx xxxx xx )11(lim)11(lim 1)11(lim( x

10、x xe .11 ee .)11(lim xx x 14 解 0lim(cos )xx x 0lim(1 cos 1)xx x 1 (cos 1)cos 10lim(1 cos 1) xxxx x 0 (cos 1)limx xxe 0 (1 cos ) limx xxe 20 2sin 2 limx xxe 2.e 0lim(cos ) .xx x求 20 22sin 2 lim 4( )2x xxe 15 思 考 与 练 习sin1. lim _;x xx 12. lim sin _;x x x 0 13. lim sin _;x x x 14. lim(1 ) _;nn n 0 10 1

11、e 0 ln(1 )5.limx xx 10 ln(1 )limx xx 10limln(1 )xx x 1(1 )xu x limlnu e u u yo 1 elny uln 1e 16 0 sin ( )1 . lim 1;( )xx 某 过 程 10 ( )2. lim1 ( ) .xx e 某 过 程设 是 中 的 无某 过 程 穷 小 ， 则 17 第 一 章 0 ,x 时 23 , ,sinx x x x， 都 是 无 穷 小 ,第 六 节引 例 . 20lim3x xx 0,20 sinlimx xx , 0 sinlim 3x xx 1,3 但 无 穷 小 的 比 较xxx

12、sinlim0 ,1可 见 无 穷 小 趋 于 0 的 速 度 是 多 样 的 . 极 限 不 同 , 反 映 了 趋 向 于 零 的 “ 快 慢 ” 程 度 不 同 ， 两 个 无穷 小 商 的 极 限 用 来 比 较 两 个 穷 小 无 趋 向 于 零 的 速 度 “ 快 慢 ”0 2 2lim3 3x xx 18 li(1 0 ) m (, o 如 果 ， 就 说 是 比 的 无 穷 小 记 作高 阶 ；1.定 义 : 0, , . 设 是 中 的 两 个 无 穷 小 且同 一 过 程(3) ,lim 0 ;C 如 果 就 说 是 同 阶与 的 无 穷 小lim( ) 如 果 ， 就 说

13、 是 比 的低 阶 无 穷 小 li(4 00) m , k kC k 如 果 就 说 是 的 阶 无 穷 小 ；li(5 1 ) m ; ., 如 果 就 说 与 是 无 穷 小 记 作等 价 ) (或0 19 注 意 ：1.无 穷 小 的 比 较 是 无 穷 小 与 无 穷 小 比 较 的 ；2. 零 是 阶 最 高 的 ,一 般 是 比 较 非 零 无 穷 小 的 ;3.无 穷 小 的 阶 的 高 低 是 相 对 的 ;并 依 赖 于 极 限 过 程 的 ;4.无 穷 小 的 比 较 是 型 极 限 的 另 外 一 种 说 法 ；005.有 两 个 重 要 的 符 号 （ ） 和 0 0

14、 0lim lim 0 sin(2) lim 1x xx ， 2 30 ;x x x 当 时 , 是 比 阶 的 无 穷 小高2 (3 )( 0).x o x x 即 0 sinx x x 当 时 ， 与 是 等 价 无 穷 小 sin ( 0).x x x即例 如 20(1) lim 03x xx ，2 01 cos 1(3) lim 2x xx ， 1 cos0 x x x 当 时 ， 是 的 二 阶 无 穷 小 21 cosx x当 时 ， 与 是 同 阶 无 穷 小 23 x当 时 是 比 阶 的 无 穷 小低211 cos ( 0).2x x x 即2 112x ， 20 证 : 0

15、 limx 1 1n x 1 xn 1 x先 分 子 有 理 化 ， 分 子10 1 1 .nx x xn 证 明 :当 时 ,例 1. 1 2 1( )( )n n n n na b a b a a b b 0 1 2( 1 ) 1=lim (1 ) (1 11 ) nnx n nn nx xx xn 1 20lim (1 ) (1 ) 1n nx n n nx x 则 1 .10 1n x nx x 当 时 , ( 0)1 ) 1 xx x 一 般 的 有 :（ 21 1 ( 0).xe x x 证 : 1,xy e 令 ln(1 )x y 则 0 , 0 x y 且 时0 1lim xx

16、 e x 即 有 等 价 关 系 : 1)上 述 证 明 过 程 也 给 出 了 关 系 : 例 2. 证 明 : 0lim ln(1 )y y y 10 1lim ln(1 )y y y 10 1limln(1 ) yy y 11lne 1 ( 0)xe x x ln(1 ) ( 0)x x x 2) 常 用 等 价 无 穷 小 : 0 ,x 当 时sin ,x x tan ,x x arcsin ,x x ln(1 ) ,x xarctan ,x x1 , xe x 211 cos ,2x x (1 ) 1 ( 0)ax ax a 说 明 : 把 所 有 换 成 也 成 立x ( )x 2

17、2 证 : 必 要 性 设 ， lim lim 1 则 0 ，( ) ( )o o ， 即 充 分 性 ( )o 设 ( )lim lim o 则 ( )lim )o （ 1 ， ( ) 称 是 的 主 要 部 分 意 义 :由 等 价 无 穷 小 可 给 出 函 数 的 近 似 表 达 式 2.等 价 无 穷 小 的 性 质1. 定 理 与 是 等 价 无 穷 小 ( ).o 23 例 如 ,sin ( ),x x o x 则 tan ( ),x x o x ,0时当 x sin , tan ,x x x x1x x故 当 很 小 时 （ 记 为 ）sin tan ln(1 )x x x x

18、 x x ln(1 )x xln(1 ) ( )x x x 12 3 （ ）（ ）（ ） ，（ 自 反 性 ）（ 对 称 性 ）（ 传 递 性 ）, 性 质 ： 设 , 均 为 无 穷 小 ， 则 24 定 理 2 (等 价 无 穷 小 代 换 定 理 ) , lim , lim lim . 设 且 存 在证 ： lim lim( ) lim lim lim lim . 0 tan 2 lim sin5x xx如 求说 明 ： 1. lim lim lim 可 得 （ 若 存 在 ）即 定 理 条 件 满 足 时 ,可 以 只 代 换 无 穷 小 的 分 子 或 分 母 .0 2 2lim5

19、5x xx 2. lim lim( ) lim 可 得 （ 若 存 在 ）即 定 理 条 件 满 足 时 ,可 以 代 换 积 中 因 式 的 无 穷 小 . 25 3.无 穷 小 的 商 或 乘 积 的 极 限 可 分 别 用 无 穷 小 代 替 ，这 是 求 极 限 的 又 一 种 好 方 法 , 注 意 适 用 条 件 .例 3.求 30 sin(1)lim .3x xx x 解 : 0 sin ,x x x当 时 30 sin(1)lim 3x xx x 20lim ( 3)x xx x 20 1lim 3x x 1 .312 30 (1 ) 1(2)lim .cos 1x xx (2

20、) 0 x当 时 , 12 3(1 ) 1x 21 ,3 x cos 1x 21 ,2 x12 30 (1 ) 1lim cos 1x xx 0limx 213 x 212 x 2.3 211 cos ,2x x(1 ) 1 ( 0)ax ax a 26 补 例 4. 30 tan sinlim .sin 2x x xx 求解 : 0 ,tan ,sin .x x x x x当 时 30lim(2 )x x xx 原 式 0.错 解 : 0 ,x 当 时tan sin tan (1 cos )x x x x 31 ,2 xsin2 2 ,x x330 12lim(2 )x xx原 式 1 .1

21、6 27 内 容 小 结1. 两 个 重 要 极 限 ：0 sin(1) lim 1 1(2) lim(1 ) e 代 表 相 同 的 表 达 式 0lim 0,( 0),C 1,lim 0,k C 2. 无 穷 小 的 比 较 ：设 , 对 同 一 自 变 量 的 变 化 过 程 为 无 穷 小 , 且 是 的 高 阶 无 穷 小 是 的 低 阶 无 穷 小 是 的 同 阶 无 穷 小 是 的 等 价 无 穷 小 是 的 k 阶 无 穷 小 28 3.等 价 无 穷 小 代 换 定 理 ： , lim , lim lim . 设 且 存 在5.常 用 的 等 价 无 穷 小 ： 0 ,x 当

22、 时 sin ,x x tan ,x x arcsin ,x x ln(1 ) ,x xarctan ,x x1 ,xe x 211 cos ,2x x (1 ) 1 ( 0)ax ax a 4.注 意 事 项 ：1)并 不 是 所 有 的 无 穷 小 都 可 进 行 比 较 .220 1sinlim x xxx 不 可 比 .xx 1sinlim0 .不 存 在 29 最 记 得 注 意 的 是 ： 当22 , 1 2xx e x 例 时 2 20,ln(1 ) ,x x x ( ) 0 x sin ( ) ( ),x x tan ( ) ( ),x x ln(1 ( ) ( ),x x (

23、 ) 1 ( ),xe x 211 cos ( ) ( ,2x x (1 ( ) 1 ( )( 0)ax a x a sin ( ) ( ),arc x x tan ( ) ( ),arc x x 时 2 2 2 2,sin( )x x x 时 1,ln ln(1 1) 1x xx x 练 习 ： ？ 30 新 增 求 极 限 的 方 法 ：8.重 要 极 限 法9.等 价 无 穷 小 代 换 法注 意 各 种 求 极 限 方 法 的 理 论 依 据 、 使 用 条 件 与 范 围 .1(1)(3)(5)(6) (7)(8);2; 3 (2)P661（ 2,4） ;2 ； 3； 4 (2) 3

24、1 01 cos 1 1 coslim lim 0, 1 cos 2 lim 01 cos 1lim lim lim 1 cos 0 x x xx x xx xxx x xx xx x 求 20 30 20 3050501 2(2 ) (3 ) 2 354, 1.(4) lim 2 5(5 )x x xp x 38 3 238 lim (2 )( 1 3)1 lim6 (2 )xx xx xx x xx 3 3-(8+ )(9)原 式 -(2+ )(4-2 + ) 32 2 221 121 2 22 2 21 1 12,(2)lim 3, lim( 1) 01lim( ) 1 0, 11 ( 1)( 1)lim lim lim1 1 12 3 4, 52x xxx x xx ax b xxx ax b a b b ax ax b x ax a x a xx x xa a b 28 ( ) 2x lim 14 0 4 0 4 0(1) (2) (4) 2 10 2x x b a x bxa a a bb a b a (4+a)3.f( )