初中数学图形与几何

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1、课程简介初中数学图形与几何【课程简介】本模块主要研讨数学课程标准修订稿中“初中数学空间与图形”部分的内容要求，目的是通过研讨，使教师们明确本模块内容的具体要求，并提出教学实施过程中的一些建议。总体分为六个部分：1. 图形与几何内容结构分析主要探讨图形与几何部分的整体结构框架和三条主要线索；2. 图形的性质内容与教学分析主要探讨图形的性质部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题；3. 图形的变化内容与教学分析主要探讨图形的变化部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题；4. 图形与坐标内容与教学分析主要探讨图形与坐标部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题

2、；5. 空间观念与几何直观主要探讨核心概念空间观念与几何直观的含义，以及在图形与几何的教学中如何培养学生的空间观念与几何直观能力；6. 推理能力主要探讨核心概念推理能力的含义，以及在图形与几何的教学中如何培养学生的推理能力。课程既有理论指导，又有大量的教学实例，同时还有主讲教师间的相互交流，给教师们提供了较为广阔的思考空间。【学习要求】1对“初中数学空间与图形”模块的内容结构和主线有清楚的认识，能够说出这些线索之间的区别与联系；2了解图形的性质部分的研究的图形有哪些，认识图形的哪些方面，以及在这部分中是如何认识这些图形的；3体会图形的变化是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内

3、容组成；4体会图形与坐标是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成；5能够结合自己的教学实践，举出相应的实例，说明图形的性质、图形的变化和图形与坐标的教学经验和方法；6理解核心概念空间观念、几何直观和推理能力的具体含义，体会它们与知识技能的区别和联系，能够借助具体实例说出培养学生上述能力的途径和方法。专题讲座初中数学图形与几何刘晓玫（首师大数学，教授）史炳星（北京教育学院，副教授）章巍（河北保定三中分校，高级教师）一、图形与几何内容结构分析刘晓玫（主讲人）：老师们好，下面我们这个模块讨论图形与几何的内容以及教学方面的问题。我首先来介绍一下今天参加我们讨论的两位嘉宾：坐在我右

4、边这位老师是北京教育学院的史炳星教授，坐在我左边的是保定三中的章巍老师，我是来自首都师范大学的刘晓玫。我们这个模块一共有六个话题，首先我们来谈论第一个问题图形与几何的总体结构和主要特点，以及和原来相比发生了哪些变化？我们先请史炳星老师介绍一下，这次标准修订，从整体框架上，图形与几何这些内容有哪些特点，哪些变化？史炳星：原来课程标准实验稿的几何框架是按照图形的认识、图形与变换、图形与坐标和图形与证明四条主线来划分的，新的课程标准修订稿把四条主线变成三条主线，这三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。四条主线变成三条主线，首先是图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内

5、容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间观念和推理能力。第二条主线是图形的变化，它的内容就比较丰富了，这里面包含了合同变换图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中，还有一类变换是仿射变换，在标准中呈现的标题就是投影。这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。刘晓玫：刚才

6、史老师介绍的框架里有一条主线叫图形与变化，原来我们叫图形与变换或图形的运动，但这次我们用的是变化，这是因为在这部分内容里，不光是数学上变换的东西，后面还有一些投影与视图的内容，另外解直角三角形也囊括在这里面，所以在这个里面叫变换显得不那么纯粹，叫运动，像解直角三角形这样的内容也有点牵强，我想用变化这个词可能能够比较好地把刚才那些问题给规避掉，所以就起了这样一个名字。接下来我们进一步来看看，从具体的内容增减变化上，图形与几何这块又有哪些变化。老师看了修订后的标准，首先会发现增加了打星号的内容，如关于相似三角形判定的演绎证明，圆中的垂径定理、切线长定理等。作为选取部分，反映了课程标准理念中的“不同

7、的人在数学上得到不同的发展”，相当于给学生提供一个弹性的空间，对那些有余力、有兴趣的学生，给他进一步多学一点数学的机会，学生有选择性的学或者教师有选择性的教。另外前面几讲中涉及的十个核心概念中，增加了一个叫几何直观。因为我们这部分内容针对的是图形，几何直观简单的说就是用图形说事，这在后面我们还会详细解读。还有一些关于基本事实的增减变化等等。章巍老师从教师的角度，对我们这个变化还有哪些感受，或者你发现哪些变化会引起老师们的注意？章巍：刚才史教授和刘教授分别对课程标准修订稿中图形与几何这部分整体框架，以及具体的一些变换，跟大家做了介绍。作为一线教师的话，这些变化需要我们重新去领悟和把握。首先我觉得

8、应该对这部分的内容结构有一个整体的认识和把握，你比如两位教授前面谈到的四条主线变成了三条主线，这三条主线不光是对具体的学习内容的要求，更是从不同的角度，更多的维度对我们初中阶段的几何图形进行了全方位的、立体化的研究，它可以看作图形研究不同的三个途径，比如说都是一个三角形，我既可以用欧式的综合几何的角度去认识它，也可以用变换的角度去认识，同样可以把它放在坐标系，从坐标的角度去认识它。所以同样是这些图形，有这样三条主线，可能就丰富了我们对这些图形的理解。理解好这一点，可以使大家更深刻的体会到几何课程对学生们的教育意义。另外从史教授刚才的介绍可以看出，图形与几何这部分涵盖的内容很多的，我们老师在教学

9、过程中，还要抓住一些核心内容，比如三角形是最基本的平面图形之一，如果掌握了，其他图形就可以考虑转化为三角形去处理了。再有，虽然课程的具体内容发生一些变化，但是我个人感觉，修订稿所倡导的这种思想、理念，和实验稿是一脉相承的。所以我们在教学中所提倡的让学生动手操作、鼓励发现、鼓励合作探究，以及在此基础上完成对所学内容的归纳，最后再通过演绎的方式去证明的教学方式，还是应该继续在日常教学当中提倡的。刘晓玫：我在学习这个标准中还有几点体会，一是我觉得图形与坐标这部分内容，跟实验稿相比要求提高了。比方说轴对称、平移现在要放到坐标系当中，利用量化的办法进行研究，所以从思维层次上讲提高了。从要求上看，这个步子

10、确实比较大，所以希望老师们能够进一步研读标准，以达到能够准确地去把握。刚才我想章巍老师有一点谈的得非常好，“图形和几何”这部分内容整体的定位和要求是没有大变化的，和原来标准基本是一致的。所以我想也提这样一点建议，就是老师们在把握图形与几何这部分内容的时候，一定要有一个整体的观点。因为一些老师容易有这样的倾向：好像几何更多的是演绎推理和证明，其他内容像附属品，花一点点时间学习学习就够了。其实我们要看到，即使在证明这个方面，我们也希望能够把合情推理和演绎推理结合起来，注意标准中用“探索并证明”，而不是仅仅去证明，尤其我们一直在提倡空间观念的培养、几何直观能力的发展，还有推理能力，都是我们几何学习中

11、非常重要的。希望老师能够整体认识和把握“图形与几何”的教育价值，这样才能使我们在对几何内容进行教学设计的时候，实现预期的目标。那么，关于第一个话题“图形与几何”内容结构总体的介绍，我们就先谈到这儿，当然后面我们介绍具体内容的时候，还会让大家反过来体会内容的整体结构。二、图形的性质内容与教学分析刘晓玫：下面我们一块儿来谈论第二个话题，标准中其中一条主线是图形的性质，下面我们就来分析一下图形的性质这条主线的内容以及定位，包括我们的教学中应该注意哪些问题。我想首先请章巍老师来谈一谈，在这个标题下，我们对哪些图形有怎样的认识？章巍：在上一节内容中，史老师已经把我们图形性质里面所涉及的主要图形向大家做了

12、一个简单的介绍，在这里我们再详细地把标准中要求的一些图形做一个说明。首先，我们所研究的这些图形可以从不同的角度进行分类，比如说把它们分成直线形、曲线形。从维度上，有一维图形，重点是二维图形，当然还有简单的三维图形。从图形的复杂程度上，有基本图形与组合图形。具体来讲，这一部分由七个小的标题组成，前五个标题，详细地介绍了我们在初中阶段所要掌握的一些基本图形，比如说第一部分是点、线、面，介绍了构成几何图形的基本元素，第二部分是相交线与平行线，对相交与平行这两种平面直线位置关系的概念、定义、性质和判别做了介绍。接下来一部分是三角形，这部分内容里面涉及到三角形边角的基本性质、三角形全等的性质和判定、以及

13、特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性质。第四部分是四边形，重点介绍了平行四边形，以及特殊的平行四边形矩形、菱形和正方形的判别和性质。第五部分是圆，重点介绍了圆的中心对称性和轴对称性，以及由此引出的与圆有关的性质。当然这里面还有圆与其他图形（圆与直线，圆与四边形，圆与多边形）的关系。在六、七这两部分内容中，作为几何学习的一个有机组成部分，分别谈到了尺规作图和定义、公理、证明的相关知识。对于尺规作图，除了这是一种作图方法，更多的是运用了图形判定的一些办法，实际上是对图形判定的一个具体应用。另外，只有明确了定义，公理、定理和证明的意义，我们才能够更好地对图形的性质进行探索和证明。刘晓玫：老师们

14、可能会注意到，在“图形的认识”里也有一些变化，比如梯形没有了，可能有的老师觉得不愿意把它去掉，我想是不是这样考虑的：首先小学我们已经有了梯形的概念，包括它的面积计算；其次对于梯形来说，我们往往是把它分割成平行四边形和三角形来研究的，而平行四边形和三角形已经作为基本图形在前面研究得比较充分了，也就是说梯形自身已经没有更多新的东西了，即它的问题基本上都解决了。当然如果老师们愿意把梯形给学生们介绍一些也未尝不可，但是标准没有再单独把它列入在本学段的内容当中。另外，标准中增加了圆内接四边形，这里主要是一个初步的了解，目的是把直线形和曲线形结合起来认识，希望老师们在教学的时候能够很好地把握，没有必要任意

15、扩充。史老师你看还有什么关于这方面的补充。史炳星：关于认识图形我想我们不能只关注图形的概念和性质这些知识点，还应在这个过程中，关注图形之间的关系，利用认识图形发展空间观念与几何直观，这都是我们教学当中应该考虑的。章巍：还有一点，这部分介绍的主要基本事实有了一定的变化和调整，这是不是为了使得我们的证明体系，或整个证明大厦的地基更科学更严谨？刘晓玫：章老师提到的这个问题，我想已经进入到另外一个话题。前面我们说到几何课要认识图形，现在我们考虑认识这样一些图形，以及认识什么。对于一个图形，一方面，我们要研究它的各个组成元素的性质。比如三角形的内角和等于180度，这是三角形三个角的关系，以及三角形两边之

16、和大于第三边，这是三角形三条边的关系。再如平行四边形的对边、对角、以及角平分线等相关结论，都是围绕图形自身的属性来展开的。另一方面，我们还要研究两个图形（多个图形）之间的关系，如全等、相似，还有图形之间所具有的旋转，平移关系，实际上这些东西都可以归结为一种关系。刚才章巍老师谈到几何证明的出发点，最典型的如两个图形全等的条件，这些恰恰就是我们研究其他图形的出发点，叫基本事实（公理）。所以，大家可以看到我们认识图形的什么了。大概有这么两类，一个图形的要素之间的关系，还有不同图形之间的关系，这些关系更多的都是用命题的形式来呈现，有一些是定理，有些我们作为这些定理证明的基础的基本事实。这样我们就谈了两

17、个问题，一个是认识的对象，另一个是认识这些对象的什么，还有一个问题就是我们用什么样的手段和方式来认识刚才我们谈到的这些图形。史炳星：认识图形的手段我们说是非常丰富的，标准的实验稿也好，修订稿也好，都特别提倡，首先我们利用直观的方法、利用实验的方法，或者叫做操作性的办法。刘晓玫：包括拼图，测量这样的手段。史炳星：对，这些办法对于学生发展的空间观念、几何直观，实际上都是非常重要的。刘晓玫：包括认识图形的属性。史炳星：对，认识它的性质也是非常重要的，另外变换的方法、坐标的方法，以及演绎的办法，也就是逻辑推理证明，都是认识图形的办法。过去的教学当中，对于利用证明的办法来认识图形这一点老师们都没有疑问，

18、最主要的是合情推理的这些办法有时不太重视，实际上这个方面是非常重要的，结论当然重要，但得到这个结论的过程本身，对于学生来讲也是非常重要的，对他们的能力的发展都是不可或缺的。对于基本事实，它们是进行逻辑推理的起点，我们不怀疑它的正确性，并以它作为依据展开我们的推理证明。标准实验稿的基本事实是6条，现在做了一些调整，是9条，从这些基本事实出发，证明了关于线段、角、三角形，四边形大概40几个结论，还包括圆，相似形的一些性质。那么谈到认识图形，我想这些方法都应是有机地联系的，往往一个结论我们先通过合情推理得到一种猜想，然后我们再用逻辑推理的办法来进行证明。在这个过程当中，学生不但学会了证明，得到了一些

19、结论，同时也积累了一些数学活动经验。刘晓玫：刚才史老师谈得很清楚，我们在认识图形的方式方法上是多样的，我们一些老师的教学当中，证明和演绎更容易受到青睐。这次课程标准的目标比较重要的变化就是，把双基拓展到四基，从两个能力拓展到四个能力。我们在认识图形的方式方法的多样性方面，如果给予关注，实际上也正是对从双基到四基实践的一个很好的机会。因为在这个过程当中，所谓的合情推理，包括归纳类比，一些数学的思想都会渗透其中。另外刚才史老师谈到，基本活动经验的积累，画图、拼图、测量，要让学生经历这样的过程，比如变换，折叠运动很可能与后面演绎推理的辅助线的引出、图形的构造是联系很密切的。其实这样的操作活动对学生积

20、累活动经验，提供了非常好的机会。所以老师们应该认识到，图形认识方法的多样性，带给孩子们的收获不仅仅是一些具体的结论。在图形的认识的教学当中，还有什么注意事项和问题，章巍老师结合你自己的教学实际，也可以看有哪些好的建议。章巍：怎样才能够使学生经历合情推理的过程？首先应该有一个恰当的问题情境，提供一个背景问题让学生充分地去展开探讨。给了他这个情境和机会，给了他这个时间和空间，他的探讨过程才充分，他才真正能经历合情推理的过程，得到相应的数学结论，然后再去证明。所以我觉得几何教学，特别是图形性质这部分教学，应该注重这种过程性，把过程同样作为教学目标，真正落实在每节课当中。像两位教授提到的，学生在这个过

21、程中，收获的就不仅是结论了，还有在这个过程中所发展的各种观念、能力，我觉得是这样。刘晓玫：史老师，在教学当中，你也听了很多中学老师的课，可能也发现一些问题，你看有什么好的建议？史炳星：刚才说到恰当的问题情境，我觉得对于同一个问题，不同的问法、不同的提法，可能就会带来不同的教学效果，换句话说，发展学生不同的能力。比方说一个问题，若直接问：请你证明，就把合情推理的阶段错过去了，学生就没有这个机会了；如果换一种方式，你能发现它有什么性质？这样，你把发现的性质都罗列一下，然后再从某一个结论把话题引出去证明，这样学生就有发现的机会了。所以说，如果我们的教学设计能够把合情推理作为教学目标、把它重视起来，然

22、后利用适当地把这个问题提出来，也就是创设恰当的问题背景。刘晓玫：因为图形的性质在我们教学当中占得比重比较大，所以老师对这部分内容的处理是不是能够很好地去按照标准的要求去做，对学生的“图形与几何”这部分内容的学习还是关系很重大的。在研究图形的性质的过程当中，一个是研究的性质有哪些我们要明确，第二个研究它的手段和途径我们希望老师们也能够按照标准这样的要求做一个很好的设计。在一节课当中，使过程性目标和结果性目标对接，其实这里面我觉得大有文章可做。我们也很欣喜地看到，新课程实施后，老师们做得很好，通过我们对新课程标准修订稿进一步学习，老师们能够把这方面做得更好，真正能够发展学生的推理能力、空间观念和几

23、何直观，另外对学生的情感态度、数学思想、数学活动经验等等方面都能有一个很好的触及。关于这个话题，我们就先聊到这儿。三、图形的变化内容与教学分析刘晓玫：老师们，下面我们再一起交流一下，图形的变化这部分的内容要求，以及我们教学当中应该注意的一些问题。为什么要安排图形的变化的内容？是不是可以从这样几个角度来分析，首先图形的变化应该是图形一种属性的体现，比如有很多图形本身就是轴对称的，如等腰三角形、正方形等等。那么有一些图形又表现为中心对称，比如平行四边形，当然平行四边形也可以看成一条边是由其对边平移得到的。所以在我们所学的图形中，大都已经隐含了我们用变化的角度来认识它，来看待它这样一种属性；第二，在

24、日常生活当中，我们也会看到图形的运动，又是一个很常见的现象。所以，能够用运动变化的观点来认识图形，是更好认识我们周围世界的另一个角度；还有就是从学生的可持续发展的角度来看，到了高中、甚至大学，变换也是进一步学习的内容；另外从国际的课程的比较来看，国际上很多国家的几何课程，也都是把变换或者图形的运动，作为课程内容的重要组成部分。所以，从刚才以上几个角度分析，大家就能够理解把图形的变化纳入到我们课程里面的缘由了。对于图形变化的主要的脉络和线索，我想还请史老师给我们具体分析一下。史炳星：相对来讲，图形变换对于老师们是比较新的内容，我刚才说过，这里面有合同变换轴对称，旋转，平移。对于这些概念，从标准上

25、来讲，对于教学实际上的要求，不是说要严格对它来进行定义，只是直观的描述。所以，老师们在这个地方也不必过多地去深挖定义，主要是和学生们一起对它的性质做一些研究。同时还有相似，相似的内容比较多，其中包括位似，另外就是投影，平行投影和中心投影，还有视图，都和相似联系得比较密切。对于相似我们主要以三角形的相似为主，这里面还包括增加了一条基本事实，刘晓玫：平行线分线段成比例。增加这个基本事实的目的，是希望能够对后边三角形相似的判定提供证明的基础，当然这部分证明是打星号的内容，所以这个基本事实的给出实际上是针对学有余力的学生，对他们的证明学习进一步打基础。史炳星：关于相似里的位似，根据标准，要求是了解位似

26、能够把图形放大或者缩小，老师们在这个地方也不必过多深究。另外就是关于旋转，主要研究中心对称。刘晓玫：刚才史老师谈到，我们谈到的轴对称、旋转、平移，统称为合同变换，因为它们的共同特征是保持图形的大小不变。在学习合同变换时，应主要把它作为认识图形的一种工具和途径，比如说等腰三角形具有轴对称性，我们发现它的底角能够重合在一起是相等的，这成为我们认识图形基本性质的方法。另外，因为在生活中，轴对称的现象、旋转的现象、平移的现象都很常见，所以也是我们从数学的角度来认识现实世界的一个工具。我们前面谈到的数学思考，实际上就是学会用数学的观点来认识现实世界，以前可能我们看一个图形或图案的时候，仅仅说这个很好看、

27、很美，但现在我们看出这个图案是轴对称的，或这个图案之间具有旋转的关系等等。审视的眼光不一样了，就会帮助我们进一步去创造，利用这些方法设计一些图案。我们现在教学当中，利用变换去证明一些几何题，甚至有些很难，我想从标准的初衷不是这样的，这不是课程标准的本意。也希望老师们不要在教学当中，在这个方面做很多工作，结果把学生注意力和精力引到另外一个方向上去。史炳星：另外我们现在内容里面的三视图，它和机械制图是不一样的，老师们不要以画机械制图的要求来要求学生，其目的是体会二维图形与三维图形之间的转换，这是非常重要的一个途径，这里侧重于能够从不同的方向去观察一个立体图形，利用投影画出来，而不是把重点放在怎么精

28、确上，包括位置上的对齐等等，在处理这部分内容时，应该把握住这个度。刘晓玫：还有一点，在第三学段里，我们学习三角函数，但实际上这个地方我们没有从函数角度来定位，而是更多地研究一些特殊三角形的边角关系，没有从变量的角度，目的还是解直角三角形，它的要求和高中的三角函数是不一样的。在教学当中，图形的变化这块具体的教学，章巍老师可以谈一谈，有没有一些什么建议，包括值得我们注意的问题。章巍：我谈几点建议。首先说图形的变化这一部分，跟传统的几何教学的演绎证明还是不同的，可能老师有些时候对难度和深度的把握会有不同的理解。我觉得变换得建立在学生直观经验的基础上，换句话，我们对轴对称，对旋转、平移，不仅从文字上去

29、理解，或者能用它去做题，应更多的让学生建立丰富的大量的实例，只有经历这样一个过程，才能够把这种变换内化在自己对图形的认识当中、自觉去从变换的角度认识图形。另外一点，有些老师为什么不是很重视图形变化这部分内容呢？往往觉得，它和演绎证明联系不大，作用不强。应该说，虽然我们不能用变换的方式去完整地处理综合证明的题，但是我们不妨用变换的角度去认识这些问题，挖掘这些问题的证明思路。我们会看到，所有跟等腰三角形有关的证明题，往往都跟等腰三角形的轴对称性相关，如果要添加辅助线，往往都是在对称轴上做文章。同样所有跟平行四边形有关的证明问题，往往跟对称中心是相联系的，两条对角线的交点起着很关键的作用，所以图形变

30、换往往能够成为我们解决和研究图形非常有利的工具。另外一点，研究变换要抓住这些变换形式中最本质的数学内涵，其实合同变换也好，相似变换也好，我们主要的是研究一个图形在变化之后的不变性。克莱因曾说过，几何学就是研究在变化当中的不变量，合同变换的性质主要集中在哪些角、哪些边保持着相等，相似变换虽然不能保边相等了，但是它保角相等，边之间变成了一种稳定的比例关系。如果从这些角度去认识变换的话，我们能认识到变换更统一的、更深层的东西。最后一点，就像刚才刘教授所提到的，不建议老师们把变换作为一种手段去挖掘难题，当将变换作为命题手段的时候，往往偏离了我们把它作为研究图形途径的初衷，所以在这儿准确把握教学难度和考

31、试难度，也是我们在教学中应该关注的问题。刘晓玫：我觉得刚才章巍老师这一点谈的很好，在变换这个地方，老师们还要认识到在这样的一个变换当中，哪些东西不变，因为不变的东西是一种规律的体现，所以这是我们要研究的东西。好，那我们这个话题就谈到这儿。四、图形与坐标内容与教学分析刘晓玫：好，老师们下面我们继续探讨关于图形与坐标这个线索之下的一些内容和教学上的一些建议。章巍：谈到这一部分我一直有一个问题，可能也是在实践教学当中很多老师的一个困惑，因为我们知道在原来实验稿之前的大纲里面是把坐标这部分内容，放在我们学习函数之前的一节，要学习函数了，我们首先介绍坐标系是怎么组成的，所以很多老师始终认为这就是为函数服

32、务的，坐标系最主要的作用体现在画函数图象上。那么，我们为什么把图象与坐标这部分内容，放在图形与几何这个模块里面来，同时还在坐标系里面赋予了这么多的内容，包括与图形变换的联系呢？史炳星：我想，引入直角坐标系，首先就是要确定平面上一个点的位置，这和生活有很密切的联系。比方说我们下棋的棋盘、电影院里的座位、地图等等，把这个东西抽象出来就是坐标系了，在初中就是平面直角坐标系。我们画函数的图象当然利用的也是坐标，但这比确定点的位置更抽象，比如我们画时间和路程关系的图象，1小时，50公里，这两个量的单位完全是不同的，但是它是有序数对这一点是不变的，所以我们可以借助坐标系画出它的图象，然后利用图象来研究函数

33、的性质。所以画函数的图象，应该是平面直角坐标系的一个进一步的应用。刘晓玫：首先我认为标准的研制可能基于这样一个考虑，就是坐标系更多的还是确定点的位置的一个工具。因此在图形与几何里给出就是很自然的东西。刚才史老师也谈到了，我们有了坐标系之后，因为有了有序数对和点的对应，恰与函数中自变量和因变量之间的关系相似，所以使得坐标系又成为研究函数的工具。从这个意义上讲，把坐标系放在图形与几何里应该是顺理成章的事情。章巍：我明白了，实际上坐标系的本源在几何图形上，在研究函数的时候，只是借用这样一个二维平面，利用表示几何图形当中点的位置的方法来产生函数的图像。刘晓玫：进一步我们说在图形与坐标里面到底借助坐标系

34、做一些什么、在第三学段我们可以做哪些事情。从标准来讲，首先是熟悉坐标系最基本的要素，比如坐标轴、单位，原点等等，然后要让学生了解用一个数对可以刻画点的位置，进一步刻画图形的位置，一个图形的关键点的位置确定了，这个图形的位置就确定了。当然这时候都是静止的，在学习了图形的运动后，就进一步研究坐标的变化和图形的变化之间的联系。这一点，前面史老师曾经谈过，标准的修改稿和原来实验稿有一些变化，提高了要求，比如要让学生知道，沿着坐标轴的方向平移一个图形，它的坐标变化和图形变化的联系。还有轴对称等等。当然我们也不能做太复杂的东西，其宗旨就是希望学生通过这部分的学习，能够体会用坐标系刻画点的位置，点的位置和变

35、化和图形的运动变化之间的规律，仅此而已，没有解析几何这样的要求。史炳星：对，是这样的，比如按照标准，轴对称就是研究以坐标轴为对称轴的情况。另外，要求在坐标系里研究图形的平移，而不要求去探究图形的旋转。再就是位似，我们只研究直线形（多边形），并且多边形还要有一条边放在坐标轴上，位似中心是坐标原点。所以，也希望老师们能够再好好研读一下标准上的要求，在教学当中把握住这个要求的度。刘晓玫：另外在这部分内容的具体教学上，是不是我们再看有没有什么好的经验和建议给老师们。章巍：经过10年时间的实践，老师们也积累了丰富的教学经验，就我个人而言，也想谈自己的一点感受，跟大家分享。第一点，我觉得图形与坐标的教学，

36、应该贯穿在咱们整个教学始终，其实很多时候我们都可以培养学生这种量化的、坐标化的感受，比如说数轴，还比如说我们在几何里面用方格纸去作图，这都体现了坐标的原始思想。刘晓玫：其实在小学孩子们已经知道用方格纸作图，也做了基本的平移、旋转等，那些已经给了他们一些直观坐标系的体验。章巍：所以我觉得可以挖掘很多对图形与坐标的内容起辅助作用的素材，这样学生在正式接触的时候，就水到渠成了。第二个方面我认为在进行教学的时要抓住图形与坐标的实质，图形、图像与表达式的对应，本质上就是点和数的对应，而这种认识根本上取决于对点的坐标意义的理解，所以我觉得要想把这部分教好、学好，花的笔墨最多的地方，不是在各种变化和题型的技

37、巧上，而是应该浓墨重彩地说明点的坐标的含义究竟是什么。另外虽然这部分内容对后续的数学学习会产生深远的影响，但现阶段对这部分的要求还要把握好度。在标准的修订稿里，加强了很多东西，但是这些内容是宽而浅，而不是窄而深的，每一种浅尝辄止，不能在一种变换上挖起来没完。所以日常教学中，不能弄的太难，包括命题也是一样的，这样做有助于促进学生们真正对这部分课程标准初衷的理解，还是回到那句话，就是把它作为认识图形的另外一个途径和手段，在坐标系下，图形和图象有了数量的味道，他只要感觉到这种味道，其实对他今后的数学发展就是很有帮助的。刘晓玫：包括其中结论性的东西，也显得没有那么重要。其实更重要的还是要体会它们之间的

38、相互关系。章巍：通过对坐标变换与图形变换的研究，真正想留在孩子们脑海里的是，在坐标系的影响下，图形的任何一个点滴的变化，都能反映到它的坐标上去，当然这些变化都是有规律的，但我们不能也没必要穷尽这些规律，能体会到这种量的变化规律，与形的变化规律是一一对应的，那就够了。刘晓玫：还有一点，在这部分教学里，值得注意的还有过程性目标的实现，包括要让学生体会到数学和现实的联系，所以在这里还是要坚持给学生空间，要让学生有机会去观察，去发现，去提出猜测，最后再加以验证，这样一个过程，这正是前面我们一直在谈到的。那好，我们这个话题就先谈到这儿。五、空间观念与几何直观刘晓玫：老师们知道，在前面我们曾经介绍了这次课

39、程标准修订稿提出了10个核心概念，其中的空间观念，几何直观和推理能力，从名称上就能看出它和图形与几何的学习应该关系比较密切，那么下面我们就谈一谈，在我们课程内容的设置以及我们具体的教学当中，如何来关注这几个核心概念？首先我们来交流一下关于空间观念这个核心概念，它和课程内容有怎样一些关联，以及如何在教学当中给予关注。大家知道，其实空间观念在我们国家的以前教学大纲中就有这样的提法，但以前的课程中，用来支撑空间观念，或者培养学生空间观念的内容和素材却相对贫乏，所以从课程实施角度，对它的支撑显得很不够。但是这次课程标准的实验稿和修改稿，不仅把空间观念作为一个核心概念提出来，同时在内容的设置上、以及在教

40、学的要求上，都有相应的支撑的它的素材。那么，在课程内容中有哪些内容可能更多地和空间观念的培养有密切的联系？我想史老师您先给我们老师说一说。史炳星：从课程的设计中就非常重视二维和三维图形的转换，因为这样的转换对发展学生的空间观念是非常有益的。包括展开与折叠、截一个几何体、视图与投影等内容，都可以属于这个范围。另外用运动的观点来看待这个图形，如轴对称、中心对称，通过变换的角度，我们想象这个图象，想象它的形状，想象它的变化，就是培养空间观念非常好的素材。同时，象图形与坐标、一个图形可以看成是由另一个图形做怎样的变化得到的，这些内容都是非常重要的。老师在这些内容的教学当中要重视这个过程，把培养空间观念

41、作为我们的教学目标，给学生时间和空间，让他们去探究、让他们去交流、让他去表达，说他的感受，说他的想象，这样才能使培养学生的空间观念落到实处。刘晓玫：另外，空间观念培养，核心的东西就是想象，比如在二维图形和三维图形转换过程当中，实际上也是看见二维图形去想象和它对应的三维图形；有了三维图形去想象跟它相关的二维图形。再如截一个几何体，我们用一个平面去截一个圆锥体，这个平面和锥体的相交的位置不一样，它的截面就不同，有时是一个圆，有时是一个椭圆，有时又是一条双曲线，这同样需要想象；类似的展开折叠也是这样，一个平面图能否折叠成一个三维图形，都是想象在起作用。图形的运动，图形的位置的确定，中间也都有很多想象

42、的成份在里面，所以我们要抓住空间观念的核心要素想象。在教学当中，可能老师们也做了很多尝试，章巍老师你们在教学当中有哪些有价值的心得体会呢？章巍：我觉得从新课程实验稿以来，提出了具体的、能够承载空间观念的课程之后，老师对这个空间观念的重视也越来越强了，做的也越来越扎实了。当然在这个过程中，有一些老师会有些不同的认识，这就需要我们在课程理念下重新去感受它。比如我们谈到空间观念时，给很多老师的第一个感觉就是，那肯定要用立体图形，所以肯定在立体几何的研究过程中，才能落实空间想象的能力。刚才两位老师也都谈到，实际上并不是这样，我们截几何体、展开与折叠、视图，可能是针对立体图形来完成的。而图形的轴对称、平

43、移和旋转，包括图形位置的确定，其实都是在平面当中完成的。我们应该更整体上去认识这个空间观念，就像刘老师说的，它其实就是对几何图形的想象能力，从这个意义上讲，无论是一维的，还是二维的还是三维的，即使是你对直线两端无限延伸的这种想象能力，都能很有效地培养我们空间观念。当然二维与三维之间的转化，是一个很主要的途径，但不是唯一的，这种课程的载体很多，不要把空间观念只局限在某一章节完成，完成之后别的章就没有这个任务了，其实整个几何教学过程中，都有这种空间观念的贯穿。再有一点，就是空间观念想要真正能够落实，还需要我们在教学过程中，充分地留给学生感受体验的过程。唯有过程充分了，观念和能力才能有所提升。所以，

44、我们尽量不要把关乎空间观念的这些课程，上成完成数学结论的课。比如正方体的展开图，虽然都是由6个正方形组成的，但是由于我们剪开的棱的相对位置不同，这六个正方形连接的相互位置不同，它的展开图画起来会有很多种。这节课的目的，就是希望同学们能够在头脑里，把一个正方体给剪开，同时又能够把一个展开图给折上，通过在头脑当中不断地想象完成这个工作，以提升你的空间观念。但在实践教学当中有老师把展开图的形式都一一展示总结出来，希望学生能够记住（大概11种情况），我想就变成另一种味道了。还是应该把过程做足，淡化这些结论，才能更好地培养空间观念。刘晓玫：从章巍老师刚才举的例子可以看出，同样一个素材，因为我们对目标理解

45、的偏差，所以使得我们偏离了标准的初衷，把一个能够让学生充分去想象的一段时间，变成了最后记住几个结论的一节课了。前面谈了空间观念这个核心概念，但真正实施起来可能对老师们还有很大的挑战，也希望老师们能够在教学当中不断地探索，能够有更好的经验。接下来的一个核心概念是几何直观，这个概念和空间观念不同，它是我们这次新增加的一个核心概念，所以对它理解，以及对我们在教学当中和课程内容的关联，可能老师们都特别关心，所以下面我们先请史老师谈一谈。史炳星：关于几何直观，我想首先是针对图形，我们根据直观可能对图形的性质会有一些判断，而不是依据测量或计算。另外，几何直观不管是在代数当中，还是在统计概率当中，可能都要用

46、到。面对一个比较复杂的、比较抽象的对象，如果我们能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种能力。关于几何直观，在历史或其他文科里，我想也是很有用的。不说太远，在数学中画函数图象，对于理解函数的性质有非常大的帮助，就因为它直观，我们可以对函数的变化情况与趋势进行预测，这方面比解析式、表格都更清楚。再如在统计里面，如扇形统计图，我们一看就知道哪一部分占的比重更大。我们说几何直观是很好的一种能力，一个学生如果能用直观的方式来进行描述、来进行刻画，那么说明他对这个概念本身的理解比较深刻。刘晓玫：几何直观反映了一个学生，能否把他的理解用一种适当的方式表达出来，能否用

47、图形的方式来去帮助别人、帮助自己，去理解一个可能不太容易理解的东西，这是应该作为一个现代人的一种能力体现。在义务教育阶段，我们学了这么多几何，也希望能够把图形作为一种工具来解释甚至解决问题。刚才史老师谈到，运用图形到底能够做哪些事情？比如函数图象，我在这里有一个例子，我们研究反比例函数时，老师可能会给几个x不同的值，然后去比较函数值的大小，我听过一节课，很多孩子就是把这些x代到解析式里计算得到的，这样当然可以，但老师若仅仅到这儿显然就不行了，可以借助图象，会来得更直接，甚至可能还可以得到更多的信息，因为数字更多都是具体的、零散的，而从图象上，我们可以整体全面的把握函数的变化。所以我想这可能也是

48、我们学会用图形来说事情，用图形来做事情的一个很重要的体现。当然几何直观，作为一个新出现的核心概念，可能我们对它的认识和理解还是要有一个过程的。史炳星：由于几何直观是这次标准修订稿新提出来的一个核心概念，可能也有很多老师一开始对它不是太了解，我想以后在教学当中，通过教学实践，可以再进一步体会它的含义、体会它跟空间观念的关系，以后我们教学的实例有了，再来谈这个问题的时候，会谈得更好一刘晓玫：章老师从教师的角度，你第一次接触这样核心的概念你有什么感想？章巍：听两位教授刚才的解释，我自己也是一个学习的过程，实际上我们现在去回想，虽然原来的教学中，没有专门提出这样一个核心概念，但很多老师在实践教学过中，

49、可能都在用，比如从小学开始，我们解算术或代数应用题所画的线段图，遇到比较复杂的应用问题，我们可能用一个表把数量关系展示出来，包括刚才谈到的统计图，有些时候你会发现，有的人遇到一个问题，想要说明急于说明的时候，它会不断地随手拿笔去画图给你说，现在从这个核心概念的角度来看，就是几何直观这方面的数学素养在起作用。不光图形与几何这个领域，应该说各个学习领域，能够借助图形来说事，能够借助图形来说明和解释的问题，有意识去留意这些问题时候可能就像刚才史教授提到的，我们就会积累大量的，像其他核心概念一样的那些课程的素材和载体，我们再落实几何直观就更扎实了。刘晓玫：我觉得章巍老师说得很好，就是说以前可能我们也是

50、在不自觉地做一些这样的事情，我们以后可能要把这种不自觉的行为，变成一种更自觉的行为，更有意识地培养学生运用图形说话，通过画图来解释，来分析问题，从而对学生的几何直观能力给予关注和培养。好，那么关于空间观念和几何直观这两个核心概念我们就先聊到这儿。六、推理能力刘晓玫：下面我们再就标准修改稿当中的另外一个核心概念推理能力，与老师们做一个交流。大家知道在标准实验稿当中，就已经有这个核心概念出现了，只不过那时我们没有明确地提出合情推理与演绎推理作为推理能力的两种不同形式，这次在我们标准修改稿中，就已经明确地提出，推理能力包含了合情推理能力与演绎推理能力，其实在高中的课程标准当中，也提出了合情推理、演绎

51、推理两个概念，因此我想现在也就是在我们从义务教育阶段开始，我们就要关注两种能力的培养，一直延续到高中。那么关于合情推理和演绎推理这二者之间的关系，我想请史老师谈一谈您的理解。史炳星：实际上自从标准实验稿进入试验区之后，老师们就开始重视合情推理了。合情推理，一般包括归纳和类比，演绎推理一般就是从基本事实出发，推出来一些定理，它们再作为推理的出发点，来进行论述。我们在判断一个命题是否正确的时候，首先运用合情推理的方法，包括直观、操作、猜测，然后得出假设。这些假设是否能成立呢？我们就需要用演绎推理的方式去进行证明。所以合情推理往往是一种发现的方法和手段，而演绎推理是一种证实的手段，它们相辅相成，共同

52、完成对一个命题的认识。我们在生活当中，也用到很多的合情推理，在统计当中，在代数当中也都用到很多合情推理。刘晓玫：在这里我支持一下刚才史老师所说的合情推理它的广泛应用性，美国有一位数学家和数学教育家叫波利亚，他写了这样一本论著叫数学与猜想，在这本书的序言中，他有这样一段话说得特别好，他说作为以后要想把数学作为自己终身职业的人，他应该学习演绎推理，因为这是这门学科的一个特点，当然他还要学习合情推理，因为这是使得他的研究工作能够得以进行的一种推理形式。如果你不是把数学作为自己终身职业的人，同样也要学习演绎推理，因为学习了演绎推理，你就获得了一种标准，这个标准就可以用来衡量日常生活中，我们碰到的一些事

53、情。更应该要学习合情推理，因为在他的日常的生活当中，方方面面都要用到合情推理。波利亚很辩证地把这两种推理形式，对于一个无论是以后做数学的人，还是不做数学的人，它的重要性都阐释得很充分。所以合情推理对于我们每个人都是很重要的。章巍：是不是合情推理这个词就是从波利亚的类比推理和归纳推理来的。刘晓玫：对，英文翻译过来可能就是合情推理，当然我们说更多的指的就是类比和归纳，当然这里面还有其他直觉的、经验的成份，包括特殊化和一般化。总而言之，就是经过一些合情合理的一些判断，得到一个可能性的猜测，这样一个思维过程就是一个合情推理的过程。当然合情推理会有从特殊到一般，或者从一般到特殊等不同的思维形式。在以往我

54、们的数学教育中，可能还是对演绎推理关注得多，但我们越来越认识到合情推理和人的创新意识与实践能力的培养，联系得非常密切，所以这次课程改革，在课程里面明确地提出来，要培养学生的合情推理能力。接下来我想我们再谈谈，在教学当中，我们如何去实施，如何去体现？我们需要去做哪些努力？是不是还是请章巍老师先谈谈，你在教学当中的体会？章巍：我先跟大家谈谈我的感受，我觉得正像刚才刘教授所谈到的，这个合情推理，在我们日常对人的发展过程中的作用，其实是非常大的，不专门从事数学，可能很少有机会接触严格的演绎推理，但是合情推理它却要经常使用到，我们日常生活中的很多现象，其实往往都是由合情推理得来的，比如说我记得有一句谚语

55、叫“八月十五云遮月，正月十五雪打灯。”你说这个生活经验和常识的积累，我们怎么用演绎的方法去证明呢，它就是由合情推理产生的，但是它却能够指导我们很多的生活实践。所以在日常的教学中，我们要让孩子们大胆地去发现、大胆地去归纳，大胆地去猜想。我们在课堂上通过动手操作，通过发现，通过你的灵机一动感悟到的东西，一定要大胆地说出来，敢于去猜，你才能迈出研究的第一步。这之后，再利用演绎的方法去从逻辑上去证明，也就有的放矢了。所以在咱们日常的教学过程当中，千万不要把合情推理作为演绎推理的一个简短的前奏，很快过渡到所谓的“主旋律”了。另外，合情推理和演绎推理能力的培养，图形与几何是一个很重要的领域，但不是唯一的领

56、域，在很多领域里面都有所体现。代数中法则公式的获得，我们也可以经历由合情推理到演绎推理的过程，包括刚才提到的统计。合情推理的落实，跟老师自身对问题的设计也是很有关系的，如果我们只设计一些学生一看就很容易知道结论的问题，他就会觉得老师设计的这个合情推理环节很假，时间长了就对合情推理的环节提不起足够的兴趣。如果我们能够设置好的问题情景，给他一个很开阔的空间，才能够感受到合情推理的价值和意义所在。比如说在学习三角形中位线定理时，我们可能遇到过这样的问题画一个任意的四边形，连接这个四边形四边中点，得到了一个我们叫做中点四边形的图形。同样是这个素材，如果我们老师让学生求证这个中点四边形是一个平行四边形，

57、他很快的就会过渡到演绎推理；可如果老师提出一个更开放性的问题“同学们观察我们新得到的这个四边形你觉得它的形状有什么特点，可能是怎样的四边形呢？”那学生可能就要通过很多的手段直观的观察、测量、猜想等一系列手段去思考，而这个问题又不像有一些问题那么肤浅，它确实有一定的思考空间，真得琢磨琢磨，只有通过观察、测量、想象才会产生它可能是平行四边形的猜想，这个过程就显得更真实。有了这样一个过程，我们进而再去提问“为什么它是一个平行四边形？”，通过连接对角线的辅助线，构造三角形的中位线，逐渐把这个问题证明了。当然这样的例子不只一个，我们应该更多地去挖掘。刘晓玫：其实在代数的学习当中也有类似的例子，例如，先观

58、察下面算式：152-112=104，92-72=32,132-72=120,.，能不能自己也写一个跟它们有同样规律的算式呢？能不能用字母来表达刚才所呈现出规律呢？进一步，能不能证明刚才你所猜想的规律呢？实际上当这些算式共同的规律就是奇数的平方差，它们结果都是8的倍数。然后我们用字母2m+1和2n+1来表达这两个奇数，要做适当的变形，最后得出它含有8这个因数。这个问题是由一些特殊的例子得到的一些特殊的规律，尽管前要求学生再举几个例子，但都不能替代证明。同样这样一个问题，如果我们直接要求“请证明两个奇数的平方差是8的倍数”，从结果上好像是一样的，但像前面那样设置问题的话，给学生的就不仅仅是得到这个

59、结论了，而是他经历了观察猜想，自己又举案例去支持他的猜想，再想办法用数学符号来表达规律，进一步通过代数运算去证明。这个例子启示我们，把以前一些纯粹只有演绎这样成分的问题，尽可能改造成既有演绎又有合情推理的过程，在这当中学生的能力就得到了培养。现在很多老师也在尝试，而且我发现在中高考的命题中，合情推理的成分也都在增加，我想这其实应该是对我们教学的一个促进。章巍：另外一点是，老师们在平时的教学过程中可能有这样的体会推理能力孩子们一时半会儿上不来。所以咱们在教学中千万别着急，一定要遵循循序渐进的原则。很多老师在七年级一接触几何就马上开始学演绎证明，但实际上我们走的太急了反而要摔跤，因此推理能力的培养

60、要有层次性，先让学生看到现象能够初步的说明道理，由此出发再慢慢的规范化、形式化，再变成证明，一点一点走可能会走的更扎实一点。所以我建议老师们在平时的教学过程当中，把推理能力贯穿到每个领域、贯穿到每一节课当中，不能一蹴而就，得有耐心。另外，在平时教学中对于演绎推理，大家不但很重视，而且形式化也很强。比如拿书写来讲，很多老师在平时教学中会详细地跟学生说，哪一句话要怎么写，“因为”跟“又因为”有什么区别，三角形的三个条件凑齐了之后要再把它联立在一起，定理在什么地方注，.。当然数学的严谨性是它自身的一个特色，三段论的基本形式我们还是应该坚持，但是我个人认为在学习之初，不要让这种形式化掩盖了学生对证明意

61、义的理解、对证明思路的分析。我们还是尽量在允许的情况下，淡化或者放开一点，学生的精力更多的不是在怎么写上，而是集中在怎么想、怎么理解证明上。刘晓玫：也就是要在规范化和过于刻板之间寻找平衡，有的老师可能担心一开始不规范后面可能就不行了，但这种规范也要建立在他理解的基础之上。他知道这样写的道理是什么，然后我们这种规范才有意义，否则这种规范就变成一种教条，反而阻碍了学生的思维。其实许多核心概念，跟知识技能的学习不一样，一定是在一个过程中慢慢的去体会，慢慢的去渗透。所以老师如果试图将某种能力落实在一节课中，可能就是错了，有些能力并不是老师教出来的，实际上是通过不断的在学生解决问题的过程中慢慢感悟出来的。我们前面对图形与几何这部分的内容，从它的整体结构、从它的三个线索及一些核心概念进行了梳理和分析。对于在教学上，我们应该注意哪些问题，有一些建议，与老师们进行了探讨。当然，老师们在自己的教学当中，也有很多经验，欢迎老师们通过适当方式和我们一块交流。也相信老师们在自己的教学当中，通过不断努力、交流和反思，能够在图形与几何这部分内容的教学当中，取得良好的效果。谢谢老师们！