《CH52换元积分法’》PPT课件.ppt

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1、dxxx sectan3求复 习解 ： 原 式 = dxxxx sectantan2 )(sectan2 xdx )(secsectan xxx )(sec)1(sec 2 xdx cxx 3sec31sec 以 上 的 例 子 中 运 气 很 好 ， 被 积 函 数 g(x)有 形 式),)()( x(xfxg 至 多 差 一 个 常 数 因 子 ， 接 下 来 研 究 运 气 稍 差 一 点例 子 ， 仍 然 可 经 过 一 适 当 换 元 ， 求 出 原 函 数 。 例 xxx d 23)7( 3求解 ： 取 中 间 变 量 u=3 2x, 注 意 到 du= 2dx, 因 子(x+7)

2、dx不 是 变 量 u的 微 分 , 不 能 使 用 第 一 换 元 法 。现 在 将 积 分 号 下 的 每 一 部 分 变 为 换 为u的 函 数 ， 包 括 因 子 x+7.因此,223 ux 72237 ux ,2217 uu=32x, 得 得代入原积分因此又, .d21d,d2d uxxu uuuxxx d)2217(21d23)7( 33 uuu d)17(41 3 uuu d)17( 41 3431 Cuu )1341131117(41 134131 Cuu )73451(41 3734 Cxx )23(73)23(451(41 3734 33 23 223 1 uxux.换成了

3、能积分的部分复杂的代入后将被积函数中最取 ux ud21d .2 包括的函数，表示成将被积函数中每一部分3. 求出关于u 的积分，取反函数u=3-2x代回原变量x. 练 习 求解 : 1 .1 dxx令 t x 2x t 11 xxd 11 2t tt d 2 1t dtt 1 12( )tt td d 2dx tdt 12 (1 )1 dtt 1 12 1t dtt 1 (1 )12 td tt d 2 2ln1t t C 2 2ln1x x C t x1 0 x 2 2ln(1 )x x C dxxf )( dxxxf )()( 好 求 ！( )x u 令难 求 ！ )(tx 令好 求 ！

4、难 求 ！相 反 的 情 况 duuf )( dtttf )()( 技 巧 性 要 求 高第 一 类 换 元 法 解 决 的 问 题第二类换元法 则 用 第 二 类 换 元 积 分 法 . 第 二 换 元 法 1( )( ) ( ) ( ) t xf x dx f t t dt 则 有 换 元 公 式定 理 2 第 二 类 积 分 换 元 公 式1( )( ) ( ) ( ) t xf x dx f t t dt 第 二 类 积 分 换 元 法 =变 量 代 换 +第 一 换 元 法 +变 量 代 换 例 2. 求 ),( aa函数的定义域.)0(d22 axxa解 : 则)2,2( ,sin

5、 ttax令0)(sin 2 tt a-a t22 sinttdtax cosd taaxa 22222 sin ta 2sin1 tacos cost2 2 t)2,2( ,sin ttax令 ttataxxa dcoscosd22 tta dcos22 tta d2 2cos1 2 Ctata 2sin42 22 则取反函数,arcsin axt , sin axt222 1sin1cos axtt Cttaaxaxxa cossin24arcsin2d 2222 Cxaxaxa 222 2arcsin2 a x22 xa t 例 3. 求 .)0(d 22 aax x解 : 令 ,),(

6、,tan 2 2 ttax 则 22222 tan ataax tasecttax dsecd 2 原 式 ta 2sectasec td tt dsec 1tansecln Ctt a x 22 ax tln )ln( 1 aCC Caxx 22ln xa 1C22 ax a 书 151页例 4Sec 2t=1+tan2t 例 4. 求 .)0(d 22 aax x解 : ,时当 ax 令 ,),0(,sec 2 ttax 则22222 sec ataax ta tanxd ttta dtansec 原 式 t d tta tansec ta tan tt dsec 1tansecln Ct

7、t a 22 ax t1 ln C Caxx 22ln )ln( 1 aCC 22 ax axa x ,时当 ax 令 ,ux ,au 则 于 是 22d ax x 22d au u Caxx 22ln 22d ax x，时ax 122ln Cauu 122ln Caxx 1222ln Caxx a )ln2( 1 aCC Caxx 22ln 求解 .4 23 dxxx 令 tx sin2 tdtdx cos2 0, 2t dxxx 23 4 tdttt cos2sin44sin2 23 tdtt 23 cossin32 tdttt 22 cos)cos1(sin32 tdtt cos)cos

8、(cos32 42 Ctt )cos51cos31(32 53 t2 x24 x .451434 5232 Cxx 练 习 Cax axaax dx ln21)13( 22 Caxaax dx arctan1)11( 22 Caxxadx arcsin)12( 22 三 个 积 分 公 式 说 明 (1) 以 上 几 例 所 使 用 的 均 为 三 角 代 换 .三 角 代 换 的 目 的 是 化 掉 根 式 .一 般 规 律 如 下 ： 当 被 积 函 数 中 含 有22)1( xa 可 令 sin ; cosx a t x a t 或22)2( xa 可 令 tan ; cotx a t

9、x a t 或22)3( ax 可 令 sec ; csc .x a t x a t 或 2 21tan secx x 2 21cot cscx x 积 分 中 为 了 化 掉 根 式 是 否 一 定 采 用三 角 代 换 （ 或 双 曲 代 换 ） 并 不 是 绝 对 的 ， 需根 据 被 积 函 数 的 情 况 来 定 .说 明 (2)例 5 求 dxxx 251 （ 三 角 代 换 很 繁 琐 ）21 xt 令 ,122 tx ,tdtxdxdxxx 251 tdttt 22 1 dttt 12 24Cttt 35 3251 .1)348(151 242 Cxxx 解 求解 .11 dx

10、ex xet 1令 ,12 tex ,122 dtt tdx dxex 11 dtt 122 dttt 1111Ctt 11ln .11ln2 Cxex ,1ln 2 tx 练 习 说 明 (3) 当 分 母 的 阶 较 高 时 , 可 采 用 倒 代 换 .1tx例 6 求 dxxx )2( 17令 tx 1 ,12 dttdx dxxx )2( 17 dttt t 27 121 dttt 7621Ct |21|ln141 7 .|ln21|2|ln141 7 Cxx 解 原 式 21)1( 22ta221a例 7. 求 .d4 22 xx xa解 : 令 ,1tx 则 tx t dd 21

11、原 式 tt d12 ttta d)1( 2122 ,0时当 x 4 21 12t ta Cata 2223 )1( 23当 x 0 时 , 类 似 可 得 同 样 结 果 .Cxa xa 32 223 )( 23)1(d 22 ta 例 8 求解 .1124 dxxx dxxx 1124令 tx 1 ,12 dttdx dxttt 224 1111 1（ 分 母 的 阶 较 高 ）dttt 231 222121 dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121 uduu Cuu 1131 3 .1131 232 Cx xx x 练 习 ,1d)( 25 Cxxxfx 求

12、 .d)( xxf解 : 两 边 求 导 , 得 )(5 xfx ,12 xx 则 1dd)( 24 xx xxxf )1( xt 令 231 dt tt 222 d121 ttt 1( 1)1(d)1(21 22 21 tt )1(d)1(21 22 21 tt 23)1(31 2t Ct 21)1( 2 (代 回 原 变 量 ) 说 明 (4) 当 被 积 函 数 含 有 两 种 或 两 种 以 上 的根 式 时 ， 可 采 用 令 （ 其 中 为 各 根 指 数 的 最 小 公 倍 数 ） lk xx , ntxn例 9 求 .)1( 1 3 dxxx 解 令 6tx ,6 5dttdx

13、dxxx )1( 1 3 dttt t )1(6 23 5 dttt 2216 dttt 221 116 dtt21 116 Ctt arctan6 .arctan6 66 Cxx 练习 1d 24 xx x求解：方法：作变换tx 1有两支这时曲线tx 1一段。上单调，首先讨论在),0(),0()0,( 2524242 11111,dd ttttxxt tx tttxx x d11d 2324 tt ttt d1 )1( 22 22 1dd1 tttttt 2222 1 )1(d21)1(d121 tttt Ctt 2232 1)1(31 Ctt 22 1)2(31 Cxxx 232 13 1

14、2完全相同的结果。可获得形式上时，作同样变换当txx 1)0,( 注 : 一 般 地 ， 第 一 类 换 元 法 比 第 二 类 换 元 法 用起 来 方 便 （ 不 需 要 变 换 可 逆 ） 。例 10 dxxe x 求解 法 一 dxxe x tdttet t tx 2 )(0, 2 dtet 2 Cet 2 . 2 Ce x 解 法 二 dxxe x uduueuxu 2 dueu 2 Ceu 2 . 2 Ce x 第 二 类第 一 类 基本积分表 ;coslntan)16( Cxxdx ;sinlncot)17( Cxxdx ;)tanln(secsec)18( Cxxxdx ;)c

15、otln(csccsc)19( Cxxxdx ;arctan11)20( 22 Caxadxxa ;ln211)22( 22 Cxa xaadxxa ;arcsin1)23( 22 Caxdxxa .)ln(1)24( 2222 Caxxdxax ;ln211)21( 22 Cax axadxax 三 、 小 结两 类 积 分 换 元 法 ：（ 一 ） 凑 微 分（ 二 ） 三 角 代 换 、 倒 代 换 、 根 式 代 换基 本 积 分 表 (2) (k是 常 数 )，m 1)，,)1( Ckxkdx ,11)2( 1 Cxdxx mm m ,|ln1)3( Cxdxx ,arctan1 1

16、)4( 2 Cxdxx ,arcsin11)5( 2 Cxdxx ,sincos)6( Cxxdx ,cossin)7( Cxxdx ,tanseccos1)8( 22 Cxdxxdxx ,cotcscsin1)9( 22 Cxdxxdxx ,sectansec)10( Cxxdxx ,csccotcsc)11( Cxxdxx ,)12( Cedxe xx ,ln)13( Caadxa xx ,)14( Cchxshxdx .)15( Cshxchxdx 补 充 公 式 ： ln |cos x|C ， ln |sin x| C ， ln |sec x tg x | C ， ln |csc x ctg x | C ，(16) tg x dx ctg x dx(17) sec x dx(18) (19) csc x dx (20) 22 xa dx(21) 22 ax dx(22) 22 xadx(23) 22 axdx 22 axdx (24) ,arctan1 Caxa a21 ,ln Cax ax ,arcsin Cax ,)ln( 22 Caxx Caxx |ln 22