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1、 变与不变 多变归一 探旋转相似型的解法大 唐 镇 中 蔡 培 杰 概念提出 旋转和相似是初中数学图形变换的重要内容,两个知识点看似毫无关联,但它们会同时出现在数学综合试题中,对于此类题型我们不妨叫作“旋转相似型”。 学生解此类题的困惑 图形在变、旋转角度在变，对应点之间的连线段长在变等等旋转中的变化元素成了解题的“绊脚石”！ 探寻解决方法寻求变化规律，以不变应万变应用：求对应点连线比值、求对应点连线长应用：求两组对应点连线夹角 求两组对应点连线交点的轨迹应用：求点的运动轨迹长，求运动点的轨迹的解析式 旋转相似中的存在双重相似基本图形：如 图 ， AOB COD， 且 点 A、 点 B的 对
2、应 点 分 别是 点 C,点 D. 则 可 证 AOC BOD. DB A O C 相 似 旋 转 型 中 由 对 应 点 连 线 段 及 所 对 旋 转 角组 成 的 两 个 三 角 形 也 相 似 。 旋转相似中 存在双重相似的应用例 1、 如 图 4， ABC与 DEF均为 等 边 三 角 形 ， O为 BC、 EF的 中点 ， 则 AD： BE的 值 为 （ ） 。 变 式 ：旋 转 相 似 中 对 应 点 连 线 段 的 比 值 不 变 ！可 证 ： AOD BOE AD： BE=AO： BO 2 3 （ 1 2 分 ） （ 2 0 1 3 绍 兴 ） 在 ABC中 ， CAB=9
3、0 ，AD BC于 点 D， 点 E为 AB的 中 点 ， EC与 AD交 于 点 G，点 F在 BC上 （ 1 ） 如 图 1 ， AC:AB=1 :2 ， EF CB， 求 证 ： EF=CD（ 2 ） 如 图 2 ， AC:AB=1 ： ， EF CE， 求 EF： EG的 值 旋转相似中 存在双重相似的应用H 作 EH AB可 证 HEF AEG EF： GE = HE： AE = HE： BE 旋转相似中 存在双重相似的应用例 2、 已 知 ABC中 ， C=90 AB=9， ，把 ABC 绕 着 点 C旋 转 ， 使 得 点 A落 在 点 A， 点 B落在 点 B 若 点 A在 边
4、 AB上 ， 则 点 B、 B的 距 离 _简 析 ：由 题 可 知 AA,BB是 旋 转 中 的 对应 点 连 线 段 ， ACA ， BCB分 别 为 所 对 旋 转 角 。 所 以 ACA BCB， 可 知 AA：BB=AC： BC=6： 35， 所 以 要先 求 AA的 长 。求 对 应 点 连 线 段 的 长= C 旋转相似中的存在两组四点共圆A D C F GM例 ： 如 图 ， ADC GDF， A、 C的 对 应 点 分 别 是 G、F。 当 GDF绕 点 D旋 转 时 ， 直 线 AG、 CF交 于 点 M， 则可 证 M、 A、 D、 C四 点 共 圆 和 M、 D、 F、
5、 G四 点 共 圆 。证 M、 A、 D、 C四 点 共 圆 ：由 双 重 相 似 可 知 ADG CDF , AGD= CFD AMC= AGD+ 1+ 2 = CFD+ 1+ 2 =180- GDF =180- ADC AMC+ ADC=180， 得 证 .证 M、 D、 F、 G四 点 共 圆 ：连 DM， 由 MADC四 点 共 圆 可 知 DMC= DAC又 DAC= DGF DMC= DGF， 得 证 .12 A D CF GM Rt ADC Rt GDF， ADC= GDF=90，求 AMC的 度 数AD C GF M12旋转相似中 存在两组四点共圆的应用（ 2015学 年 上
6、学 期 期 末 第 16题 ） 如 图 ， ABC， EFG均 是 边 长 为 4的等 边 三 角 形 ， 点 D是 边 BC、 EF的 中 点 ，直 线 AG、 FC相 交 于 点 M 当 EFG绕点 D旋 转 时 ， AMC=（ ） 线 段 BM长 的 最 大 值 是 （ ） 旋转相似中两个点的运动轨迹有共性 常 见 的 ， 一 个 图 形 绕 一 定 点 旋 转 时 ，则 图 像 上 任 一 点 都 在 作 圆 弧 运 动 。 旋转相似中两个点的运动轨迹有共性四 边 形 ABCD,AEFG都 是 正 方 形 ， 点 E为 BC边上 一 点 ， 求 证 ： 点 G一 定 落 在 直 线 CD上 。 像 这 样 的 点 E在 作 直 线 运 动 的 旋 转 相 似 变 换 中 ， 则 其 他的 对 应 点 也 都 沿 着 各 自 的 一 条 直 线 运 动 。 xy 若 AB=BC=2，试 描 述 点 F的 运 动 轨 迹 。 几点建议1.基本模型牢记于心,以不变应万变2.重视带领学生探究模型的重现过程3.变式训练中体会模型的应用价值4.培养学生方法能力的迁移过程5.提高解决问题及归纳总结的能力 感谢聆听！
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