《总体参数估计》PPT课件.ppt

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1、第七章 总体参数估计 Population Parameter Estimation 第一节 总体均值与方差的点估计 （ Point estimation of the population mean and variance） 一 、 点估计和区间估计 (point estimation and interval estimation) 1.点估计 点估计： 当总体参数不清楚时 ， 用一个 特定值 （ 一般用样本统计量 ） 对其进行 估计 ， 称为点估计 。 2 区间估计 区间估计： 是指用数轴上的一段距离表 示未知参数可能落入的范围 。 概括地说： 经常需要对总体进行估计的两个数字特 征是

2、：总体的均值和方差 。 如果将总体 的均值和方差视为数轴上的两个点 ， 这 种估计称为 点估计 。 如果要求估计总体 的均值或方差将落在某一段数值区间 ， 这种估计称为 区间估计 。 二、用样本平均数、方差和标准差估 计总体平均数、方差和标准差 1. 用样本平均数估计总体平均数 样本平均数是总体均值的良好估计 。 公式： X 2. 用样本方差估计总体方差 同理，用样本标准差估计总体标准差 2 2 2 1 1 )( n XXi S n 1 )( 2 1 n XXi S n 3. 一个好的样本统计量估计总体参数的要求 无偏性 是指如果用多个样本的统计量作为总体参数的 估计值时 ， 有的偏大 ， 有

3、的偏小 ， 而偏差的平 均数为 0， 这时 ， 这个统计量就是无偏估计量 。 一致性 是指当样本容量无限增大时 ， 估计值应能越来 越接近它所估计的总体参数 。 即 : 当 N时 , X, S2n-12。 有效性 是指当总体参数的无偏估计不止一个 统计量时，无偏估计变异性小者有效性 高，变异大者有效性低。 充分性 是指一个容量为 n的样本统计量，是 否充分地反映了全部 n个数据所反映总体 的信息，这就是充分性。 4举例 （ 1） 一项关于赞同提高汽油税的调查 用计算机随机从一个投赞同票的人数为 60%的 总体中抽出 10个样本 ， 每个样本容量为 500个 观测值 ， 算出每个样本中赞同提高汽

4、油税的人 的百分比 ， 其结果如下： 58.0 57.8 61.0 59.4 55.8 63.2 59.0 60.6 57.4 58.6 （ 2）二战中德国人制造了多少辆坦 克？ 问题： 在第二次世界大战进行过程中，盟军 缴获了一些德军的坦克，并记录了他们 的生产编号。怎样用这些号码来估计德 军坦克的总数呢？ 解决问题的思路： 设定总体参数和样本统计量 在这个问题中 ， 总体参数是未知的生产 出的坦克总数 N， 而样本则是缴获的坦 克编号 。 对坦克总数的估计 首先我们能够肯定：制造出来的坦克总 数肯定大于等于记录中的最大编号 。 解决方法： 2种点估计方法： （ 1）求出被缴获的坦克编号的平

5、均值，并 把它作为全部编号的中点。然后将样本 均值乘以 2就是总数的一个估计值。 估计坦克总数 N的公式： N=全部编号的均值 2 前提条件：是先要假设缴获的坦克代表 了所有坦克的一个随机样本 缺点：不能保证均值的 2倍一定大于记录 中的最大编号 ， 故常常低估真值 。 （ 2） 估计 N的另一个点估计公式 用观测到的最大编号乘以因子 1 1/n， 其中 n是被缴获的坦克个数 。 公式： N=（ 1 1/n） 最大编号 此种方法的前提是我们认为实际数略大 于最大编号。 例如 ， 缴获了 10辆坦克 ， 其中最大编号是 50， 那么坦克总数的估计值是： N=（ 1 1/n） 50=55 第二节

6、总体平均值的区间估计 （ Interval estimation of the population mean） 一 、 基本概念 总体均值的区间估计 ， 置信度 ， 置信区间： 日常用语表达： 就是估计总体均值可能在什么范围之内 。 精确的数学语言表达： 总体均值的区间估计就是确定总体均值将以 特定概率落入其间的数值界限 。 这个特定概率称为置信度 （ 或称显著性水 平 ） ， 用 表示 ， 这个数值界限称为置信界限 ， 置信界限上下限之间的区间 ， 称为置信区间 。 二、总体方差 2已知，对总体平均数的估计 1计算公式 如果一个随机变量 Z服从标准正态分布 (=0， 2=1的正态分布 ),

7、 那么 P-1.96Z1.96=0.95 P-2.58Z2.58=0.99 对总体参数 进行区间估计的方 法： 如果一个随机变量 X服从均值为 ， 标 准差为 的正态分布 ， 那么通过变量替 换 : 令 ： Z=（ X-） /（ /n） 又因为： SEx=/n 所以： Z=（ X-） /SEx 将 Z=（ X-） /SEx表达式代入下式： P-1.96Z1.96=0.95 得： P-1.96Z1.96 = P-1.96（ X-） /SEx1.96 整理得出求解总体平均值估计的公式： PX-1.96SExX+1.96SEx=0.95 2解释 在置信区间 X-1.96SEx， X+1.96SEx内

8、 ， 正确估计总体均值所在区间的概率为 0.95。 但是 ， 做这种区间估计不可能保 证完全无误 ， 估计错误的概率大约为 0.05。 3求解步骤 （ 1） 计算样本平均数和标准差 （ 2） 计算标准误 a 总体方差已知 （ 查正态分布表 ） b 总体方差未知 （ 查 t分布表 ） （ 3） 确定置信区间 （ 或显著性水平 ） （ 4） 根据样本平均数的分布 ， 确定查何种统计表 （ 5） 确定并计算置信区间 （ 6） 解释总体均数的置信区间 。 4课堂练习 例 ， 某弱智儿童学校的学生智力水平低于正常儿 童 ， 假设该校学生的智商分数遵从正态分布 ， 抽查 10名学生的智力水平 ， 测得智商

9、如下 : 85 70 90 81 72 75 80 82 76 79 （ 1） 试估计该校学生智商分数的平均值 （ 2） 如果知道该校学生智商分数的方差为 25， 试找出该校学生平均智商的置信区间 。 二、总体方差 2未知时，对总体平均数的估计 1求标准误 计算标准误的公式为： 样本 n30则 仍用正态分布 。 1 n S SE X 2 利用 t分布估计总体平均值 的 置信区间的解题步骤 条件为：总体为正态分布 ， X N(,2)， 当总 体方差 2未知时 ， 求总体平均值 的置信区间 步骤： （ 1） 由样本容量为 n的随机变量 X的值 X1， X2， X3， ， Xn求出 X， S， 自由

10、度 df=n-1； （ 2） 求出 SEx=S/n-1； （ 3） 确定显著性水平 ， 查 t值分布表 ， 找出临 界值 ； （ 4） 由于 P t =0.95， 将公式 t=（ X-)/SEx代入上式 ， 得： P （ X-)/SEx =0.95 整理得： PX-SEx X+SEx=0.95 分别求出： X-Sn-1/ n和 X+ Sn-1/ n （ 5） 求出总体平均值 的置信区间： X-SEx ， X+SEx 3课堂练习 例 1：对某校学生的智商水平进行抽样测查 ， 共测量了 20名学生 ， 所得智商分数如下： 90， 92， 94， 95， 97， 98， 99， 101， 101，

11、102， 103， 104， 105， 105， 106， 110， 115， 120， 88， 85。 问该校学生平均智商分数在什么范围内 ? 给出平均数和标准差： X=Xi/n=100.5 S2n-1 =(Xi-X) 2/(n-1)=76 第三节 2分布与总体方差的区间估计 一 、 利用 2分布估计总体方差 2的置信区间 （ 1） 样本方差已知 已知： 2=（ n-1） S2n-1/2， 置信度为 0.05 在横轴上设 2个临界点 1和 2， 使： P1 2 2=0.95， 将上式代入 ， 得： P1 (n-1)S2n-1 /2 2=0.95 2边同除 (n-1) S2n-1得： 1/(n

12、-1) S2n-1 1/2 2/(n-1) S2n-1 得 总体方差 2的置信区间 ： (n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 写成： (n-1)S2/2， (n-1)S2/1 其中： 1为 2/2， 2为 21-/2 (n-1)S2/2/2， (n-1)S2/21-/2 （ 2）样本方差未知 因为： （ n-1） S2=（ Xi-X） 2 若样本方差 S2未知 ， 则用下式估计 总体方 差 2的置信区间 ： （ Xi-X） 2/2 2 （ Xi-X） 2/1 则 总体方差 2的置信区间 ： （ Xi-X） 2/2， （ Xi-X） 2/1 其中： 1= 21-/2 ， 2= 2/2 二、

13、课堂练习 例：根据 30名被试的视反应时的实验结果 ， 计算出视反应时的方差为 900毫秒 ， 试估 计当置信度为 0.05时 ， 总体方差的置信 区间 。 第四节 F分布与二总体方差之比的区间估计 一 、 利用 F分布估计二总体方差之比的置信区间公式 由 F分布知： F=S2n1-1/S2n2-1， 服从 F分布 ， 且 df1=n1-1， df2=n2-1。 又知样本方差 S2是总体方差的无偏估计 ， 其之比 S2n1-1/S2n2-1是围绕总体方差之比 12/22上下波 动 ， 故二总体方差 12=22 二个样本的总体方差相等的区间估计则用下式： 12/22=1 而不用 12-22=0

14、由于 F分布不是对称分布 ， 若 F分布右侧一 端的概率为： F=S2n1-1/S2n2-1， 则另一侧的概率可用： F=1/F= S2n2-1/S2n1-1 1 1222 2 1 2 1 2/2 2 2 1 2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 1 n n n n S S F S S F 2 12=22 2 1 2 1 2/2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 1 1 n n n n S S F S S F 二、课堂练习 例： 8名男女生在某项心理实验中所得测量 结果的方差分别为 1.12和 4.98。 问男女生 测量值的总体方差是否相等 。 样本统计量估计总体参数小 结： 1.点估计 用样

15、本平均数、方差和标准差估计总体平均数、方差和 标准差 公式： X 2 2 2 1 1 )( n XXi S n 1 )( 2 1 n XXi S n 2. 区间估计 （ 1）样本平均数对总体平均数的区间估计 A。总体方差 2已知，对总体平均数的估计 标准误： SEx=/n Z值： Z=（ X-） /SEx 求解总体平均值估计的公式： PX-1.96SExX+1.96SEx=0.95 B。总体方差 2未知时，对总体平均数的估计 求标准误公式： 求总体平均值 的置信区间： X-SEx ， X+SEx 其中，查 t分布表得出临界值 1 n SSE X （ 2） 利用 2分布估计总体方差 2的置信区间

16、 A。样本方差已知 得 总体方差 2的置信区间 ： (n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 写成： (n-1)S2/2， (n-1)S2/1 其中： 1为 2/2， 2为 21-/2 B。样本方差未知 总体方差 2的置信区间 ： （ Xi-X） 2/2， （ Xi-X） 2/1 其中： 1= 21-/2 ， 2= 2/2 （ 3）利用 F分布估计二总体方差之比的置信区间 A。 1222 B。 12=22 2 1 2 1 2/2 2 2 1 2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 1 n n n n S S F S S F 2 1 2 1 2/2 1 2 1 2/ 2 1 2 1 1 1 n

17、n n n S S F S S F Gudmund R. Iversen说： ZoWkThPeMbJ7G4D1z- w*t !qYmVjSgOdLaI6F3B0y) v%s#pXlUiQf NcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z- w&t! pYmVj RgOdL9I 6E3B0y( v% s#oXl UiQf NbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z) w&t!pYmUjRgOcL9I 6E3B+y( v%r #oXl Ti QeNbK8G5D2A- x*t$qZnVkShPdMaI 7F4C0z)w&s!pYmUjRf OcL9H6E3B+

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