《极限的运算》PPT课件.ppt

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1、经济数学 目录 第 1章 函数 极限 连续 1.1 函数 1.4 函数的连续性 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 经济数学 主要内容 1.3.1 极限的四则运算 1.3.2 两个重要极限 1.3 极限的运算 主要内容 经济数学 注意： 法则 1、 2 可推广至有限个函数的情形 . 设在某极限过程中 , 函数 f (x)、 g(x) 的极限存在 , 且 limf（ x)=A、 limg(x)=B, 则 1.3 极限的运算 1.3.1 极限四则运算 1.法则 1.3 极限的运算 高等数学 )(lim)(lim)()(l i m xgxfBAxgxf )(lim)(lim)()(lim xgx

2、fABxgxf )(lim)(lim xfcxcf nn xfxf )( lim)(lim )(lim )(lim )( )(lim xg xf B A xg xf B0 1 2 3 推论 经济数学 主要方法 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 多项式与分式函数代入法求极限 ; 消去零因子法求极限 ; 无穷小因子分出法求极限 ; 利用无穷小运算性质求极限 ; 利用左右极限求分段函数极限 . 高等数学 经济数学 ,. .)(.1 110 nnn axaxaxf nnxxnxxxx axaxaxf .)lim()lim()(lim 110 000 nnn axaxa .1010

3、0 ).( 0 xf 则有且设 ,0)(,)( )()(.2 0 xQxQ xPxf )(lim )(lim )(lim 0 0 0 xQ xP xf xx xx xx )( )( 0 0 xQ xP ).( 0 xf .,0)( 0 则商的法则不能应用若 xQ 一 、 多项式与分式函数代入法求极限 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 解 )53(lim 22 xxx 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3)lim( 2222 xxx xx 5232 2 .3 ).53(lim 22 xxx求 例 1 1.3.1 极限四则运

4、算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 .35 123lim 2 23 2 xx xxx x 求 35 123lim 2 23 2 xx xxx x 3 16 3252 122223 2 23 求有理分式函数 x x0 的极限时 ,若分母不等于 零 ,则可直接代值计算 . 例 2 解 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 )14 1.35115131(lim 2 nn求 )12)(12( 114 1 2 nnn )12)(12( 1. 75 1 53 1 31 1 14 1. 35 1 15 1 3 1 2 nnn 12 112 1.7151

5、513131121 nn 12 1121 n 12 112 121 nn 例 3 解 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 . 2112 1121lim)14 1.35115131(lim 2 nn nn 经济数学 ).21(lim 222 nnnn n 解 是无限多个无穷小之和时 ,n 2222 .21lim).21(lim n n n n nn nn 2 )1(21 lim n nn n ) 11( 2 1lim nn .21 先变形再求极限 . 例 4 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 作业：教材 P32 75-78 )105(

6、lim 21 xxx 397lim 5 3 0 xx xx x 试一试 : 经济数学 （ 1）因式分解 （ 2）有理化法 （ 3）变量替换法 消去零因子法 ： 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 二 、 消去零因子法求极限 )00( 型 高等数学 经济数学 解 .32 1lim 2 2 1 xx x x 求 .,1 分母的极限都是零分子时x .1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 x )1)(3( )1)(1(lim 32 1lim 12 2 1 xx xx xx x xx 3 1lim 1 x x x .2 1 )00( 型 (消去零因子法 ) （ 1）因式分解 例 5

7、 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 . 1)31)(21)(1(lim 0 x xxxx 求 . , , 0lim 0 不能直接用公式计算所以由于 xx x xxx x 1)31)(21)(1(l i m 0 x xxx x 161161lim 32 0 . 6)6116(lim 20 xxx 解 例 6 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 . 22 325lim 2 x xx . , 0)22(lim 2 故不能直接用公式计算由于 xx )22)(22)(325( )22)(325)(325(lim 22 32

8、5lim 22 xxx xxx x x xx )42)(325( )22)(42(lim 2 xx xx x . 32 )325(lim )22(lim 325 22lim 2 2 2 x x x x x x x （ 2）有理化法 解 例 7 将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 （ 3）变量替换法 1 1lim 31 x x x 解： 令 原式 = 1 1lim 2 3 1 t t t )1)(1( )1)(1(lim 2 1 tt ttt t )1( )1(lim 2 1 t tt t 2 3 00 11, 6

9、6 txxttx ，时且则 例 8 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 为非负整数时有和当 nmba ,0,0 00 , ,0 , . . lim 0 0 1 10 1 10 mn mn mn b a bxbxb axaxa n nn m mm x 无穷小分出法 :以分母中自变量的最高次幂除分子 ,分母 ,以分出无 穷小 ,然后再求极限 . 1.3.1 极限四则运算 1.3 极限的运算 )( 型 三、 无穷小因子分出法求极限 高等数学 问题：求 . nlim 13 12 33 n nn 经济数学 .147 532lim 23 23 xx xx x求 解

10、., 分母的极限都是无穷大分子时x )( 型 .,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x 3 3 23 23 147 532 lim 147 532 lim xx xx xx xx xx .7 2 (无穷小因子分出法 ) 例 9 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 12 423lim1 3 3 x xx x 、 12 42lim2 5 4 x xx x 、 12 13lim3 3 4 x xx x 、 2 3 0 课堂练习 1.3.1 极限四则运算 1.3 极限的运算 高等数学 作业：教材 P33 81-84 经济数学 xxy sin.s inlim

11、 x xx 求 解 ,1, 为无穷小时当 xx .s in 是有界函数而 x .0s inlim x xx 例 10 1.3.1 极限四则运算 1.3 极限的运算 四 、利用无穷小运算性质求极限 高等数学 经济数学 解 )32(lim 2 1 xxx ,0 商的法则不能用 )14(lim 1 xx ,03 14 32lim 2 1 x xx x .03 0 由无穷小与无穷大的关系 ,得 .32 14lim 21 xx xx求 .32 14lim 21 xx xx 例 11 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 . 1211lim 3 1 x x xx求 这

12、是两个无穷大量相减的问题 .我们首先进 行通分运算 ,设法去掉不定因素 ,然后运用四 则运算法则求其极限 . 1 1lim 1 2 1 1lim 3 2 131 x x x x x xx . 3211lim 21 xx xx 解 例 12 1.3.1 极限四则运算 1.3 极限的运算 () 型五 、 一般采用先通分法再求极限 高等数学 不定型的极限（如） )( 型 经济数学 . )12(lim 3 xxx求 12 1lim 3 xxx )12(lim 3 xxx 0 112 1 lim 32 3 xx x x 或者用下面的方法 )12(lim 3 xxx )112(lim 323 xxx x

13、解 例 13 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 . )2( 1lim xxxx 求 ) )( ( )2( 1lim xxxx xx xxxxx x 2 )2)(2( 1lim xx x x 2 12lim . 1 1 11 1 11 2lim xx x 有理化 解 例 14 1.3.1 极限四则运算 2.举例（ 0 ） 1.3 极限的运算 高等数学 试一试：教材 P33 79、 80。 作业： 85、 86 经济数学 复习回顾 几种求函数极限的方法 1.代入法 2.不定型 （ 1）分解消去零因子 （ 2）有理化后消零因子 （ 3）通分后消零因子 （ 4

14、）分子分母同除以最高次幂 经济数学 ).(lim,0,1 0,1)( 02 xfxx xxxf x 求设 y o x 1 xy 1 12 xy 解 两个单侧极限为是函数的分段点 ,0 x )1(lim)(lim 00 xxf xx ,1 )1(lim)(lim 200 xxf xx ,1 左右极限存在且相等 , .1)(lim 0 xfx故 例 15 1.3.1 极限四则运算 1.3 极限的运算 高等数学 六 、利用左右极限求分段函数在分段点的极限 经济数学 , 0 , 0 ,1)( xbx xexf x 问 b 取何值时 , )(lim0 xfx 存在 , 并求其值 . 若 由函数的极限与其

15、左、右极限的关系 , 得 . 2)(lim 0 xfx b = 2 , )(lim 0 xfx 2)1(lim 0 xx e , )(lim0 xfx bbxx )(lim0 , 解 例 16 1.3.1 极限四则运算 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 .lim s i n0 xx e求 , 0s i n , 0 xux , 1lim 0 uu e 所以 ,由复合函数求极限法则 . 1lim s i n0 xx e 这类复合函数的极限通常可写成 . 1lim 0s i nlims i n 0 0 eee xx x x 解 例 17 1.3.1 极限四则运算 1.3 极限的运算 七 、复合

16、函数求极限方法 经济数学 .lim c o s xx x求 xx x x x ex lnc o sc o s limlim . 1lnlnc o slim ee xxx 解 例 18 1.3.1 极限四则运算 2.举例 1.3 极限的运算 经济数学 课堂练习 1.3.1 极限四则运算 3.小结与练习 1.3 极限的运算 2 0 15 l im sin _ _ _ _ _ x x x 、 3 2 31 l i m _ _ _ _ _ _ 3x x x 、 一、填空题 : 31 12 l i m _ _ _ _ _ 1x x x 、 2 1 1 13 l im ( 1 ) ( 2 ) _ _ _

17、_ x x x x 、 3 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )4 l im _ _ _ 5n n n n n 、 c o s6 l im _ _ _ _ _ xxx x ee 、 42 20 427 l im _ _ _ _ 32x x x x xx 、 20 30 50 ( 2 3 ) ( 3 2)8 l i m _ ( 2 1 )x xx x 、 二、求下列各极限 : )21.41211(lim1 nn 、 h xhx h 22 0 )(lim2 、 -5 3 2 5 1 0 0 2 1 3 2 1 2 1 1 11 n 2 2x 经济数学 解： 1 )1)(1(lim 1 1lim 2

18、12 3 1 x xxx x x xx )1(lim 21 xxx 3 1.求极限： 1 1lim 2 3 1 x x x ? 思考：能否用约分的方法求极限 ？ 为什么？ x x x sinlim 0 1.3.2 两个重要极限 复习引入 1.重要极限 : 0 sinlim 1 x x x 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 时 设有函数 x xxf s in)( ，观察下表并推测 0 x )(xf 的变化趋势： x xxf sin)( 0.99999 0.99998 0.99833 0.84147 0.001 0.01 0.1 1 x 1s in)(,0 x xxfx 时 1.3.2 两个

19、重要极限 1.重要极限 : 0 sinlim 1 x x x 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 x xxf sin)( 0.99999 0.9998 0.9983 0.8414 -0.001 -0.01 -0.1 -1 x 1s in)(,0 x xxfx 时 )(s i ns i n)s i n ()( xfx xx xx xxf 因为 x xxf s in)( 是偶函数 所以 1s inlims inlim 00 x x x x xx 由 1.3.2 两个重要极限 1.重要极限 : 0 sinlim 1 x x x 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 1s i nlim1s i

20、nlim 00 xxx x xx 或推出公式 1.函数极限为 型且含有三角函数 2.公式中出现的变量（可以是字母 或是其它的代 数式）相同且该变量趋向于零 . 3.公式的等价形式为 tx或 00 1s inlim 0 xxx 注意 1.3.2 两个重要极限 1.重要极限 : 0 sinlim 1 x x x 1.3 极限的运算 0 ( ) 0 s in s in ( )l im l im 1 ()y f x y f x y f x 经济数学 x x x 5s inlim 0求 x xx 5s inlim 0解： x xx 5 5s in5lim 0 x xx 5 5s inlim5 0 0,0

21、,5 txtx 有时当令 5s inlim5, 0 t tt原式所以 注：在运算熟练后可不必代换，直接计算： x x x 5sinlim 0 55 5s inlim5 0 x x x 例 1 1.3.2 两个重要极限 1.重要极限 : 0 sinlim 1 x x x 1.3 极限的运算 经济数学 求极限 : x x x x xx t a nlim2 2s in 3s inlim1 00 、 x x x 2s in 3s inlim1 0 、解： x x x x x x x 2 2 2s in 3 3 3s in lim 0 x x x x x x 2 2s in lim2 3 3s in l

22、im3 0 0 2 3 12 13 x x x x x xx c o s s in limt a nlim2 00 、 xx x x c o s s inlim 0 xx x xx c os 1lims inlim 00 111 例 2 1.3.2 两个重要极限 1.重要极限 : 0 sinlim 1 x x x 1.3 极限的运算 经济数学 求极限 : xxx 3sinlim xxx 3s inlim: 解 x x x 3 3 s in lim3 ) 3 3 3 s in (lim x x xx x 313 例 3 1.3.2 两个重要极限 1.重要极限 : 0 sinlim 1 x x x

23、 1.3 极限的运算 经济数学 x x x x x x 3 5s in lim2 3s in lim1 0 0 、 、 33 3s in3lim3s inlim1 00 x x x x xx 、 3 5) 3 5)( 5 5s i n(lim 3 5s i nlim2 00 x x x x xx 、 课堂练习 1.3.2 两个重要极限 1.重要极限 : 0 sinlim 1 x x x 1.3 极限的运算 练习 P33 89-92 经济数学 设有函数 ,时x，根据下表观察 x xxf 11)( 的变化趋势。 )(xf xxxf 11 x 2.71815 2.71692 2.70481 2.59

24、374 10000 1000 100 10 . 2.71828 2.71827 1000000 100000 1.3.2 两个重要极限 1l im (1 ) x x ex 2.重要极限 : 引入 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 xxxf 11 x 2.71815 2.71692 2.70481 2.59374 -10000 -1000 -100 -10 . 2.71828 2.71827 -1000000 -100000 x 时 x x ) 11( 均趋于一个确定的数 2.71828 用 e表示该数 ,e是无理数。 e = 2.718281828459045 1.3.2 两个重要极限

25、1l im (1 ) x x ex 2.重要极限 : 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 ex xx )11(lim得到公式 注意： 2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是 代数式）和指数互为倒数。 tx或 1.公式中底数的极限是 1，指数的极限是无穷大 , 函数极限为 型 1 ex xx 1 0 )1(lim.3 1.3.2 两个重要极限 1l im (1 ) x x ex 2.重要极限 : 1.3 极限的运算 高等数学 exf xfx )( 1 0 )(1(lim 经济数学 x x x ) 31(lim)1( xx x 1 )31(lim)2( 0 x x x ) 31(lim)1(

26、33 )31(lim x x x 3e xx x 1 )31(lim)2( 0 )3(31)3(1lim 0 xx x 3)3(1lim 3 1 xx x 3 e 解： 例 4 1.3.2 两个重要极限 1l im (1 ) x x ex 2.重要极限 : 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 复习回顾 两个重要极限及其特征 1s inlim1s inlim 00 x x x x xx 1l im (1 ) x x ex ex xx 1 0 )1(lim 经济数学 34) 2 11(lim x x x 求 34) 2 11(lim x x x 34 ) 2 11() 2 11(lim xx

27、x x 322 ) 2 11(lim) 2 11(lim xx x x x 2 2 1 e e 解： 例 5 1.3.2 两个重要极限 1l im (1 ) x x ex 2.重要极限 : 1.3 极限的运算 高等数学 经济数学 x x x x 2) 1 2(lim 求 2e x x x x 2) 1 2(lim x x x 2) 1 11(lim 2)1(2) 1 11(lim x x x 解： 2)1(2 ) 1 11() 1 11(lim xx x x 221 ) 1 11(lim) 1 11(lim xx x x x 例 6 1.3.2 两个重要极限 1l im (1 ) x x ex

28、 2.重要极限 : 高等数学 经济数学 x x x x 2) 1 2(lim 求 2e x x x x 2) 1 2(lim 2 2 1 l im 1 1 x x x x 2 2 2 1 l im 1 1 x x x x x 另解： 4 2 e e 例 6 1.3.2 两个重要极限 1l im (1 ) x x ex 2.重要极限 : 经济数学 x x x x x x ) 2 1(lim2 )31(lim1 1 0 、 、 333 1 0 1 0 )31(lim)31(lim exx x x x x 222 )21 (lim)21(lim exx x x x x 课堂练习 1.3.2 两个重要

29、极限 1l im (1 ) x x ex 2.重要极限 : 高等数学 作业 P33 91、 92、 105、 107 经济数学 设 和 是同一变化过程中的两个无 穷小， 即 lim =0和 lim=0 ( ) 如果 ，那么称 是 的 高阶无穷小 0lim ( ) 如果 ，那么称 是 的 低阶无穷小 lim ( ) 如果 ，那么称 是 的 同阶无穷小 )0(lim cc 特别是当 c=1时，即当 时，则称 与 是 等价无穷小 ,记作 ： 1lim 定义 18 1.2. 无穷小量和无穷大量 .无穷小量阶的比较 经济数学 x x x x x x ar c s i n lim)2( s i n lim

30、)1( .:1 0 0 计算下列极限例 xxs i n0 x 时1 1 xxar c s i n0 x 时 1 x1e0 x x 时 x x x )1l n (l i m )3( 0 xxx )1l n (0 时1 ax a x x ln 1lim 0 1 axax x ln10 时 20 x 2 1 c o s1 lim )5( x x1 2 2 1c o s10 xxx 时 x e x x 1l i m)4( 0 经济数学 常用等价无穷小 : ,0时当 x .1)1( ,ln1a , 2 1 c o s1 ,1 ,)1l n ( ,a r c t a n ,a r c s i n ,t a

31、 n,s i n x2 xx axxxxe xxxxxx xxxx x 高等数学 P35 经济数学 x x 6s in 5s inlim 2 0 x ：例 6 5 6 5l i m 0 x x x 等价无穷小替换计算极限 高等数学 对于 0/0型的极限问题，有时可以通 过等价无穷小的替换，变得方便。 经济数学 .co s1 2t a nl i m 2 0 x x x 求 解： .22t an,21c o s1,0 2 xxxxx 时当 2 2 0 2 1 )2( li m x x x 原式 例 3 .8 利用等价无穷小计算下列极限 : 高等数学 经济数学 例 4 .2s in s int an

32、li m 30 x xxx 求 解 .s i n,t a n,0 xxxxx 时当 30 )2(li m x xx x 原式 .0 解 ,0时当 x )c o s1(t a ns i nt a n xxxx ,21 3x ,22s i n xx 3 3 0 )2( 2 1 li m x x x 原式 . 16 1 错 等价无穷小量只能在 乘除 中替换 ,在 加减 中不能替换 高等数学 经济数学 )1(lim )2( 32 3a r c t a n lim )1( 5 1 n 2 0 x nan xx x 求下列函数的极限例 11 11l i m )3( 30 x x x )t a n1s i n1(1lim )4( 0 x xxx 2 3 aln 2 3 2 1 高等数学 经济数学 小结 1.无穷小的比较 : 反映了同一过程中 , 两无穷小趋于零的速度 快慢 , 但并不是所有的无穷小都可进行比较 . 2.等价无穷小的替换 : 求极限的又一种方法 , 注意适用条件 . 高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 . 高等数学 练习： P33 93-97； 作业： P37 124、 125、 126、 128、 129 P37 119-122