人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第三章第1节　导数的概念及其意义、导数的运算

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1、第三章石，二 产:7先一元函数的导数及其应用（选择性必修第二册）第 1 节 导数的概念及其意义、导数的运算整 课 程 标 准 要 求1 .了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义.2 .能根据导数定义求函数y=c （c 为常数），y=x,y=x y=x3,y 4,y=V%X的导数.3 .能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数（限于形如f （a x+b）的导数,会使用导数公式表.必备知识课前回顾阳残材夯实四基进知识梳理1 .函数y=f （x）在 x=x（）处的导数（1）定义:如果当A x-O 时,平均变化率?无限趋近于一个确定的值，即罪有极限,则称

2、y=f （x）在x=x。处可导,并把这个确定的值叫做y=f （x）在 x=x。处的导数（也称为瞬时变化率），记作f （x。）或 y l人x一 人-0,即f （x 0）=l im a=l im x O 久 工-0 A x释疑定义的变化形式:f （x0）=l im /（x）v（x o）.%一 3 0函数y=f(x)的导数f (x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向其大小I f (x)|反映了变化的快慢，f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.(2)几何意义：函数y=f (x)在 x=x()处的导数f (x o)就是曲线y=f (x)切线的斜率ko,即k-li m/(xo

3、+A z)-/(xo)=fZ(x AL O AX释疑(1)曲线y=f (x)在点P(x 0,y0)处的切线是指P 为切点,斜率为f (x。)的切线,具有唯一性.(2)曲线y=f (x)过点P(x(),y。)的切线，点 P 不一定是切点,切线可能有2.函数y=f (x)的导函数从求函数y=f(x)在 x=x。处导数的过程可以看到，当x=x。时，f(X。)是一个唯一确定的数.这样，当x 变化时,y=f (x)就是x 的函数，我们称它为y=f (x)的导函数(简称导数).y=f (x)的导函数有时也记作y ,即f (x)=yz=l im /(x+A x)=(x).ALO AX3.基本初等函数的导数公

4、式基本初等函数导函数f(x)=c(c 为常数)f (x)=0f (x)=xa(a Q,且 a W O)f (x)=a xa Hf(x)=s in xf7(x)=c o s Xf (x)=c o s Xf (x)=s in xf (x)=exf(x)=Ef (x)=ax(a 0,且 a W l)f(x)=axl n af (x)=l n xf，(x)Xf (x)=l o ga x(a 0,且 a#l)f (x)xlna 释 疑函数的解析式中含有根式的，在求导时要先将根式化为分数指数窠后求导数.4 .导数的运算法则若(x),g，(x)存在，则有(1)f(X)g(X)=f (x)土g (x);(2)

5、f(x)g(x)，=f (x)g(x)+f (x)g (x);(3)什 内 必 字/3(x)w o).5.复合函数的导数一般地,对于由函数y=f (u)和u=g (x)复合而成的函数y=f (g (x),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,重 要 结 论1 .奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.熟记以下结论：(与 T；x W=泰；看一志紧)。)；(4)af (x)bg(x)=af (x)bgz(x).对 点自测已1.函数f(x)=ex+x 2-2x的图象在点(0,f(0)处的切

6、线方程为(A)A.x+y-l=OB.x+y+l=OC.2x+y+l=0D.2x+y-l=0解析：因为 f(x)=ex+x 2-2x,所以 f(x)=e+2x-2,所以 f (0)=T.又f(O)=l,所以所求切线方程为y-l=-(x-O),即x+y-l=O.故选A.2.下列求导数运算正确的是(B)A.(c o s-)=-s i n-B.(l o g2x)=一3 3 xln2C.(3X)=3xl o g3e D.(x+-)=1+解析：由于c o s*4,因此(c o s 9=0,故A错误；(10g 2X)=七，故B正确；(3=3*l n 3,故 C 错误；因为(x+3=x +(二)=1 6,故

7、D 错误.故选B.3.设f (x)在x=x0处可导,且 l i m&经 立 3=i,则 伊(x。)等于(C )ALO AXA.1 B.3 C.-D.03解析：l i m八 久+3”卜八凡)=-XX3 l i m 八+3)“)=3f 区)=1,ALO 3AX所以f(X。)三.故选C.4.(2020 全国III卷)设函数f(x)上.若 伊 一，则x+a 4a=.解析：由于f (x h x+a y：故 f,二 解 得 a=l.(x+a)(1+a)4答案：15 .若函数 f (x)=l n(2x T),则 f (2)=.解析:*&)=三，因此f (2)=三=；乙X 1 乙X乙1 3答案:|关键能力课堂

8、突破美 方 考 点点窠四篡席 考点一导数的运算1.已知函数f(x)=f 己+2x+2f(l),则 f (2)的值为(D )A.-2 B.0 C.-4 D.-6解析:法一 由题意 f(l)=f (l)+2+2f(l),化简得 f(l)=-f (1)-2,而 (x)=2f,(l)x+2,所以f(l)=2f/(1)+2,得 f=-2,故f(l)=O,所以 f(x)=-2x 2+2x,所以 f(x)=-4x+2,所 以/(2)=-6.故选 D.法二 函数 f(x)=f (l)x 2+2x+2f(l)的导数为 f (x)=2f (l)x+2,即 (l)=2fz(1)+2,解得 f (1)=-2,因此 f

9、 (x)=-4x+2,fz(2)=-6.故选 D.2.已知f(x)噜，贝 If 等 于(D )y2x 2A.-2-l n 2 B.-2+l n 2C.2-l n 2 D.2+l n 2解析:依题意有f (x)1 后-2X；.(2 x)2.In久2x故 (?=2+l n 2.故选D.3.(2021 湖南长沙期中)若函数f (x),g(x)满足f (x)+x g(x)=x?T,且f =1,则 f+g 等于(C )A.1 B.2 C.3 D.4解析：因为 f (1)=1,f (l)+g(l)=0,所以 g(l)=l.因为 f (x)+x g(x)=x?T,所以 f (x)+g(x)+x g (x)=

10、2x,所以*+g +g =2,所以f +g (1)=2-(-1)=3.故选C.4.求下列函数的导数:(l)y ;(2)y-x+21+y/x 1-y/x(3)y=l n V l +2x;(4)y=l+c o s2解：(1)法一 y=(二)X+2(2%+l)(%+2)-(2%+l)(%+2)3(x+2)2(x+2)2*一.rrn 2X+1 2(X+2)-3 Q 3法 一 因为 y=-=-=2%+2 x+2 x+2所以 y =(2-V；)=厂尢+2 x+2(x+2)(,)_ 1 十 1 _(1一)+(1+及)_ 21+Vx 1-y/x(1+Vx)(l-Vx)X-x所以 y (9)一(二7)一 鼻.l

11、-x X-1(x-1)因为 y=l n V l +2 x,所以 y=|l n(l+2x),所以 y，(l+2x)-1.2 l+2x l+2x(4)因为 y=1 +c o s2x=1 4-1+CS2X-|+AC 0S 2X,所以 y =(|c o s 2x)=-1s i n 2x (2x)=-s i n 2x.一题后悟通1.求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.2.熟记求导函数的5 种形式及解法连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导；分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导；对数形式:先化为和、差的形式，再求导；(

12、4)根式形式:先化为分数指数塞的形式,再求导；三角函数形式:可利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导,也可直接利用复合函数求导.3.掌握求复合函数的导数一般步骤明确复合关系,适当选定中间变量,正确分解关系；分层求导,弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数.蜃 考点二导数的几何意义及其应用口 角 度-求切线方程(例 1-。函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时,-x 0,又当x 0 时,f(x)=x3+2x2,所以 f =1+2=3.当 x 0 时,f(x)=3x?+4 x,且 f(1)=7.因此曲线y=f(x)在点(l,f(D)处的切线方程为y-3=7 (x-1),即7 x-y

13、-4=0.答案：7 x-y-4=01 .求曲线在点P(x ,y0)处的切线方程的方法(1)求出y=f(x)在 x=x()处的导数，即y=f(x)在点P(x 0,f(x。)处的切线斜率(当曲线y=f(x)在点P处的切线与y 轴平行时,在该点处导数不存在,切线方程为x=x0);由点斜式求得切线方程y-y 0=f (x o)(x-x).2.由于本题涉及奇函数的点的切线问题，因此求解时需要利用奇函数的性质求f以及f.口 角度二求切点坐标建 叵 在平面直角坐标系x O y 中，点A在曲线y=l n x 上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是解析:设A(x,y

14、。)，由y得k=,X x0所以曲线在点A处的切线方程为y-ln xo=久-。(x-xo).因为切线经过点(-e,T),所以TTn xo=工(-e-Xo),所以 In x0=,x0 x0解得 x0=e,y0=l,即 A(e,1).答案：(e,1)解 题 策 略I根据导数的几何意义求切点坐标应注意两点:一是切点坐标既在曲线的图象上又在切线上;二是切线的斜率等于切点的横坐标的导数值.口角度三求参数的值(取值范围)O (1)已知直线y=kx+l与曲线y=ln x相切，则k等于()A.4 B.-C.e D.e2ez e(2)(20 21 陕西宝鸡高考模拟)已知直线y=kx(k0)和曲线f (x)=x-a

15、ln x(aWO)相切，则a的取值范围是()A.(-8,0)U(0,e)B.(0,e)C.(0,1)U(1,e)D.(-8,0)u(1,e)解析：(1)因为y=ln x,所以y=3X设切点为(m,In m),得切线的斜率为k=y，一，m因为切点在直线y=kx+l上，所以 In m=,m+1,m即 In m=2,贝！J m=e2,贝!J k=W 故选 A.(2)函数 f (x)=x-aln x(aH O)的定义域为(0,+),设直线y=k x(k 0)和曲线f(x)=x-al n x(aW O)相切于点(x0,k x0)(x0 0),因 为 伊 所 以 切 线 斜 率,f，(%又切点在曲线f(x

16、)上，所以kx0=x0-aln x0,k=1-,XO整理得(/c-l)x0=-aln x0,kl=,XO解得1)la=-e k-l).因为 k 0,所以 a=-e(k-l)0,所以2-2,所以a 的取值范围是(-X8,2).答案：(-8,2)3.(20 21 安徽安庆一模)函数f(x)=(x+l)e f a 在点(l,f)处的切线经过点7),则实数a=.解析：由 f(x)=(x+l)ex H+a,得 f (x)=e-(x+2),f (l)=3,f(l)=a+2,而切线过点7),从而有二等=3,解得a=-l.答案:T l 时，f (x)=l n x.由 y=l n x 得 y X设过原点的直线y

17、=a x与函数y=l n x 的图象相切于点A(x(),I n x0),f i n x0=ax0,(x0=e,则有_ i 解得所以当直线y=a x与函数y=l n x 的图象相切时,a=-e.又当直线y=a x经过点B(e2,2)时，有 2=a e：解得a=*结合图象可得当直线y=a x与函数f (x)=|l n%的图象有3 个交点时,实数 a的取值范围是传二).故选D.廊 3若直线y=k x+b 是曲线y=l n x+2的切线，也是曲线y=e，的切线，贝！J b=.解析:设直线y=k x+b 与曲线y=l n x+2的切点为区,y j,与曲线y=ex的切点为(X 2,y 2),y=l n x

18、+2的导数为y y=e*的导数为y =e*,可X得1=6久 2=三.又由卜=红”=心士，2 二,消去X%可得(1+l n xj (xl)=O,X1%2-xl%2-xl则 X i 或 X 1=1,当直线y=k x+b 与曲线y=l n x+2的切点为(；1)时，其e e与曲线y=e*的切点为(1,e);当直线y=k x+b 与曲线y=l n x+2的切点为(1,2)时,其与曲线y=e 的切点为(0,1).所以k-；=e 或1=段1,则切1-0-1e线方程为y=e x或 y=x+l,可得b=0或 1.答案：0 或 1课时作业灵活方医密致提褪aZI选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

19、导数的概念与运算1,2,912导数的几何意义4,5,6,1014,1517函数与导数的综合3,7,8,111316A级基础巩固练1.(多选题)以下运算正确的是(B C )A.(-)二 B.(c o s x)=s i n xX X乙C.(2X)=2xl n 2 D.(1g x)=-一一xlnlO解析:对于A,由于(3 所以A不正确;对于B,由于(c o s x)=-s i n x,所以B正确;对于C,由于)=2xl n 2,所以C正确;对于D,由于(迨x)=士，所以D不正确.故选B CxlnlO2.(2021 广东肇庆高三联考)已知函数f(x)=e*4 xl n x,则f 等于(D )A.0 B

20、.1 C.e D.2解析：因为 f(x)=e-+xl n x,所以 f (x)=e i+为I n x,所以f(1)=e1-1+l+l n 1=2.故选D.3.若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为(C )A.f (x)=3 c o s xB.f (x)=x3+x2C.f (x)=l+s i n 2x D.f (x)=ex+x解析:A 项中，(x)=-3 s i n x,是奇函数，图象关于原点对称,不关于y轴对称;B项中，f (x)=3 x?+2x=3(x+，其图象关于直线x=q 对称;C项中，f (x)=2c o s 2x,是偶函数，图象关于y轴对称;D项中，f (

21、x)=ex+l,由指数函数的图象可知该函数的图象不关于y 轴对称.故选C.4 .若直线y=-2x+b 为曲线y=x-e 的一条切线,则实数b 的值是(D )A.I n 3-3 B.3 1n 3+3C.I n 3+3 D.3 1n 3-3解析:设切点为(xo,x0-ex),由 y=x-e 得 y=l-ex,所以 l-ex=-2,得e&=3,得 x=l n 3.所以切点为(I n 3,I n 3-3),所以 I n 3-3=-21n 3+b,得 b=3 1n 3-3.故选 D.5 .(2021 湖南永州二模)曲线f(x)=21n x 在 x=t 处的切线1 过原点,则 1 的 方 程 是(A )A

22、.2x-e y=0 B.2x+e y=0C.e x-2y=0 D.e x+2y=0解析：曲线f(x)=21n x 的导数为(x)=3 设切点坐标为(t,21n t),X因此切线1 的斜率k=fz(t)=.又直线1 过原点,所以k 与 等 且 得I n t=l,t=e,所以 k=-,故切线 1 的方程为 y-2=(x-e),即 2x-e y=0.故e e选 A.6.(多选题)(2021 江苏淮安高三联考)若直线y x+b 是函数f (x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是(B C D )A.f (x)=-B.f (x)=xXC.f (x)=s i n x D.f (x)=ex解析:直线y=|x

23、+b 的斜率为k=|.由f (x)的导数为f(x)=-4,即切线的斜率小于0,故A 不正确；由f (x)=x 的导数为f(x)=4 x3,而 4 x3=|,解得x=|,故B 正确；由f (x)=s i n x 的导数为f (x)=c o s x,而 c o s x=g有解，故C 正确；由f (x)=e*的导数为f (x)=e;而由e 弓 解 得 x=T n 2,故 D正确.故选 B C D.7.(2021 江苏连云港高三联考)定义方程f(x)=(x)的实数根x。叫做函数f(x)的“保值点”.如果函数g(x)=x 与函数h(x)=ln(x+l)的“保值点”分别为a ,B,那么Q和B 的大小关系是

24、(B)A.a 3C.a =6 D.无法确定解析：由题可得g (x)=l,M 由“保值点”的定义可知a=l,x+1ln(B+l)=总记e(x)=ln(x+l)-，则J(x)=v+(7)己故0 (x)在定义域上单x+1 X+1%+1/调递增.由(0)=-1 0,=ln 2-|=ln 2 Tn 粕 0,因此。B B.故选B.8.(2 0 2 1 江西吉安高三联考)已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,且 当 x 0 时，f(x)=g 则曲线y=f(x)在点(l,f(l)处的切线方程为exA )A.y=2 e x-e B.y=-2 e x-eC.y=2 e x+3 D.y=-2 e x+e解析:函数

25、f(x)是定义域为R的奇函数，当x 0,则-x 0 时 f (x)=x ,ex,f7(x)=(x+l),ex,又 f(l)=e,k=f (l)=2 e.y=f (x)在点(1,f (D)处的切线方程为y=2 e x-e.故选A.9.某堆雪在融化过程中，其体积V (单位:m3)与融化时间t(单位:h)近似满足函数关系:V (t)=H(1 0-t)3(H为常数)，其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为力(m/i),那么tb t2,t3,t,中,瞬时融化速度等于方(m：7h)的 时 刻 是 图 中 的.解 析:声 巴 端 詈，反映的是v(t)图象与两坐标轴交点连线的斜率,如图,观察

26、可知t3 处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致.答案:t31 0 .我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率打的精度较高的近似值,这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f (x)=e-.则 f，(x)=,其在点(0,1)处 的 切 线 方 程 为.解析：因为f(x)=e/,故 f (x)=(X2)e%2=2 x ex 2,则 (0)=0,故曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=l.答案：2 x e 久 2 y

27、=l1 1 .设函数f(x)=g(2 x-L)+x 2,曲线y=g(x)在点(l,g(D)处的切线方程为 y=2 x+l,则f(1)=.解析:把x=l代入y=2 x+l,解得y=3,即g(l)=3,由y=2 x+l的斜率为2,得到 g (1)=2.因为 f (x)=2 g(2 x T)+2 x,所以 f (l)=2 g/(l)+2=6.答案：6B级综合运用练1 2 .(2 0 2 1 江苏徐州高三期末)假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t (单位:天)满足函数关系P(t)=P 2 高,其中P。为 t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率

28、为-嘤”,则该放射性同位素含量为4.5 贝克时衰变所需时间为(D )A.2 0 天 B.3 0 天 C.4 5 天 D.6 0 天解析：由 P(t)=P02-数得 P(t)=-京,P(),2-而 In 2,因为 t=15 时，该放射性同位素的瞬时变化率为-喑,即P，(15)=-萼P0=-智,解10 60 10得 P0=18,则 P(t)=18 ,2 3 0.当该放射性同位素含量为4.5 贝克时，即P(t)=4.5,所以18 -2 噎=4.5,即2*三,所以-5=-2,解得t=6 0.故选D.13.(多选题)若以函数y=f(x)的图象上任意一点P(x i,yi)为切点作切线 lb y=f(x)图

29、象上总存在异于点P 的点Q(X 2,yz),使得以Q 为切点的直线b与 L平行,则称函数f(x)为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是(B C )A.y=x3-2 x B.y=3 x+-XC.y=c o s x D.y=(x-2)2+l n x解析：由题意可知函数是“美函数”的条件是方程yz=a(a 是导数值)至少有两个根.对于A,由y =3 x 2-2,当 y =-2 时,x的取值只有0 是唯一的，因此不符合题意；对于B,由/=3-2=a(x W 0,且 a 0),令 2 x-4+=a，则有 2 x?-(4+a)x+l=0,当X X =0时,解唯一,不符合题意.故选B C.14.(2

30、02 1 河北石家庄高三开学考试)函数f(x)=s in 2 x 在原点(0,0)处 的 切 线 方 程 为,请你举出与函数f(x)=s in 2 x 在原点处具有 相 同 切 线 的 一 个 函 数:.解析：由f (x)=s in 2 x 得 f (x)=2 c o s 2 x,所以函数f (x)在原点(0,0)处的切线斜率为k=f (0)=2,因此函数f(x)在原点(0,0)处的切线方程为y=2 x.因为函数f (x)=s in 2 x 在原点(0,0)处的导数值为2,所以所求函数可以是y=x2+2 x,y/=2 x+2,其在原点(0,0)处的切线方程为y=2 x.答案:y=2 x y=x

31、?+2 x(答案不唯一)15.(2 02 1 安徽黄山一模)已知函数f (X)=X2+2,g(x)=l n x,若曲线y=f(x)与 y=g(x)的公切线与曲线y=f (x)相切于点(X,y),贝!In (2 x i)=.解析：设公切线与g(x)=l n x相切于点(X 2,In X 2),由f(x)=2 x,g(x)，X则曲线y=f (x)在(x i,yj处的切线方程为y-(x j+2)=2 x i(x-x i),即y=2 x*-好+2.曲线y=g(x)在(X 2,In X 2)处的切线方程为y=+l n x2-l,工 2所以卜1 =3+2 =In x2l,解 得*Tn(2xJ=3.答案：3

32、C级应用创新练16.在函数f (x)=aln x-(x T)?的图象上,横坐标在(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a的取值范围是(C)A.1,+8)B.(1,+8)C.6,+)D.(6,+8)解析：函数f (x)=aln x-析T)；求 导 得 伊(X)L-2(XT),X由横坐标在区间(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1.可得2-2(x 7)1对x (1,2)恒成立,X即有 ax(2xT)=2x?-x 对 x (1,2)恒成立.令g(x)=2x2-x,对称轴方程为x=：,所以区间(1,2)为增区间，即有g(x)g(2)=6,则有 a 2 6.故选 C.17.设点P,Q分别是曲线y=xe*(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点，则P,Q两点间距离的最小值为(B)A*B.22 2C(4e-1)遮 D(4e+l)鱼 2 2解析：由题意，曲线y二xe上的任意一点P和直线y=x+3上的动点Q两点间的距离的最小值,就是曲线y=xe*上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离.由y=4 可得y =号，令 y =1,解得x=0.ex ex当 x=0时,y=0,点 P(0,0),因此P,Q两点间的距离的最小值，即为点P(0,0)至 I J 直线y=x+3 的距离,&后搭=孚.故选B.V2 2