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1、第十三章 线性相关分析 第一节 线性相关的概念 一、概念：相关系数 （ correlation coefficient）又 称 Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两 变量间相关的密切程度与相关方向。 以符号 r 表示样本相关系数，符号 表示其总体相关系数。 相关系数没有单位，其值为 -1 r 1。 r值为正 表示正相关， r值为负表示负相关， r绝对值反 应两变量间相关关系的密切程度 ，绝对值越大说 明相关关系越密切， r的绝对值等于 1为完全相 关， r=0为零相关。 二、 计算公式 样本相关系数的计算公式为 22 ( ) ( ) ( ) ( ) XY X X Y Y X X
2、 Y Y l r llX X Y Y （ 13-1） 例 13-2 （ 续例 13-1） 计算表 13-1中体 重指数和收缩压的相关系数 。 解： 1绘制散点图，观察两变量之间是否有线性趋势。 从图 13-1 可见，体重指数与收缩压之间呈线性趋势，且方向相同，为正 相关。 2计算相关系数。从表 13-1的合计栏中，已得出基本数据： 5 6 . 5 0X , 3 1 4 . 6 6Y , 1 5 0 6.2 0 22 X , 2 6 2 3 9 . 8 6 5 8Y ， 1 1 2 1 . 7 7 4 6XY ， n = 1 6 。代入 公式 13 - 1 中，可得 : 2 2 2( ) / 2
3、 0 2 . 1 5 0 6 5 6 . 5 0 / 1 6 2 . 6 3 5 0 XXl X X n ， 2 2 2( ) / 6 2 3 9 . 8 6 5 8 3 1 4 . 6 6 / 1 6 5 1 . 6 8 3 6 YYl Y Y n ， ( ) ( ) / 1 1 2 1 . 7 7 4 6 5 6 . 5 0 3 1 4 . 6 6 / 1 6 1 0 . 6 3 1 5XYl X Y X Y n 1 0 . 6 3 1 5 0 . 9 1 2 . 6 3 5 0 5 1 . 6 8 3 6 XY X X Y Y l r ll 三 、 应用线性相关系数 r时应注意的问题：
4、1. r只表示两个服从正态分布的随机变量之间 线性关系的密切程度和相关方向 ， r=0只能说 X与 Y 之间无线性关系 ， 并不能说 X与 Y之间无任何关系 。 2. 相关关系并不一定是因果关系 。 相关分析的 任务就是对相关关系给以定量的计算和描述 。 第二节 相关系数的假设检验 2 0 , 2 1 2 r rr tn S r n （ 13-2） 例 13-3 （ 续例 13-1） 根据样本相关系数 ， 对总体相关系数 =0进行假设检验 。 解： 1. t检验法 检验步骤如下： （ 1） 建立假设 ， 确定检验水准 。 H0: =0（ 变量间不存在线性相关关系 ） ； H1: 0（ 变量间有
5、线性相关关系 ） ； 05.0 检验步骤 （ 2） 计算检验统计量 本例 n=16， r=0.91， 按公式 （ 13-2） （ 3 ）查 t 界值表，确定 P 值，下结论。 按自由度 14 ，查 t 界值 表，得 0 . 0 1 / 2 , 1 4 2 . 9 7 7t ， 0 .0 1 / 2 , 1 4r tt ，则 P 0.0 1 ，按 05.0 水准拒绝 H 0 ，接受 H 1 ，可 认为体重指数和收缩压之间存在正相关关系。 2 0.9110 8.2653 1 0.9110 / 16 2 rt 2. 查表法 根据自由度 ，查附表 13相关系数 r界值 表， ， ，本例 r =0.91
6、，所以 P0.01， 按 水准拒绝 H0，接受 H1，与 t 检验结论相同。 14 0. 01 / 2 ,14 2 .9 7 7t 0.01 / 2 ,14r tt 05.0 第四节 相关系数的可信区间 rZ 1t a n h r r Z 1 1 ln 2 1 统计推断包括假设检验和区间估计，前面已学过相关系 数的假设检验，假设检验只是回答了总体相关系数 是否 存在的问题，如果想知道的 大致范围，就需要计算的 可 信区间 。 由于 r呈非正态分布，故不能直接用 r求可信区间，而 是首先对 r作 Z转换，以消除这种偏态 式中为 tanh为双曲正切函数， tanh-1为反双曲正切函数， SZ为 Z
7、的标准误。 转换后的 Z统计量服从方差为 的正态分布，用下式计算 Z统计量总体均数的 100（ 1- ） %可信区间。当 时， 即为 95%可信区间。 3/,3/ 2/2/ nuZnuZ 3/2/ nuZ 1/( 3)n 0 .0 5 最后，对此区间的上下限作反变换， Zr t a n h 1 1 2 2 z z e e r 例 13-4 （续例 13-1） 例 13-2中，求得样本相关系数 r=0.9110， 求 的 95%可信区间。 11ta n h ta n h 0 . 9 1 1 0 1 . 5 3 3 4Zr 2 0 . 9 8 9 8 2 2 . 0 7 7 0 2 0 . 9 8
8、 9 8 2 2 . 0 7 7 0 11 0 . 7 6 0 . 9 7 11 ee ee /2 / 3 1 . 5 3 3 4 1 . 9 6 / 1 6 3 = 0 .9 8 9 8 2 .0 7 7 0 Z u n 第五节 直线回归与相关应用的注意事项 1根据分析目的选择变量及统计方法 直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和 密切程度 ， X与 Y没有主次之分； 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量 Y对自变 量 X在数值上的依存关系 ， 其中应变量的定夺主要依 专业要求而定 ， 可以考虑把易于精确测量的变量作为 X， 另一个随机变量作 Y， 例如用身高估计体表面积 。 两个变量的
9、选择一定要 结合专业背景 ， 不能把毫 无关联的两种现象勉强作回归或相关分析 。 相关关系不一定是因果关系，可能仅是表面上 的伴随关系，或两个变量同时受另一因素的影响， 如小孩的身高和小树的树高同时受时间的影响，在 校儿童的鞋的大小和阅读技能同时受年龄的影响。 不能只根据相关系数 r的绝对值的大小来推断两 事物现象之间有无相关以及相关的密切程度，而必 须对 r进行相关系数的假设检验。另外，不要把相 关系数的显著性误解为两事物或现象相关的强度， 例如对于相关系数的假设检验来说， P0.01比 P0.05更有理由认为相关关系成立，但并不能得出 前者比后者相关关系更密切的结论，相关关系的强 度是用
10、r的绝对值来反映的。 2进行相关、回归分析前应绘制散点图 第一步 （ 1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （ 2） 可发现异常点 （ outlier） 。 散点图对异常点的识别与处理需要从专业知识和现有 数据两方面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错 误需要改变模型形式，也可能是抽样误差造成的一次偶 然结果甚至过失误差。需要认真核对原始数据并检查其 产生过程认定是过失误差，或者通过重复测定确定是抽 样误差造成的偶然结果，才可以谨慎地剔除或采用其它 估计方法。 3资料的要求 直线相关分析要求 X与 Y 服从双变量正态分布； 直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正 态分布 ， X可以是服从正态分布的随机变量也可以是 能精确测量和严格控制的非随机变量； * 对于双变量正态分布资料 ， 根据研究目的可选择 由 X 估计 Y 或者由 Y 估计 X ， 一般情况下两个回归方 程不相同 ） 。 反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统 计量应该是回归系数或相关系数的绝对值 ， 而不是 假设检验的 P值 。 P值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系 存在 ， 而不能说关系越密切或越 “ 显著 ” 。 另外 ， 直线回归用于预测时 ， 其适用范围一般不应超出样 本中自变量的取值范围 。 4结果解释及正确应用
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