线性时不变系统的复频域综合

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1、7.1 极点配置问题状态反馈的复频域综合 7.2 极点配置问题的观测器 -控制器形补偿 器的综合 7.3 输出反馈极点配置问题的补偿器的综合 第 7章 线性时不变系统的 复频域综合 2021/4/11 2 7.1 极点配置问题状态反馈的复频域综合 一 状态反馈特性的复频域分析 考虑线性时不变状态反馈系统如图所示 lcN)()( 1 sSs lchc DD 1 )( sy ()Ns1D ( )s ()Ks ()s )( su()s 2021/4/11 3 1 状态反馈系统的传递函数矩阵 线性时不变状态反馈系统闭环传递函数阵的右 MFD为： 1KK( ) ( ) ( )G s N s D s 闭环

2、分母矩阵为： KD ( ) ( ) ( ) ( )h c L cs D S s D K s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , p hc lc lc k p i i k D s D S s D s N s N s s S s k n s 1 1 )( 1 1 1 s s s s s p k k 2021/4/11 4 2 状态反馈对分子矩阵 N(s)的影响 K 3 状态反馈对分母矩阵 D(s)的影响 不改变分母矩阵 D(s)的列次数。 不改变分母矩阵 D(s)的列次系数阵。 可改变分母矩阵 D(s)的低次系数阵。 线性时不变状态反馈系统 ，反馈矩阵 K的引入对 分子矩阵

3、 N(s)没有直接影响。 线性时不变状态反馈系统 ，反馈矩阵 K的引入对 分母矩阵 D(s)的影响为： K 2021/4/11 5 4 包含输入变换的状态反馈系统 如图所示 lcN lchc DD 1 )( sy ()Ns ()Ks ()s )( su()s 1D ( )sH 其中： H为 p p的非奇异输入变换阵 2021/4/11 6 (1) 包含输入变换的状态反馈系统的传递函数矩阵 包含输入变换的线性时不变状态反馈系统闭环传递函 数阵的右 MFD为： 1H K H K( ) ( ) ( )G s N s D s 闭环分母矩阵为： 1 HK 11 D ( ) H ( ) ( ) ( ) (

4、 ) ( )h c L c s D s K s H D S s H D K s (2) 包含输入变换的状态反馈系统的功能 可同时改变分母矩阵的列次系数阵和低次系数阵。 2021/4/11 7 1 问题的提法 给定开环系统的传递函数阵 ， D(s)列 既约。表 为列次数，设 任意给定 n个期望极点 ， 二 极点配置的复频域综合 确定输入变换阵 H和状态反馈阵 K，使成立 )s(D)s(N)s(G 10 )s(Dk cii nk,kkk p 1i ip21 *n*2*1 , )s()s( *n 1i * i 1 H K H K * HK G ( s , K ) N ( s ) D ( s ) d

5、e tD ( s ) ( s ) 2021/4/11 8 2 极点配置的基本结论 对包含输入变换的线性时不变状态反馈系统，受控 系统由严真不可简约右 MFD 表征， 若取 期望特征多项式表示为 1N (s)D (s) )s(s)s( s)s(s)s(s)s( p )kk(n 1-p )kk(n 2 kn 1 n* 1-p1 211 hcDH 1p 1 ( s ) ( s ) - 1 0 K ( s) ( ) - 1 0 h c lcD D s 则状态反馈系统可实现期望极点配置 2021/4/11 9 2 算法步骤 第 1步：对给定 D(s),求出 第 2步：将 进一步表示为： 1hclchc

6、D)s(,D,D 和 )s(* )s(s)s( s)s(s)s(s)s( p )kk(n 1-p )kk(n 2 kn 1 n* 1-p1 211 第 3步：取 hcDH 01- 01- )s()s( ( s ) p1 构造 )s(DD-( s )( s )K lc-1hc 2021/4/11 10 第 4步 ： 令 于是，可求出： 2221 1211 k k p21 k HK DD DD s1-0 1-0 s1- )s()s()s(s ( s )S( s )( s )D p 2 1 )s()s(d e tD *HK p21lc1-hc p21 D,D,DDD K,K,KK ii ii kpD

7、 kpK ii 1k 1 k 1 ii () ss 1 K D , i 1 , , p0 ss 11 0 s 其中 7.2 极点配置问题的 观测器 -控制器形补偿器的综合 一 问题的提法 构造补偿器，使满足 1 C F C F - 1 * f h c C F G ( s ) N ( s ) D ( s ) ( d e t D ) d e t D ( s ) ( s ) 给定线性时不变受控系统 ,由 严真 传递函数矩阵 表征， D(s)列既约 。 1G ( s ) N ( s ) D ( s ) , 不 可 简 约 *n*2*1 , )s()s( *n 1i * i p j c j j j1 k

8、 = D ( ), k ns 任意给定 n个期望极点 ， 期望闭环特征多项式为 : 1 闭环控制系统满足期望极点配置 2 补偿器满足物理可实现性 2021/4/11 12 二 观测器 -控制器型反馈极点配置的原理性综合 1 期望闭环分母矩阵 * CF ()Ds 给定期望极点 ,则期望特征多项式为： 11 1 2 ()()* 12( ) ( ) ( ) ( ) pn k kn k n k kn ps s s s s s s s 1 2 12 * CF ( ) ( ) ( ) 10 1D ( ) 1 p k p k k s s s s s s s 则期望闭环分母矩阵 为 : * CF ()Ds *

9、 ()j j c j C Fk k D s * * f h c ()CF n Ds DI 的 列 次 系 数 阵 2 状态反馈阵 M(s) 给定线性时不变受控系统不可简约严真右 MFD ， D(s)列既约 ,如图所示。 1G (s) N (s) D (s) lcN)()( 1 sSs lchc DD 1 )( sy ()Ns1D ( )s M( )s ()s)(su ()s 取 p p状态反馈阵 M(s)为： *CF( ) ( ) ( )M s D s D s 则可使对应状态反馈系统实现任意期望闭环极点组的配置。 2021/4/11 14 三 观测器 -控制器型反馈极点配置的可实现性综合 1

10、物理可实现输出输入反馈系统 CF 按期望极点配置综合导出的状态反馈系统 ，其控制功 能等价的结构物理可实现输出输入反馈系统 如图所示。 CF K )()( 1 sSs )( sy ( ) ( )M s X s 1N (s)D ( )s M( ) ( )s Y s )(su()s + + + ( ) ( )M s s 输出输入反馈系统 结构图 CF 2021/4/11 15 2 以形式 MFD表征补偿器 对上述得到的线性时不变输出输入反馈系统 ，引入 p p待定可逆矩阵 T(s), CF ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )F s T s M s X s H s T

11、 s M s Y s )()( 1 sSs )( sy 1( ) ( )T s F s 1N (s)D ( )s 1( ) ( )T s H s )(su()s + + + ( ) ( )M s s 则在控制功能等价前提下，导出以下输出输入反馈系统 CF 以形式 MFD表征补偿器的输出输入反馈系统 CF 2021/4/11 16 3 以真正 MFD表征补偿器 对上述得到的线性时不变输出输入反馈系统 ， CF 1( ) ( ) ( ) ( )LN s D s s N s -1L不 可 简 约 不 可 简 约 D )()( 1 sSs )( sy 1( ) ( )uT s N s 1N (s)D

12、( )s 1( ) ( )yT s N s )(su()s + + + 引入： ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) L y u LH s L s D s N s N s F s L s N s 以真正 MFD表征补偿器的输出输入反馈系统 CF 则： 2021/4/11 17 4 构造真 MFD表征的补偿器 对按期望极点配置得到的以真正 MFD表征补偿器的线性时 不变输出输入反馈系统 ，表示 CF 1( ) ( ) ( ) ( )N s D s s N s -1L不 可 简 约 不 可 简 约 D 观测器的期望极点 rj r 1 r q ( ) ( ) 1 , 2

13、 , , m a x ( ) , , ( ) LL LL D s q q D s j q D s D s 分 母 矩 阵 行 次 数 ， * * *1 2 ( 1 ) , , , ps s s ( 1 ) * ( 1 ) ( 1 ) 1 T ( 1 ) 1 1 0 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p pp rp r p p p pp s s s s s s s s s s s s s s 期望特征多项式为： 2021/4/11 18 若取 1 1 1 2 1 ( ) 1 () () 1 ()p ss ss

14、Ts ss 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( 2) ( ) ( ) , ( ) y u T s N s M FD T s N s M FD s -1 K 为 真 为 真 当 且 仅 当 D(s)D 为 正 则 真 则有： 四 综合观测器 -控制器型补偿器的算法 1 C F C F - 1 * f h c C F G ( s ) N ( s ) D ( s ) ( d e t D ) d e t D ( s ) ( s ) 第 1步 ：对给定的 严真开环 传递函数矩阵，不可简约 MFD为： D(s)列既约， 行 既约 。 第 2步 ：定出满足综合指标的闭环传递函数阵， 即成立 第 3步 ：

15、 计算 p p多项式矩阵 )s(N)s(D)s(D)s(N)s(G L-1L1 )s(DL )s(D)s(N)s(G 1CFF )s(D)s(D)s(M CF 第 4步 ：定出使 X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I的 p p和 p q的 多项式矩阵 X(s)和 Y(s). 第 5步 ：选取 T(s) 其中： 可任取，但需使 detT(s)=0的根均具有负实部。 第 6步 ：计算 F(s)=T(s)M(s)X(s)和 H(s)=T(s)M(s)Y(s)， 运用矩阵除法求出满足 的矩阵对 ，计算 1 1 1 2 1 ( ) 1 () () 1 ()p ss ss Ts ss )s(i )s(N

16、)s(L ( s ) DH ( s ) yL )s(NL(s), y )s(L (s )N)s(F(s )N Lu 第 7步 ：计算 ，则补偿器的传递特性 )s(T 1 )s(N)s(T)s(N)s(T y1u1 和 (13.3) 给定线性时不变受控系统 试综合一个状态反馈阵 K,使得状态反馈控制系 统的极点配置为 12 3 2 2 2 2 1 1 2 1 0 () 2 2 2 1 4 2 1 s s s s s Gs s s s s s s * * *1 2 ,3 42 , 1 , 4 2jj (13.4)：对上题中的受控系统和期望极点 ,试确 定实现极点配置的一个 ”观测器 -控制器型 ”

17、 补偿 器 7.3 输出反馈极点配置问题的补偿器的综合 一 问题的提法 给定线性时不变受控系统 ,由真或严真传递函数 矩 阵 表征， D(s)列既约 , 行既约 , 1 - 1LLG ( s ) N ( s ) D ( s ) = D ( s) N ( s) , 不 可 简 约 j c j r i r i L pq j r i j 1 i 1 k = D ( ) , k = D ( ) k = k n ss 采用如图所示的具有补偿器的单位输出反馈结构 : )s(DL (s)y(s)u C()s ()Gsv(s) C(s)为补偿器传递函 数阵，阶数为 m 构造补偿器，使满足 * * *12, ,

18、 , nm 其 中任意给定一组期望闭环极点 1 实现期望的极点配置 2 补偿器满足物理可实现性 2021/4/11 24 二 传递函数矩阵的循环性 1 G(s)的特征多项式和最小多项式 G(s)的特征多项式 (s) =G(s)所有 1阶、 2阶、 、 minq,p阶子式最小公分母 G(s)的最小多项式 (s) =G(s)所有 1阶子式最小公分母 其中： (s) =b(s) (s) b(s)为标量多项式 2 循环传递函数矩阵 G ( ) ( ) ( ) ,s s k s k 循 环 为 非 零 常 数 2021/4/11 25 3 循环有理分式矩阵的性质 若真或严真 G(s)为 1 p或 q 1

19、有理分式阵，则 G(s)为循环 给定 q p的 G(s)，表 和 为其任意两个 元有理分式，则当不存在一个 是它们的公共极 点时， G(s)必是循环的。 (注：该条件只是充分条件） 设 G(s)为 q p的循环真有理分式阵，则对几乎所有 的 p 1实常数向量 和 1 q的实常数向量 ，存 在非零常数 和 使成立 )s(gij )s(g 1t 2t 1k 2k )s(Gtkt)s(Gk G ( s ) 2211 2021/4/11 26 设 G(s)为 q p的非循环真有理分式阵，构成如图所 示的输出反馈系统。闭环有理分式阵为： 11 )s(KGI)s(G)s(GK)s(GI( s )G 则对几

20、乎所有任意取定的常阵 K， 必是循环有理分式矩阵。 )s(G ()Gs (s)uv(s) K )s(y 2021/4/11 27 三 输出反馈极点配置补偿器的综合：循环 G(s)情形 1 补偿器的组成方案 设 G(s)为 q p的循环真或严真传递函数阵，选定 p 1实常数 向量 和 1 q的实常数向量 ，使成立 输出反馈系统中的补偿器如图所示 C( )s ()Gsv(s) 1t )s(y 2t ()Gs v(s) C(s) )s(y 1t 2t )s(Gtkt)s(Gk G ( s ) 2211 10 10 () () n n n n D s D s D s D N s N s N s N (

21、s)h 2021/4/11 28 2 补偿器的描述 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ,综合中要确定 的补偿器传递函数阵为 1 q真或严真 -1cC ( s) = D ( ) ( )cs N s不 可 简 约 CF 10 10 de g ( ) () () c m c c m c c m c c m c c D s m D s D s D s D N s N s N s N (s)C 基于上述描述的闭环传递函数矩阵为 1G ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CF CF CF CF c c CF c s D s N s D s D

22、s D s N s N s q q N s N s N s 阵 阵 * * 1 1 10 * ( ) ( ) , 0 , 1 , , n m n m C F n m n m hh D s k s F s F s F s F F k h n m k 任 意 非 零 常 数 期望的闭环分母阵为 2021/4/11 29 10 10 10 10 * 10 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) n n n n m c c m c c m c c m c c nm CF n m D s D s D s D q N s N s N s N D s D s D s D q

23、N s N s N s N D s F s F s F 多 项 式 阵 多 项 式 阵 多 项 式 阵 多 项 式 阵 多 项 式 阵 综上 : 组成分块阵 : 0n 0n 0n m 0 n 0n 0n D D 0 0 N N 0 0 0 D D 0 0 S 0 N N 0 0 0 0 D D 0 0 N N 2021/4/11 30 则有 : * h * c C ( s) , s ( ( ) ) , 1 , , n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) CF h c c CF c c mc G s h m D s D s N s N s D s D s N s S F

24、T 综 合 补 偿 器 使 闭 环 极 点 对 方 程 求 解 对 方 程 T 求 解 c c 0 c 0 c 1 c 1 c m c m 0 1 n + m T = D N D N D N F = F F F 2021/4/11 31 3 补偿器综合结论 令 G(s)为 q p的循环传递函数阵， 和 为任意不可简约 的最大列次数和最大行次数 ,则 有如下结论 : (1)若 G(s)严真，而 C(s)为真，当 时，必存在 C(s)使闭环系统所有 n+m个极点实现任意配置， (2)若 G(s)真，而 C(s)为严真，当 时，必存在 C(s)使闭环系统所有 n+m个极点实现任意配置， C( )s

25、()Gsv(s) 1t )s(y m m in 1, 1 1 - 1LLG ( s ) N ( s ) D ( s ) = D ( s) N ( s) m m in , 2021/4/11 32 4 综合补偿器的算法 第 1步：对 q p的真或严真循环有理分式阵 G(s),寻 找 一 p 1的实常数向量 ，使成立 第 2步：将 表为不可简约的 MFD,即 D(s),N(s)右互质。表示 1t 11 G ( s ) k G ( s) t 1t)s(G )s(D)s(Nt)s(G 11 01 n n 01 n n NsNsN)s(N DsDsDD ( s ) 2021/4/11 33 第 3步：组

26、成系数矩阵 n0 n0 n0 n0 n0 n0 NN00 DD00 00NN0 00DD0 00NN 00DD S l 其中， l为待定的正整数。确定使 列满秩时 l的最 小值，则 lS 1 l 2021/4/11 34 第 4步：当 G(s)为严格真时，取 为真，令 当 G(s)为真时，取 为严格真，令 第 5步：求解方程 (s)C 1m c 0 c 0 c 1 c 1 c m c m m 0 1 n m 1D N D N D N S F F F nmF * * n m n m 1CF n m n m 1 1 0D ( s) ( s) F s F s F s Fk (s)C m 第 6步：组成 c0c1 m cmc c0c1 m cmc NsNsN)s(N DsDsD( s )D 则 ，所要综合的补偿器传递函数阵 )s(N)s(D)s(C c1c )s(Ct)s(C 1 2021/4/11 35 四 输出反馈极点配置补偿器的综合：非循环 G(s)情形 非循环 G(s)极点配置输出反馈系统结构图 C()s ()Gsv(s) K + - ()Gs y( )s 求解思路 : (1)引入常反馈阵 K预输出反馈 ,使 为循环 . (2)对循环 综合补偿器 C(s)。 ()Gs ()Gs 13章作业 :3,5,6