浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧
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1、浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧分类:学法指导放缩法:为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正(负)项”而使不等式各项之和变小(大),或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”,或“在乘积式中用较大(较小)因式代替”等效法,而达到其证题目的。所谓放缩的技巧:即欲证,欲寻找一个(或多个)中间变量C,使,由A到C叫做“放”,由B到C叫做“缩”。常用的放缩技巧还有:(1)若(2)(3)若则(4)(5)(6)或(7)等等。用放缩法证明下列各题。例1 求证:证明:因为所以左边因为99100(放大)所以 例2 (2000年海南理11)若求证:证明:因为所以因为因为(放大),所以又所以是增函
2、数,所以,所以 例3 (2001年云南理1)求证:证明:(因为)又因为(放大),所以所以 例4 已知求证:证明:因为 例5 求证:证明:因为(因为)(放大)所以 例6 (2000年湖南省会考)求证:当时,函数的最小值是当时,函数的最大值是证明:因为原函数配方得又因为所以(缩小),所以函数y的最小值是。当所以(放大),所以函数y的最大值是 例7 求证:证明:因为(分母有理化)所以原不等式成立。 例8 (2002年贵州省理21)若求证:证明:因为而所以所以同理可证(当且仅当时,取等号)。 例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长,求证:证明:不妨设据三角形三边关系定理有:便得所以原不等式成立。 例10 (1999年湖南省理16)求证:证明:因为又所以原不等式成立。 例11 求证:证明:因为左边证毕。 例12 求证证明:因为所以左边注:1、放缩法的理论依据,是不等式的传递性,即若则。2、使用放缩法时,“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形,一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”,都是用于不等式证明中局部放缩。
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