高等数学常用概念及公式

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1、高等数学常用概念及公式l 极限的概念当x无限增大（x)或x无限的趋近于x0（0)时，函数(x）无限的趋近于常数,则称函数f(x)当x或xx0时,以常数A为极限，记作:f(x)=A 或 f()=Al 导数的概念设函数f(x)在点0某邻域内有定义,对自变量的增量x=x- 0，函数有增量y=()-(0)，如果增量比当x时有极限，则称函数f（x)在点x0可导，并把该极限值叫函数=f()在点0的导数，记为f(x0)，即（0）=也可以记为=|xx0,|x=x0或|x=x0l 函数的微分概念设函数y=f（)在某区间内有定义，x及xx都在此区间内,如果函数的增量=f（x+x)-f（x)可表达到 y=Axx其中

2、A是常数或只是x的函数，而与x无关,当x0时是无穷小量( 即x这一项是个比更高阶的无穷小)，那么称函数y=f(）在点x可微,而A叫函数=f（x)在点x的微分。记作dy，即:d=x=f（x）dl 不定积分的概念原函数：设f（x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一种函数F(x)，对于该区间上每一点都满足F(）= f(x) 或 F(x)= f(x)dx则称函数F(x)是已知函数(）在该区间上的一种原函数。不定积分：设F()是函数f(x)的任意一种原函数，则所有原函数F（x)+c(c为任意常数)叫做函数f()的不定积分,记作 求已知函数的原函数的措施,叫不定积分法,简称积分法。其中“”是不定积分

3、的记号；f(x)称为被积函数；f(x）x称为被积体现式；x称为积分变量；c为任意实数,称为积分常数。l 定积分的概念设函数f(）在闭区间a,b上持续，用分点a=x0x1x2xi1xxn-1xn=，把区间a,b任意提成n个社区间x-1,xi（1, ,）每个社区间的长度为xi xixi1(1,2, ,n),在每个社区间xi1，xi上任取一点,作和式In=当分点无限增长()且所有社区间长度中的最大值maxi0时，和式In的极限，叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作,即=其中f（)称为被积函数,b和a分别称为定积分的上限和下限，区间a,b叫积分区间，x为积分变量。l 极限的性质及运算法则无穷小

4、的概念：若函数f(x)当x0(或x)时的极限为零，则称f（x)当xx0(或x)时为无穷小量,简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一种很小的数混为一谈。无穷小的性质:性质1:有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1:常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2:有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念：若当x0(或x)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数(x)当x0（或x)时为无穷大量,简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一种绝对值很大的数混为一谈；此外，一种变量是无穷大,也不能脱离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系:定理:在同一变化过程中，

5、若f()为无穷大，则为无穷小；反之,若f()为无穷小，且(）0，则就为无穷大。极限运算法则:法则:im()g(x)limf(）li g()=A+法则：lmf（x)(x）= limf(x)im()=AB特别的:li cf(x）=climf（x) （c为常数)法则3:lim= (其中0)注意用法则3求极限时:如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小;如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解;以上状况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限:重要极限：1 = =1重要极限：(1+)=e = （+)（)=e或=e等价无穷小(x0):在求极限过程中常常使用等价无穷小互相替代;；;；l 导

6、数的性质、求导法则及常用求导公式持续的概念：若函数f(x)在0的某邻域内有定义,当xx0时,函数的极限存在，且极限值等于函数在x处的函数值f(x0)即f(x)=f(x)则称函数在0处是持续的。持续与可导的关系：定理:若函数f(x)在点x0处可导，则函数在点x0处持续。(持续是可导的必要条件,其逆命题不成立,即函数在某一点持续，但在该点不一定可导)导数的计算环节(按定义计算):第一步 求增量，在x处给自变量增量x，计算函数增量y，即 y=f(xx)-f(x）；第二步算比值，写出并化简比式：=;(化简比式的核心是使分式中仅分母或分子中具有x项，避免浮现或)第三步 取极限,计算极限=f(）常用基本初

7、等函数的导数公式:； ; ;； ； ; ; ；; ； ； ； 导数的四则运算法则：设u=u(x）,=v(x),则（)=u v； (cu)=c；（uv）=uv+uv; （)=.反函数的导数：y=f()是x()的反函数,则y=,即f（)=复合函数求导法则:设f(u）,u=(x),则复合函数y=(x）的导数为=或x=fux隐函数求导措施：隐函数的概念 针对因变量y写成自变量x的明显体现式的函数y=f(),这种函数叫显函数;而两个变量x和y的相应关系是由一种方程F（x,y)=0所拟定,函数关系隐含在这个方程中,这种函数称为由方程所拟定的隐函数。求隐函数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显化）

8、，只需把y当作中间变量y=y（x),运用复合函数求导法则，即可求出隐函数y对x的导数。例:求方程x+y1所拟定的函数的导数。解 在方程的两端对求导，并将y2看作x的复合函数，则(2+y）=(1) 即+2yy=，y =-x得y=-参数方程所示函数的导数：如下方程组,其中t为参数=(t)=(t)设函数（t)和(）都可导,且函数(t)存在持续反函数t=-1()，当-1(）时，这个反函数也可导;这时是x的复合函数 y=-1(）(x)它可导,由复合函数求导法则知=罗必塔法则:当xx0(或x)时，函数f(x），g(x)同步趋向于零或同步趋向于无穷大，这时分式的极限也许存在，也也许不存在。我们称其为未定式,

9、并记作型或，此类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。未定式(罗必塔法则一)：=A(或无穷大）。若其中x时,结论仍然成立。使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应当整顿化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。未定式（罗必塔法则二）:=(或无穷大)。若其中x时，结论也成立。未定式0型及-型：这两类未定式可转化为型或型。未定式0,0，1型:该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。l 微分的运算及法则由微分的的概念y=()d可知,求一种函数的微分,只规定出导数f（x)再乘以d就得到微分dy，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。例,对于yix,有ycosx，从而=

10、cox。微分的法则:设=(x),=（x）,则d(cu）=cu; d(uv)dudv;(uv)=dv+vdu； d（)=l 不定积分的性质、基本公式及计算措施由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质:性质一：=f（x）或(x)d；性质二:=F()+；性质三:=k(是不为0的常数);性质四：=。不定积分的基本公式(均应加上常数)：=c; ； ; ; ； ； ；; ; ; ; ; ; ; ；; 。第一换元积分法：设函数u(x)，且f(u)有原函数F(u),du=(x)x (即dx=d(x) =参见微分概念及计算=()c= F（x)c注意:该公式有一种隐含的条件,即规定原积分公式中已具有（)

11、,方可在换元时代入x du/()并约去（x)。提示：该积分法的环节是先找出合适的u=(x)，将函数转化为有关u的积分公式，再求出有关u原函数,最后根据与的关系代入x。第二换元积分法：设函数x=(）单调可微且(t)0，x=（)t =参见微分概念及计算=(t)+=F(x)+提示：该积分法的环节是先找出合适的x=（),将函数转化为有关t的积分公式,再求出有关t原函数,最后根据x与t的关系代入x。分部积分法:设函数u=u(x),v()具有持续导数,则=uv- 解题时这个为u不行就换那个为u 提示：运用此公式有时可以使难求的不定积分转化为易求的不定积分，从而得所求成果。l 定积分的性质及计算措施:性质一

12、:k (k为常数）;性质二：=b-a;性质三：=;性质四：若把区间a，b分为两个区间a，c与，b，则 = 注意：c有任意性，可在a,b之外；性质五：若f（)与g(x)在a,b上有f（x)(x)，则 ;性质六:若M，分别是f()在a,b上的最大值和最小值，则 (-a） (ba) =估值定理性质七:若f（）在a,上持续，则至少有一点(a,b）,使得 =f()(b-a) 定积分中值定理，求平均值。牛顿莱布尼兹公式：若f(x)在a,上持续，F(x）是f（x）的一种原函数，则=F（x)=F（b）-F(a）可见，计算定积分，先用不定积分的措施求出一种原函数,然后把上、下限a，b代入原函数作减法运算。换元积分法:设函数x=(t)，则dx=（t)d，若满足:(1)、当t=时，x=a;当t=时,=；(2)、当t在，上取值时,（t）的变化单调且范畴是a,b,则=F（） 提示：运用此公式时,要同步换上下限,新的积分上、下限代入自变量t的原函数相减即可，不必再回到本来的积分变量x。分部积分法:设函数(x）,v(x)在a，b上有持续的导数u(x）、(x）,则u（x)(）-即 =uv-