用均值不等式求最值的方法和技巧

《用均值不等式求最值的方法和技巧》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用均值不等式求最值的方法和技巧（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、用均值不等式求最值的措施和技巧桃源县第九中学 朱梅芳均值不等式是求函数最值的一种重要工具，同步也是高考常考的一种重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解某些函数的最值问题的措施和技巧。一、几种重要的均值不等式当且仅当a = b时，“=”号成立;当且仅当a =时，“=”号成立；当且仅当a =b =c时,“=”号成立； ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注: 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”; 熟悉一种重要的不等式链：。二、用均值不等式求最值的常用的措施和技巧、求几种正数和的最小值。例、求函数的最小值。解析：，当且仅当即时，“=”号成立,故此函数最小值是。评

2、析：运用均值不等式求几种正数和的最小值时，核心在于构造条件，使其积为常数。一般要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子)等方式进行构造。2、求几种正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值: 解析：,，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。，则,欲求y的最大值,可先求y2的最大值。,当且仅当,即时,不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。评析：运用均值不等式求几种正数积的最大值,核心在于构造条件，使其和为常数。一般要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、,求的最小值。解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，

3、当时，函数是减函数。证明:任取且,则，则，即在上是减函数。故当时,在上有最小值。解法二：（配措施)因，则有,易知当时, 且单调递减,则在上也是减函数，即在上是减函数,当时,在上有最小值。解法三：(导数法)由得,当时，则函数在上是减函数。故当时,在上有最小值5。解法四：(拆分法),当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选用措施,特别是单调性法、导数法具有一般性，配措施及拆分法也是较为简洁实用得措施。4、条件最值问题。例4、已知正数x、y满足，求的最小值。解法一：(运用均值不等式),当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是8。解法二：(消元法）由得,由则。当且

4、仅当即时“”号成立，故此函数最小值是8。解法三:（三角换元法)令则有则，易求得时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解措施： 。因素就是等号成立的条件不一致。5、运用均值不等式化归为其他不等式求解的问题。例5、已知正数满足，试求、的范畴。解法一：由，则,即解得,当且仅当即时取“=”号，故的取值范畴是。又,当且仅当即时取“=”号，故的取值范畴是解法二:由，知,则，由，则：，当且仅当,并求得时取“=”号，故的取值范畴是。,当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范畴是。三、用均值不等式求最值的常用的技巧1、 添、减项（配常数项) 例1

5、 求函数的最小值. 分析：是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而可与相约,即其积为定积，因此可以先添、减项6,即，再用均值不等式. 当且仅当，即时,等号成立. 因此的最小值是. 评注 为了发明条件运用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧；为了保证式子的值不变,添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项) 例2已知，且满足，求的最大值. 分析 ， 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式与否认值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数,即将变形为,再用均值不等式. 当且仅当,即时,等号成立. 因此的最大值是 评注 本题是已知和为定值,规定积的最大值，可逆用均值不等式,即运用来解决

6、. 、 裂项 例3已知,求函数的最小值 分析在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题. 当且仅当,即时,取等号. 因此 4、 取倒数 例4 已知，求函数的最小值 分析 分母是与的积,可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数,使它们的和为 (这是解本题时真正需要的）.于是通过取倒数即可解决问题. 解由，得, 取倒数,得 当且仅当，即时,取等号 故的最小值是. 5、 平方 例5 已知且求的最大值. 分析 条件式中的与都是平方式,而所求式中的是一次式,是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可运用均值不等式来解决. 当且仅当,即，时,等号成立 故的最大值

7、是. 评注本题也可将纳入根号内，即将所求式化为,先配系数，再运用均值不等式的变式 6、 换元（整体思想) 例6求函数的最大值 分析 可先令，进行换元,再使分子常数化,然后运用均值不等式来解决. 7、 逆用条件 例 已知,则的最小值是( ) .分析 直接运用均值不等式,只能求的最小值,而无法求的最小值.这时可逆用条件，即由,得,然后展开即可解决问题 评注 若已知 (或其她定值)，规定的最大值，则同样可运用此法. 、 巧组合 例8 若且,求的最小值 . 分析 初看,这是一种三元式的最值问题,无法运用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合,变成,而等于定值，于是就可以运用均值不等式了9、消元 例、设为正实数，,则的最小值是 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表达,即变为二元式，然后可运用均值不等式解决问题. 练习：1、试填写两个正整数,满足条件,且使这两个正整数的和最小。2、试分别求:; 最大值。3、求最小值。总之,运用均值不等式求最值的措施多样,并且变化多端，要掌握常用的变形技巧，掌握常用题型的求解措施，加强训练、多多体会，才干达到举一反三的目的。 1月2日