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1、线性代数重要知识点讲解1、行列式1. n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式;2. 代数余子式的性质： 、ij A和ij a的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;、 某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.代数余子式 和余子式的关系：（1）（1）i j i j ij ij ij ij M A A M +=-=-4,设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则（1）21（1）n n D D -=-；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则（1）22（1）n n D D -二-；将D主对角线翻转后（转
2、置），所得行列式为3D，则3D D =；将D主副角线翻转后,所得行列式为4D，则4D D =； 5,行列式的 重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积（1）2(1)n n -x -； 、上、下三角行列式(=、)：主对角元素的乘积；、了和 ，：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -x -；、拉普拉斯展开式：A O A C ABC B O B =、(1)m n C A O AA B B O B C=-、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnk n k k k E A S入入入-=-=+-,其k S为k阶主
3、子式；7. 证明0A二的方法： 、A A =-；、反证法； 、构造齐次方程组0Ax二,证明其有非零解；、利用秩，证明()r A n ；、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：00A N(是非奇异矩阵)；0()r A n =(是满秩矩阵)0A的行 (列)向量组线性无关；G齐次方程组0Ax =有非零解；0n b RV e,Ax b二总有唯一解； 5 与E等价；6可表示成若干个初等矩阵的乘积；5A的特征值全不为0； 5T A A是正定矩阵；5A的行(列)向量组是n R的一组基；5A是n R某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A ：*AA A A A E =无条件恒成立；3.1*111*(
4、)()()()()()T T T T A A A A A A =*111()()()T T TAB B A AB B A AB B A -=3. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代 数和；4. 关于分块矩阵的重要结论，其均A、B可逆：若12s A A A A J ) II = I IJ，则：I、12s A A A A =；II、11111s A A A A -( II I ;、1I i;(主对角分块)、111O A O B B O AO -I );（副对角分块）、11111A C A A CB O B O；（拉普拉斯）、1111=II-；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线
5、性方程组1. 一个m n x矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形 是唯一确定的:rm nEO F OO x| 1=I ）;等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若（）（）r A r B A B=0； 2.行最简形矩阵: 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1; 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(,)(,)rA E E X ，则 A 可逆，且 1X A -二； 、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为E时,B就变成1
6、A B -,即：1(,)(,)cA B E A B - ； 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax b二，如果 (,)(,)rA b E x ，则A可逆，且1x A b -二；4.初等矩阵和对角矩阵的 概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行 矩阵、右乘为初等列矩阵； 、/12n 1iII A= IJ入入入，左乘矩阵A ,i入乘A的各行元素;右乘，i入乘A的各列元素； 、对调两行或两列，符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -二,I I, 、倍乘某行或某列，符号()E i k ,且11()11()E i k E i k -二，例如：11
7、(0)11k k kJ (.II I=尹I I I山);、倍加某行或某列，符号()E ij k ,且1()()E ij k E ij k -二-,如：11111(0)11k k k - ) I II I I A5. 矩阵秩的基本性质： 、0()min(,)m n r A m n x WW； 、()()T r A r A =； 、若 A B ，则()()r A r B =; 、若 P、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ =；(可逆 矩阵不影响矩阵的秩)、max(),()(,)()()r A r B r A B r A r B WW+；(淤) 、()()()r A
8、B r A r B +W+；以) 、 ()min(),()r AB r A r B W；(淤)、如果A是m n x矩阵,B是n s x矩阵，且0AB二，则：(淤) I、B的列向量全部是齐次方程组0AX二解(转置运算后的结论)；II、（）（）r A r B n +W、若A、B均为n阶方阵，则()()()r AB r A r B n N+-；6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量) 的形式，再采用结合律； 、型如 101001a c bI lJ的矩阵:利用二项展开式;二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mn
9、nnnnn m a b C a C a b C a b Ca bC b C a b=+=+= ；注：1、()n a b +展开后有1n +项；II、0！1123!()!-+=- m n n n n n n n m n C C C m m n mIII、组合的性质：11112+-=+=Snmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵: 、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A . n r A r A n r A n = f IJi -1;、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X 入入入-=n =. , 、*1A A A -二、1*n A A8. 关于A矩阵秩的描述： 、()r A n =,A有n阶子式不为0,1n +阶子式全部为0；(两句话) 、()r A n ；（必要条件）
线性代数重要知识点讲解
