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1、第一周作业解答习题1.1(A)2. 设甲省两个城市a1,a2和乙省三个城市b1,b2,b3的交通路线如图1, 3. 乙省三个城市b1,b2,b3和丙省两个城市c1,c2,的交通路线如图2,4. 其中每条线上的数字表示联结该两城市的不同道路的总数.试用矩阵表示甲乙两省及乙丙两省间的通路信息.解 用aij表示联结ai与bj的不同道路的总数,则甲乙两省的通路信息可用矩阵 表示;用bij表示联结bi与cj的不同道路的总数,则乙丙两省的通路信息可用矩阵 表示.习题1.2(A) 1. 计算下列矩阵的乘积:解 2. 设矩阵求3AB-2A及ATB. 解 3. 已知A=PQ,其中求 A及A100.解 第二周作业
2、解答习题1.3(A)3. 设矩阵 求A4.解 习题1.4(A)3. 设A为反称矩阵，B是对称阵，试证：(1) A2是对称阵；(2) AB-BA是对称阵；(3) AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.证 (1) A2是对称阵.(2) AB-BA是对称阵. (3) 若AB是反称阵，则，有 AB=BA 若AB=BA，则，AB是反称阵，AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.第三周习题解答习题1.4(A)3. 设A为反称矩阵，B是对称阵，试证：(1) A2是对称阵；(2) AB-BA是对称阵；(3) AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.证 (1) A2是对称阵.(2) AB-BA是对称阵. (3
3、) 若AB是反称阵，则，有 AB=BA 若AB=BA，则，AB是反称阵，AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.习题1.5(A)1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵解 解 第五周习题解答习题2.1(A)1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式解 =-43. 求i出j与，使817i25j49成为奇排列。解 t(817325649)=7+0+5+1+0+1+1+0=15所以 817325649是奇排列，i=3, j=65. 在五阶行列式中，下列各均布项应取什么符号？ 解 (1) t(34215)=2+2+1+0=5，所以取负号；(2) t(34125)=2+2+0+0=4，所以取正号。第六周习题解答习题
4、2.2(A)1. 计算下列各行列式的值 解 2.证明证: 习题2.2(B)1. 计算下列各方阵的行列式解 第七周习题解答习题2.3(A)1. 计算下面4阶方阵的行列式的值解 按第一行展开2. 计算下列行列式 解 (加边法) 习题2.3(B)1. 计算下列方阵的行列式解 2. 用Laplace定理计算下列行列式 解 按第1,2行展开 存在问题:5. 按第1,4列展开,方法不简便.第八周习题解答习题3.1(A)3. 已知n阶方阵A满足A3=0，试证E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。证 A3=0，则(E-A)(E+A+A2)=E3-A3=E.(E+A+A2)(E-A)=E3-A3=E.所以
5、E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。第八周习题解答习题3.1(A)3. 已知n阶方阵A满足A3=0，试证E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。证 A3=0，则(E-A)(E+A+A2)=E3-A3=E.(E+A+A2)(E-A)=E3-A3=E.所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。第九周习题解答习题3.2(A)2(2). 解矩阵方程解 , 8. 设矩阵A满足AB=A+2B,且 求矩阵B.解 由AB=A+2B,得(A-2E)B=A, , 11.设P-1AP =L, 其中求A11.解习题3.3(A)5.求矩阵A的秩 解 (1)当a=-8,b=-2时,R(A)=2;(2)当
6、a=-8,b-2时,R(A)=3;(3)当a-8,b=-2时,R(A)=3;(4)当a-8,b-2时,R(A)=4;第十周习题解答习题4.1(A)2. 问l, m取何值时，齐次线性方程组 有非零解。 解 当l=1或m=0时,|A|=0, 齐次线性方程组有非零解。3. 问l取何值时，非齐次线性方程组 1)有惟一解；2)无解；3)有无穷多解。解当l1且l-2时,|A|0,方程组有惟一解.当l=-2时,R(A)=2,R(A,b)=3, 方程组无解;当l=1时,R(A)=R(A,b)=13, 方程组有无穷多解;另解 当l=1时, R(A)=R(A,b)=13, 方程组有无穷多解;当l1时,当l1,l-
7、2时, R(A)=R(A,b)=3, 方程组有惟一解;当l=-2时, R(A)=2,R(A,b)=3, 方程组无解;第十一周习题解答习题4.2(A)2. 设其中求a. 解 由得 4.设向量线性相关，求t的值。 解：线性相关，有非零解， 9. 设向量若向量组线性无关，证明向量组线性无关。 证 设，即 若向量组线性无关，则 所以向量组线性无关。第十二周习题解答习题4.3(A) 2.利用初等变换求下列矩阵的秩和行向量组的一个极大无关组(2) 解: 所以R(A)=3, 矩阵A的行向量组的一个极大无关组为3.求下列向量组的秩，并求一个极大无关组 解 所以向量组的秩是2,一个极大无关组为4.求向量组的秩和
8、一个极大无关组，并将该极大无关组以外的向量表成极大无关组的线性组合。解 所以向量组的秩是3,一个极大无关组为第十三周习题解答习题4.4(A) 1.求下列齐次线性方程组的基础解系,并写出通解(1) 解: 原方程可化为 令 5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知h1, h2, h3是它的三个解向量, 求该方程组的通解.解:四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,对应的齐次线性方程组的基础解系含4-3=1个解向量, 已知h1, h2, h3是非齐次线性方程组的三个解向量,可知对应的齐次线性方程组有解向量所以非齐次线性方程组的通解为 即 6.求解下列非齐次线性方程组,并写出它的一个解及对应
9、的齐次线性方程组的基础解系解 增广矩阵原方程组可化为 令 它的一个解是 对应的齐次线性方程组的基础解系是 第十四周习题解答习题5.1(A)3.设(x)是一个首项系数为1的多项式,并已知它的根为0,-1,1( 二重),试求(x)按降幂排列的表达式.解: 习题5.2(A)1. 在实数域上,求下列矩阵的特征值与特征向量, 解:1) 得A的特征值为l1=2，l2=-2， 对l1=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0得基础解系 所以,矩阵A对应于l1=2的全部特征向量是是不同时为零的任意常数. 对l2=-2，解齐次线性方程组(-2E-A)x=0得基础解系 所以,矩阵A对应于l2=-2的全部特征向量是是
10、不为零的任意常数.3)得A的特征值为l=4， 对l=4，解齐次线性方程组(4E-A)x=0得基础解系 所以,矩阵A对应于l=4的全部特征向量是是不为零的任意常数. 3.证明：A与AT的特征多项式相同，从而特征值完全相同。证: ，即A与AT的特征多项式相同，从而特征值完全相同。8.已知向量是矩阵对应于特征值l的特征向量，试求a和的l值。解: 由得第十五周习题解答习题5.3(A)2.证明:相似矩阵的迹相同.证: 设矩阵A与B相似,依性质6知A与B有相同的特征多项式,故有相同的迹.4.设 , 利用A的相似于对角矩阵来求A10. 解: 得A的特征值为l1=1，l2=2，对l1=1，解齐次线性方程组(E
11、-A)x=0得基础解系 对l2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0得基础解系 令 则 6.设B=P-1AP证明：若a是方阵A对应于l0的特征向量，则P-1a是方阵B对应于l0的特征向量.证: 若a是方阵A对应于l0的特征向量，则Aa=l0a,由B=P-1AP得BP-1a=(P-1AP)P-1a=P-1(Aa)=P-1(l0a)=l0(P-1a)所以P-1a是方阵B对应于l0的特征向量.第十六周习题解答习题5.4(A)5.求齐次线性方程组 的单位正交基础解系.解:令得得齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的单位正交基础解系为 8.证明:若A,B都是n阶正交矩阵,则AB也为正交矩阵.证: 若
12、A,B都是n阶正交矩阵,则A-1=AT, B-1=BT,(AB)-1=B-1A-1=BTAT=(AB)T,故AB也为正交矩阵.9.证明：正交矩阵的行列式值只能为1或-1.证: 设矩阵A为正交矩阵，则故 第十七周习题解答习题6.1(A)1.写出下列二次型的矩阵解: 1)二次型的矩阵 2)二次型的矩阵 3)二次型的矩阵 5.证明:实对称矩阵A,B,如果AB,则AB.证: 实n阶对称矩阵A,B,如果AB,则矩阵A,B有相同的特征值: 依定理5.3,存在n阶正交矩阵Q1,Q2,使 即AL. BL.故AB.第十八周习题解答习题6.4(A)2.判断下列实二次型是否正定解: 1)二次型的矩阵 故二次型非正定.2)二次型的矩阵故二次型正定.3)二次型的矩阵 故二次型正定.3.设有实二次型 , 试确定实数a的取值范围,使相应的二次型正定. 解: 二次型的矩阵 故当时, 二次型正定.
线性代数_课后答案(戴天时_陈殿友_著)_吉林大学数学学院32532
