数值计算方法试题及答案

《数值计算方法试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法试题及答案（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数值计算方法试题一、填空题(每空1分，共17分)1、 如果用二分法求方程 启+ x-4 = 0在区间1，2内的根精确到三位小数，需对分 ()次。2、迭代格式七+1 =、+以( - 2)局部收敛的充分条件是a取值在()。X 30 X 1S (x) = 1(x 一 1)3 + a(x 一 1)2 + b(x 一 1) + c 1 x r -H- p- .1_. Tb 士 七k g； i7itr4、o刀刀,/ 是以整数点o，1， ，n为节点的Lagrange插值基函数，贝9l (x) = Y x l (x ) =X (x4 + x2 + 3)l (x)=k=0 k ( )，k=0 kj k ()，当

2、心2 时 k=ok k k ()。沪 f (x)= 6x7 + 2x 4 +3x 2+1夭n 挡占 x = k /2, k = 0,1,2, A ,则f x, x, A, x =5、攻 和节点k则 01 n和 A7 f0 =。6、 5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数 精度为。7、 k (x)!=0是区间0,1上权函数P (x) = 的最高项系数为1的正交多项式族，其中中 0( x)=】，则卿 4(x* =。rtx - ax = b8、给定方程组一ax1+ x2 = b2，a为实数，当a满足，且0 2时，SORy0 = y + hf (x , y )h 一一

3、.=y +； f (x , y ) + f (x , y0)n 2 n nn+1 n+1迭代法收敛。 = f (x, y)J9、解初值问题I y(x0)= y0的改进欧拉法y“+1阶方法。A = 0 1 a)时，必有分解式A = LLT，其中L为下三)条件时，这种分解是唯一的。10、设La a 1J，当a e(角阵，当其对角线元素4 (i = 1,2,3)满足(、选择题(每题2分)1、解方程组Ax = b的简单迭代格式x(k+1) = Bx(k) + g收敛的充要条件是()。(1) P (A) 1,(2) P (B) 1, P (B) 12、 在牛顿-柯特斯求积公式：f(x)dx (b a)0

4、/f 中，当系数C是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。心8，心7， 心10，(4)心63、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次； （3）四次；（4）五次h h若用二阶中点公式求解初值问题y = y + hf 3 + 天，y + f 3 , y )n+1 nn 2 n 4 n ny = 2y，y（0） = L试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（）。(1)0 h 2, (2)0 h 2, (3)0 h 2, (4)0 h 0)的迭代公式为:1

5、 aXk = -(x + )x0 0 k = 0,1,2A证明：对一切k = 1,2，A，Xk -，且序列k 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。f3f (X)dX 注 3f (1) + f (2)六、(9分)数值求积公式02是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、(9分)设线性代数方程组AX = b中系数矩阵A非奇异，X为精确解，b。0，若向量X是AX = b的一个近似解，残向量r = b - AX，证明估计式：曰 cond (A) HXb (假定所用矩阵范数与向量范数相容)。八、(10分)设函数f (x)在区间”,3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值

6、多项式H(x)，并导出其余项。i012Xi012f (xi)-113fxi)3九、（9 分）设n 3）是区间”,:上关于权函数巧3）的直交多项式序列， 七（，=1,2, A , , n + D 为.，勺零点，1 （= 1,2,A , n, + 1）是以为基点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数，J bf (x) w(x)dx 四 A f (x )ak =1 为高斯型求积公式，证明:（1）（2）Z1A 甲(x 帅(x ) = 0(D 当0 k, j n,k。j 时 i k i j iJ bl (x)l. (x)w(x)dx = 0(k 丰 j)习 J bl 2( x) w( x)dx = J

7、 bw( x )dxa kak=1，i =1(3)十、(选做题8分)奖 f (x) = w(x) = (x 一 x )(x 一 x )A (x 一 x )若n+1x (i = 0,1,A , n)互异01求/x0,x1,A ,xpJ 的值，其中p n+1数值计算方法试题三一、（24分）填空题iB i（2分）改变函数f=5 +1 x （x 】）的形式，使计算结果较精确（2）（2分）若用二分法求方程f G）= 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。(3)(4)a=f G)=(2分)设气2+ jx1 ，业)=严，0x1(3分)设x3+ax2+ bx + G 1 x 2是3次样条函

8、数，则,b=, c=o1J 1exdx（5）（3分）若用复化梯形公式计算0式估计，至少用 个求积节点。，要求误差不超过10一6，利用余项公x1 +1.6 x2 = 1（6）（6分）写出求解方程组1一 4x1 + % = 2的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收 o(5 4(7)(8)稳定， 二.(64 分)（4分）设Cond (A )=（2分）若用Euler法求解初值问题V= 一10二 面）=1则步长h的取值范围为.，为保证算法的绝对（6分）写出求方程4尤=cosG）+1在区间也1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 （2）（12分）以100,121,144为插值节点

9、，用插值法计算5的近似值，并利用余项估计误差。（3） （3）（10分）求f I）=在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。I = j 旻 dx（4）（10分）用复化Simpson公式计算积分0 x 的近似值，要求误差限为.5 x10-5。x + 4 x + 2 x=24123I 3 x2 x1+ x + 5 x23+ 6 x + x23=34=27(1 3(5 (x )51 21 = 2（8分）求方程组k1 1Jk x Ji 21UJ（5）（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:（7）（8分）已知常微分方程的初值问题:的最小二乘解。dy/dx = x y, 1 x 1.2 y(1) = 2

10、用改进的Euler方法计算y（12）的近似值，取步长h = 0-2。三.（12分，在下列5个题中至多选做3个题）（1） （1）（6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足：pG）=15 p G）= 20 p G）= 30 p（2）= 57 p（2）= 72（2） （2）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:f G)1A =（3）（6分）用幂法求矩阵I1 1 的模最大的特征值及其相应的单位特征向 量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值 为。(4)(6分)推导求解常微分方程初值问题y (x)= f (x, y(x), a x b,

11、ya)= y 0的形式为y = y + h(P f +P f ) i+1i 0 i 1 i-1 ,i=1,2,N八 _x/士 -+4-寸,士 i-?t- 口 曰-+4-, t, f = f (x , y ) x = a + ih .八的公式，使其精度尽量高，其中J i J i 七，i,i=0,1,N,h =(b - a )； N(5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题| j+p(x)y+q(x)y + r(x)= 0, a x b y (a )= 0,y (b )= 0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题三一、（24分）填空题（2分）改变函数f=5 +1-5 （x 】）的形式

12、，使计算结果较精确（10） （2）（2分）若用二分法求方程f板）=0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小(11)(12)(3)（2分）设气I xx )1 2 /，则 f(x )=sG)=2x3, 0x1(3分)设x3+ax2+ bx + c, 1 x 2是3次样条函数，则a=, b=, c=o数，则需要对分次。（13）（5）（3分）若用复化梯形公式计算0 edX，要求误差不超过10-6，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。x +1.6 x = 1（14）（6）（6分）写出求解方程组I- .4x1 + % = 2的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收 o(5 4、(1

13、5) (7)(16) (8)稳定，二.(64 分)(4分)设Cond (A )=(2分)若用Euler法求解初值问题V= 一10弘 而)=】则步长h的取值范围为.，为保证算法的绝对(6分)写出求方程4x = cosG)+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 (2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算5的近似值，并利用余项估计误差。(10) (3)(10分)求f I= eX在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。I = 1 旻 dx(11) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分 0 x的近似值，要求误(12)(13)(14)x + 4 x + 2

14、 x=24123I 3 x2 x1+ x + 5 x23+ 6 x + x23=34=27f1 3f 5、 f x、51 21 = 2(8分)求方程组k1 1Jk x Ji 21UJ(5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:(7)(8分)已知常微分方程的初值问题:的最小二乘解。dy/dx = %/ y, 1 x 1.2 y(1) = 2用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h = 0-2。三.(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(6) (1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：pG)=15 p G)= 20 p G)= 30 p(2)= 57 p(2)=

15、72(7) (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:f G)1A =（3）（6分）用幂法求矩阵量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值 为。I1 1 的模最大的特征值及其相应的单位特征向(4)(6分)推导求解常微分方程初值问题y，(x )= f (x, y (x) a x b, ya)= y 0y = y + h(P f +P f ) 的形式为i+1i 0 i 1 i-1 ,i=1,2,N八 _x/士 -+4-寸,士 i-?t- 口 曰-+4-, t, f = f x , y ） x = a +1 h .八的公式，使其精度尽量高

16、，其中七J广七，i, i=0,1,N,h = (b - a )； N(10)(5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题|y+p(x)y+q(x)y + r(x)= 0, a x b所得到的三对角线性方程组。一、填空题1、(10)数值计算方法试题一答案（每空1分，共17分）（-号,0）（。2 22、4、(1 )、()、(X 4 + x 2 + 3)3、a =( 3 )，b =( 3 )，c =( 17X6 = 945,4 = 236.255、6 、 276、7、* %、二8、（每题2分）2、 （1）、1、（ 8 分）解： = span1,x210、选择题1、 （2）3、 （1）At =

17、1110、(）、（4、 （3）192252312 382yT= 119.0 32.349.073.3解方程组At AC = ATyAt A =其中C =解得：33910.92555770.050102533913529603虬f =2、（ 15 分）解：所以b 一 a12ATy =173.6179980.7b = 0.0501025a = 0.9255577，”111h2 f0 ) x x e0 =一 = 0.00130212 82768y (a )= 0,y G )= 0T(8) = h f (a) + / f 3 ) + f (b)2化k=1=_L1 + 2 X (0.8824969 +

18、0.7788008 + 0.60653066+ 0.5352614 + 0.47236655 + 0.41686207) + 0.36787947=0.6329434,1_2中，(x)= 33 +1)3 ，(1.5) = 0.18 1四、1、（15分）解:故收敛;(1)3,中(x)= 一(2)(3)1-12 x 2 ：1 + x ,虹(1.5)| = 0.17 1，故发散。选择(1)： X0 = 1.5 , X = 1.3572, X = 1.3309 , X3 = 1.3259 , x = 1.3249 x5 = 1.32476x 6 = 1.32472Steffensen 迭代:xk+1=

19、x 一(甲(X- X/k 甲(甲(xk) 2甲(xk) + Xk=x (3 xk + 1 - xk)2k耻寻n+1 一 2；x+i+1计算结果:x = 1.5x1 = 1.324899，x2 = 1.324718有加速效果。2、（8分）解：Jacobi迭代法:X(k+1) = 1 (24 一 3X(k)142X(k+1) = 4 (30 一 3X(k) + X(k)X (k+1)=上(一24 + X (k)342k = 0,1,2,3, AGauss-Seidel 迭代法:=-(24 一 3x (k)42X (k+1)1X(k+1) = 4 (30 一 3x(k+1) + x(k)X (k+1

20、) = 4 (一24 + X( k+1)k = 0,1,2,3,A0 -必0BjD N + U)=-为 0%0必0，P (%)或*)= 0-7905694 CX(k+1) = (1 一)X(k) + (24 - 3x(k) 1142X(k+1) = (1 一)X(k) + (30 一 3x(k+1) + x(k)x(k+1) = (1 )x(k)+ (24 + x(k+1)SOR迭代法:k = 0,1,2,3,A五、1、(15分)解：改进的欧拉法：% =七 + hf (x疽 yn) = 9 yn + 0.1y = y + h f (x , y ) + f (x , y() = 0.905y +

21、 0.095n+1nJ n nn+1 n+1n所以 y(0.1) = y1 =1 ；经典的四阶龙格一库塔法：h、,=y + gk + 2k + 2k + k 七=f (x, y) hn nh=f (xn + 2, yn + 2 k1)hhk 3 = f (xn +2, yn +2 k 2)k = f (x + h, y + hk )y n+12、(8分)解：设H3(x)为满足条件3p(x) = H (x) + k(x x )2 (x x )2 301k = f (x2) - H 3( x2)(x x )2(x x )2 六、(下列2题任选一题，4分)21k = k = k = k = 0H 3

22、(x,) = f (x,)H:(x)= f (x) = 0,1 的 Hermite 插值多项式，代入条件P(x2)= f (%)得：，所以 y(0-1) = y1 = 11、解：将f (x) = L x, x 2, x 3分布代入公式得:A =旦,B = , B = , D =20203020H 3(x,) = f (x,)构造Hermite插值多项式3 *潇 lH(x ) = f (x ) i = 0,1 甘出 x = 0, x = 1。f (4)(E ),f H 3(x) = -7T x 2(x1)2满足-3 ii其中01则有 j1 xH (x)dx = S(x)R(x) = j1 x f

23、 (x) S(x)dx = j1 f (提 x3(x 1)2 dx 004!f (4)(n) f1f (4)(n)f (4)(n)=1 x3(x 1)2dx = 耳！ 60 = 14402、解：. h 2 . h 3 .R = y(x ) y = y(x ) + hy (x ) + 彳 y (x ) + 项 y (x ) +A n ,hn+1n+1nn 2! n 3! nh2h3一以 y (x )一以(y (x ) hy (x ) + 项 y (x )项 y (x ) +A) 0 n 1 nn 2! n 3! nh2h3hy (x ) + (1 )(y (x ) hy (x ) + 顼 y (

24、x )项 y(4) (x ) +A nn n 2! n 3! n=(1a ay(x ) + h(1 1 + ay(x )22+ h2(；与 +1 )y(x ) + h3(i + )y(x ) + O(h4) 662 n所以1 以一以=001以=01 幻 +1-0= 012 25 h3 y”(x )a 0 =1 气=0 0 2主项：12该方法是二阶的。一、判断题:1、（ X7、（ X二、填空题:（共10分）2、（）8、（共10分数值计算方法试题二答案每小题2分）V ）3、（ X ） 4、（ V ）5、（ X ）6、（ V ）X）每小题2分）1、9 x 8!、02、7、0三、简答题：（15分）解：

25、迭代函数为心 =ln（4-x）/ln2111x0k +1 = (1 + ) (1 + 1) = 1又xk 2x22所以*从而迭代过程收敛。x x a = y! a k = 0,1,2Ak+1-xk，即序列J是单调递减有下界，所以，其代数精确度为3。“、p(x) = 2 X f (1) + 1 x f (2)六、解：是。因为f (x)在基点1、2处的插值多项式为 1-22 -13J 3P(x)dx = -f + f 02。其代数精度为1。七、证明：由题意知：AX = b,AX = b rX - X A-1 |r|wXl|b|A(X - X) = r n X - X = A-1r nAX = b

26、n 同=IAXI IIAIXIIAll=cond(A)- bA AA-1又所以八、解：设 H (x) = N 2(x) + ax( x -1)( x - 2)1N 2( x) = f (0) + f 0,1( x - 0) + f 0,1,2( x - 0)( x -1) = 1 - 2 x -护-0)( x -1)1H (x) = 1 2 x x( x 1) + ax( x 1)( x 2) 所以21 a =由 H(0) = 3 得：a 4、15-H (x) = x 3 - x 2 + 3x 一 1所以 44令R(x) = f (x) - H(x)，作辅助函数 g(t) = f (t) 一

27、H(t) 一 k(x)t2 (t 一1)(t 一 2) 则g (t)在0,3上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：=x,0,1，2 反复利用罗尔定理可得：=巳！，(。g(4)(提=0)，- f (4)(；),-所以R =f -H =k(x) x 2 (x -1)( x - 2) = x 冷 T)(x - 2)Jh f (x)w(x用 乏 A f (X )九、证明：形如ak=1入 入的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精度2n+1次，它对f(x)取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立习 A 甲(x 帅(x ) = b 甲(x)甲(x)w(x)dx =01)i k ： i a k ji

28、 =12)3)10 i 丰 j l-(x j)= .因为li(x)是n次多项式，且有U i =，Jbl (x)l (x)w(x)dx = n+1 A l (x )l (x ) = 0 所以 a k ji=1 ik j (m j)取f=/?(x)，代入求积公式：因为矽是2n次多项式，Jbl (x)w(x)dx = n+1 A l (x )2 = Aij i jiaj=1艺Ak时x) dxk=1所以习 J bl 2 (x) w(x) dx = akk=1故结论成立。十、解：f (x) n 二i= 0 p ni=0 H (xl )j=0件if X , x ,A , x =01n+1f (n+1)(提

29、1=1(n +1)!数值计算方法试题三答案一.(24 分)f G)=(2分)1气 x +1 + t x (2) (2 分)10(2分)(2 x1I x2(3 分)3 -31 (5) (3 分)477(6) (6 分)x G+1) = 1 -1.6 x G)12 , k = 0,1,Ax (k+1) = 2 + 0.4 x (k+1)210.64 ；收敛(4 分)991(8) (2 分)h0.2二.(64 分)x =* )= 411 + cosG )n=0,1,2，b (x) = sin4.对任意的初值x0 G 0,1,迭代公式都收敛。(2) (12分)用Newton插值方法：差分表:=10.7

30、2275551001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136气115 浇 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)R = f ：)(115 -100)115 121)115 -144)1 35 / 11/ 12、板 ),b )l21221 1c11人c )、.22=f,b1 )1(b ,b)=j1 dxV J ,11 c,b2)= J1 x2dx = 3(f,b )= J1exp(x)dx = e 1(f,b )= J1 xexp( x)dx = 1(0.87311k 1.690 /b(

31、x )= 0.8731 +1.690xb G)= 4e -10 + (18 - 6。)x =0.873127+1.69031x(10分)S = 6 k f (0)+ 4 f 2 + f G) = 0.94614588f G)=0.94608693,1 , |/-七| f|S2S如393*10-5I 邳2 = 0.94608693f G)_ sin(x)_ 1 x2 + x4 x6 + x8 A或利用余项：x 3!5!7!9!f(4) (x)_ 1x2x4+-A5 7 x 2! 9 x 4!圆Ml仆顽、罚5x 10-5,(10分)3.0000 1.0000 5.0000 34.00000.000

32、0 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.33334.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.33334.33330.0000 0.0000 1.93759.6875x _(2.0000,3.0000,5.0000(6) (8 分)(atA)x _ ATb , k6 若用Householder变换，则：6 丫 x114人x八2r 8 20k3j，1.3333)k 2.0000 jr-1.73205(a, b)T0-3.46410 4.61880、-0.36603 -1.52073-1.36603 -

33、 2.52073/-1.73205- 3.46410-4.618801.414212.828430.81650 j最小二乘解:(-1.33333，2.00000)T(8分)_ f。o, *)_ 0.5k2_ f R, * + hk)= 1.1,(2 + 0.2 x 0.5)_ 0.5238095y _ y + h(k + k )_ 2 + 0.1 x(0.5 + 0.5238095)_ 2.107142910212三.(12分)(1)差分表:151515202057574272152230p(x )=15 + 20。1)+15。 1* + 7。-1)3 +。一仓(x - 2)=5 + 4 x

34、+ 3x 2 + 2 x 3 + x 4其他方法.设 P(x )= 15 + 20 (x 1)+ 15(x 1)2 +(x 1) (ax + b)令 p(2)= 57 p (2)= 72，求出a和b(2)取f(x)=1,x，令公式准确成立，得:+ a = 1 1 a + a = 1 a12，2 0130f(x)=x2 时，公式左右=1/4； f(x)=x3 时， .公式的代数精度=2公式左=1/5,公式右=5/24(0.9950、u = Av1(u , V1)=10.0010.09950；u = Av21 0.05u = Av32(10.05、(1.102 ),=(u , V )= 10.11

35、032(0.9940、10.1090J12)气3)| = 0.002 0.05(0.9940、10.1090)局部截断误差=-i+1- i+1=y (x )+ hy (x)+ 号 y (x)+ Oh3)-L(x )+ P hy (x )+ P hy (x )一。h 2 y=(1 -P -P 匾(x )+f 1 + 01i- I 2i 1一、P1 h2 y G )顼妃3MlG )+ O C 3)i令1-P 0-P1 = 0P1y 计算公式为i+1i=0,1,2,h 3 y (x )+ O (4)(局部截断误差二12=a + ihp = p (x ) qq (x ) r = r (x )y (x

36、)./ i ,i=0.N土(yi-1 一 2yi + yi+1)+p 1 (y2h 1+1-yi-1)+qy=-ri, i=1.N-1(h 、一一 .1 2 p y + 12 + h2 q y+ 1 + pi-1yi+1=一 h 2 rL i=1.N-1 (1)(2)- 3y0 + 4y1 - y2 = 0，与(1)取i=1的方程联立消去y2得 (-2 一 2p )y + G + h2q + 2hp * = -h2 r1111yN = 0，与(1)取i=N-1的方程联立消去yN得2 + h 2 q)y=一 h 2 rN-1(3)所求三对角方程组：方程(2)，方程组(1)(i=1.N-2)，方程(3)（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。dy1=y +1 dx3、区间以上的三次样条插值函数在以上具有直到 阶的连续导数。A = f7 -21 x2f (x)=+A + (1) n-12! 4!