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1、第一节 特征函数 一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布 . 本 节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有 良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具 . 关于复数的回顾 复数的一般式： z a ib 22 2 2 2 2 ()aba i b a b i a b a b 取角 , 使得 cos 22 ,aab 22si n bab 则 ( c os sin )z a ib r i 其中 22r a b为复数 z的模长。 复数的三角形式 在三角形式下，令 1 1 1 1( c os si n ) ,z r i2 2 2 2( c os si n )z r i 我们有 1 2 1
2、2 1 2 1 2( c os( ) sin( ) ) ,z z r r i 11 1 2 1 2 22 ( c o s( ) sin ( ) ) ,zr izr 复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当 大的优势。 如考虑 2010 2010 (1 3 ) ? ( 3 ) i i 欧拉公式： 对于任何实数 ，记 c o s s iniei 则复数的乘除法运算变成 1 2 1 2()1 2 1 2 1 2i i iz z r e r e r r e 1 12 2 ()1 1 1 2 2 2 i i i z r e r e z r e r 把指数函数推广到 复变量的情形 ( c o s s i
3、n )a b i ae e b i b 一、定义 定义 1 设 、 为实值随机变量，称 = + i为 复随机变量 ，这里 ,12 i 称 为 的数学期望 . 复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和 性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如 E 具有与实数 学期望类似的性质 . 定义 2 设 为实随机变量，称 itEetf )( 为 的 特征函数 ，这里 t是任意实数 . 1. 若 为离散型， ,2,1,)( npxP nn 则 nitx n n eptf 1 )( 2. 若 为连续型，其密度为 p (x)，则 dxexptf itx )()( 它就是函数 p(x)的傅里叶变换 . 特
4、征函数的计算 二、常见分布的特征函数 例 1 退化 (单点 )分布 P(= c) =1的特征函数 f (t) = icte 例 2 二项分布 B (n, p) 的特征函数 nit qpetf )( 例 3 泊松分布 P()的特征函数 )1()( iteetf 例 4 均匀分布 U a, b 的特征函数 () () itb itaee ft b a it 特别地 n=1时 , 01分布的特征函数为 qpetf it )( 例 5 正态分布 ),( 2N 的特征函数 2 22 )( ttietf 例 6 指数分布 )(Exp 的特征函数 ittf 1 1)( 特别地 ,标准正态分布的特征函数为 2
5、2)( tetf 三、性质 性质 1 )()( tftf 1)0()( ftf 性质 2 性质 3 设 = a+b, a,b是任意常数，则 )()( atfetf i b t 性质 4 若 1 2, , , n 相互独立 , 1 2 ni， 的特征函数为 f t i ( ) ，则 )()()()( 21 tftftftf n 这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用 . 性质 5 若 nE 存在， 则 f (t) 是 n次可微的，且当 kn时 kkk Eif )0()( 利用特征函数的性质 , 我们很容易求得伽玛分布 和 )(n2 的特征函数 . 伽玛分布 ittf 1)( ),( Ga )
6、,( Ga )(n2 分布 221)( nittf 性质 6(一致连续性定理 ) 任何特征函数 f (t)在 (, ) 上均一致连续 . 性质 7 f(t) 是非负定的： 对任意正整数 n及任意实数 t t t n1 2, , , ， 复数 1 , , n ，有 0 这个性质是特征函数的最本质属性之一 . 事实上，我们有如下的 波赫纳尔 辛钦 (Bochner-Khinchine)定理 函数 f (t ) 为 特征函数的充要条件是 f (t ) 非负定，连续且 f (0) =1. 四、逆转公式与唯一性定理 定理 1（ 逆转公式 ） 设分布函数 F(x)的特征函数为 f (t)，又 x x1 2
7、, 是 F(x)的两个连续点，则 )()( 12 xFxF 121 l im ( )2 itx itxT TT ee f t dt it 分布函数可由特征函数唯一确定 定理 2 (唯一性定理 ) 定理 3 (逆傅里叶变换 ) 设 f (t)是特征函数，且 | ( )|f t dt 则分布函数 F(x)的导数存在且连续，此时 dttfexF itx )(2 1)( 对应的随机变量 必为连续型 例 7 求证 f (t) = cost是某随机变量的特征函数 . 并求出它的 . 分布函数 f (t) = cost 解 2 1 )( itit ee = itit ee 2 1 2 1 这是分布列为 2/
8、12/1 11 的随机变量的特征函数 . = 一般，若能把 f (t)写成 tix n nea 的形式，其中 ,0na ,1 1 n na 则 f (t)是特征函数，它的分布列为 ,2,1,)( naxP nn 关于分布函数的可加性 特征函数有很多重要的应用 . 比如 , 用它来讨论分布函数 的可加性将非常方便 . 回忆 : 所谓 可加性 ，是指若 与 相互独立，服从同一 类型分布，则其和 +也服从该类分布，且其分布中 的参数是 与 的相应参数之和 . 可加性也称 再生性 . 例 8 设 X和 Y分别服从参数为 的泊松分布 , 且二者独立 21 和 试证 X+Y服从参数为 的泊松分布 . 21 X+Y服从参数为 的泊松分布 . 大家试着利用特征函数来说明一下表 4.1.1中还有那些分布 具有可加性 ? 证明 : 由泊松分布的特征函数知 ,)( )1(1 iteX etf )1(2)( iteY etf 又 X与 Y相互独立 ,由性质 4知 )()()( tftftf YXYX )1()1( 11 itit ee ee )1)( 21 itee 将结果与泊松分布的特征函数比较并结合唯一性定理即知 , 21 参数为 的泊 松分布的特征函数 21
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