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1、第 3节 概率的公理化定义及其性质 定义 3.1 设 E为随机试验 , 是它的 样本空间 ， F 是 的一些子集所组成的集合族 。 如果 F满足如下 条件： 则称集类 F为 s-代数 ，称 F中的元素为 事件 ， 为 必然事件，空集 f为不可能事件， ( , F)为 可测 空间 . 柯尔莫哥洛夫 , 1933年 前苏联著名数学家，现代概率论开创者 ,FA,i,FA ;FA,FA ;F i ii 1 21 3 2 1 则若 则若 例 1. F=f, 为 s-代数，这是最小的为 s-代数 . 例 2.设 A 为任意集合，则 F=f, A , ,为 s-代数 . 例 3.设 为任意有限集 ,则 F=
2、2=的子集 为 s-代数 . 例 4.设 为任意的集合 ,则 F=2=的子集 为 s-代数 . 例 5.设 为实数限集 , 如果 F是由所有的有界 半闭区间 生成 的 为 s-代数 .则称 F为 Borel s-代数， F 中的元素叫做 Borel 集 . ba,b,a 可测空间 ( , F)具有以下性质 .FA - B,FB,A ;FA,n,i,FA FA,i,FA ;F n i ii i ii 4 21 3 21 2 1 1 1 则 则若 ；则若 f 证明从略 定义 3.2 设 ( ， F)是一个可测空间 ， 对每一集 A F，定义实值 集函数 P(A)，若它满足如下三 个条件： (1)非
3、负性条件 ：对每一集 A F,都有 0 P(A)1; (2)规范性条件 ： P( )=1; (3)可列可加性条件 : 设 Ai F, i=1,2, 而且 AiAj=, ij, i, j=1, 2, ,有 则称 集合函数 P()为 ( ， F)上的 概率 ， P(A)为事 件 A的 概率 ， ( ,F,P )为一个 概率空间 . 11 )()( i i i i APAP 性质 1. P()=0. 概率的性质 11 )()()( i i i i APAPP 于是由 可列可加性 得 又由 P()0 得 , P()=0 证明 :设 An=(n=1,2, ),则 , 1i iA f ji AAji 有,
4、且对于 1 )( i P 证明 令 An+1=An+2= =,则由可列可加性 及 P()=0得 1111 i i nj n i i n i i APAPAP 111 )()()( nj n i i i i PAPAP 11 0)( nj n i iAP n i iAP 1 )( n i i n i i n APAP AAA 11 21 )()( , , )( 则是两两不相容的 若有限事件有限可加性性质 2. 即 性质 3. 对于任一事件 A,有 )(1)( APAP )AP(P ( A )AP ( AP )(1 P ( A)AP( 1 证明 因为 AA AA且 ， 因此有 证明 由 A B知
5、B=A( B-A),且 A(B-A)=, 性质 4 设 A,B是两个事件 ,若 A B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A) 推论 若 A B，则 P(B) P(A) 证明 由 P(B)=P(A)+P(B-A)和 P(B-A)0 知 P(B)P( A) 因此由概率的有限可加性得 P(B)=P(A)+P(B-A) 从而有 P(B-A)=P(B)-P(A) 证明 因为 A-B=A-AB,且 AB A 故 推论 对于任意两事件 A,B，有 P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) 性质 5 对于任意两事件 A,B，有 P(A B)= P(A)+P(B)
6、-P(AB) 上式称为概率的 加法公式 . 证明 因 A B=A( B-AB)且 A(B-AB)=,ABB 故 P(A B)= P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB) ).()1(.)( )()()( 21 1 1 111 n n nkji kji nji ji n i ii n i AAAPAAAP AAPAPAP 概率的加法公式可推广到多个事件的情况 . 设 A,B,C是任意三个事件，则有 P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(BC)-P(CA) +P(ABC) 一般地 ,对于任意 n个事件 A1,A2,A n,有 多除少补原理 性质 6 (概
7、率的连续性 ) 设 Ai F, i=1,2, 而且 则有 ,AAlim,AA i inn f 121 0 nnnn Al i mPAPl i m 证明从略 推论 设 Ai F, i=1,2, 而且 则有 ,AAAlim,AA i inn 121 APAlimPAPlim nnnn 证明 设 Bi = Ai A， 对 Bi 应用性质 5即可 . 定理 3.1 设 P为可测空间 ( , F)上的非负实值集 函数，且 P( )=1,则具有 可列可加性 的充要条件是 (1) P是 有限可加的 ； 证明从略 (2) P是 连续的 . 例 1 设 ( ,F,P )为一个 概率空间 . A ,B F ， 且 AB=，求证 P( ) P(B). 证明 因 AB=，由非负性和有限可加性，得 1 P(A+B)=P(A)+P(B) 故 P( ) =1-P(A) P(B). 解 )AB(PP ( B )A)P ( B ，当， ，当， ，当， 818121 3121 021 /)AB(P/ BA/ AB/ .)AB(P ,/P ( A B )(;BA)(;BA)( ,/)B(P,/)A(P 之值分别求 互不相容与 试就下述三种情况设 81 3 2 1 21 31 例 2 ./)AB(P/ BA/ AB/ 8183 61 21 当， ，当， ，当， 作业： P27， T16,17.
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