中考数学总复习 专题七 数学思想方法课件.ppt

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1、专题七 数学思想方法 浙江专用 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识 ， 是解决数学问题 的根本策略数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质 ， 是沟通基础知识与能力 的桥梁 ， 是数学知识的重要组成部分数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽 象和概括 ， 它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中 抓住数学思想方法 ， 善于迅速调用数学思想方法 ， 更是提高解题能力根本之所在 因此 ， 在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和 方法 ， 培养用数学思想方法解决问题的意识 数学思想方法是数学的精髓 ， 是读书由厚到薄的升华 ， 在复习中一定要注重培养 在

2、解题中提炼数学思想的习惯 ， 中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思 想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等 解题方法 1 整体思想 ：整体是与局部对应的 ， 按常规不容易求某一个 (或多个 )未知量 时 ， 可打破常规 ， 根据题目的结构特征 ， 把一组数或一个代数式看作一个整体 ， 从而使问题得到解决 2 转化思想 ：在研究数学问题时 ， 我们通常是将未知问题转化为已知的问题 ， 将复杂的问题转化为简单的问题 ， 将抽象的问题转化为具体的问题 ， 将实际问 题转化为数学问题 3 分类讨论思想 ：体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法分 类的原则：分类中的每一部分是相

3、互独立的；一次分类按一个标准；分类 讨论应逐级进行正确的分类必须是周全的 ， 既不重复 ， 也不遗漏 4 方程思想 ：用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式 、 定理中的已知 结论构造方程 (组 ) 这种思想在代数 、 几何及生活实际中有着广泛的应用 5 函数思想 ：用运动和变化的观点 ， 集合与对应的思想 ， 去分析和研究数学 问题中的数量关系 ， 建立函数关系或构造函数 ， 运用函数的图象和性质去分析问 题 、 转化问题 ， 从而使问题获得解决 运用函数思想要善于抓住事物在运动过程 中那些保持不变的规律和性质 6 数形结合思想 ：从几何直观的角度 ， 利用几何图形的性质研究数量关系 ，

4、寻求代数问题的解决方法 (以形助数 )， 或利用数量关系来研究几何图形的性质 ， 解决几何问题 (以数助形 ) 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来 ， 使问题得以解决 1 (2016雅安 )已知 a2 3a 1， 则代数式 2a2 6a 1的值为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 B 2 ( 2016 黔南州 ) 王杰同学在解决问题 “ 已知 A 、 B 两点的坐标为 A(3 ， 2) 、 B(6 ， 5) 求直线 AB 关于 x 轴的对称直线 AB 的解析式 ” 时 ， 解法如下： 先是建立平面直角坐标系 ( 如图 ) ， 标出 A 、 B 两点 ， 并利用轴对称性质求出

5、A 、 B 的坐标分别为 A (3 ， 2 ) ， B (6 ， 5 ) ；然后设直线 AB 的解析式为 y kx b(k 0) ， 并将 A(3 ， 2 ) 、 B(6 ， 5 ) 代入 y kx b 中 ， 得方程组 3k b 2 ， 6k b 5 ， 解 得 k 1 ， b 1 ， 最后求得直线 AB 的解析式为 y x 1. 则在解题过程中他运用到 的数学思想是 ( ) A 分类讨论与转化思想 B 分类讨论与方程思想 C 数形结合与整体思想 D 数形结合与方程思想 D 3 (2016六盘水 )为了加强爱国主义教育 ， 每周一学校都要举行庄严的升旗仪式 ， 同学们凝视着冉冉上升的国旗 ，

6、 下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离 旗杆顶端的距离与时间的关系 ( ) A 4 ( 2016 济南 ) 若代数式 6 x 2 与 4 x 的值相等 ， 则 x _ 5 ( 2016 河南 ) 如图 ， 在扇形 AOB 中 ， AOB 90 ， 以点 A 为圆心 ， OA 的长为半径作 OC 交 AB 于点 C ， 若 OA 2 ， 则阴影部分的面积为 4 3 13 【例 1 】 ( 2016 福州 ) 若 x y 10 ， xy 1 ， 则 x 3 y xy 3 的值是 _ 【点评】 本题考查了因式分解和代数式的变形 ， 代数式右的字母表示的 数没有明确告知 ， 且求出字母的值较为困难

7、 ， 则对求值式可采用如下变形： x 3 y xy 3 xy(x 2 y 2 ) xy (x y) 2 2xy ， 再将 x y 与 xy 的值整体代入即 可此题求解过程体现了转化思想与整体思想的应用 对应训练 1 ( 2016 乐山 ) 先化简再求值： (x 3x x 1 ) x 2 x 2 2x 1 ， 其中 x 满足 x 2 x 2 0. 98 解：原式 x2 x， x2 x 2 0， x2 x 2， 则原式 2. 【 例 2】 (2016山西 )解方程： 2(x 3)2 x2 9. 解：方程变形得： 2(x 3)2 (x 3)(x 3) 0， 分解因式得： (x 3)(2x 6 x 3

8、) 0. 解得： x1 3， x2 9. 【 点评 】 本题考查了解一元二次方程解一元二次方程的基本思想是 “ 转化思 想 ” ， 把一元二次方程通过降次转化为一元一次方程求解 对应训练 2 图 所示的正方体木块棱长为 6 cm ， 沿其相邻三个面的对角线 ( 图中 虚线 ) 剪掉一角 ， 得到如图 的几何体 ， 一只蚂蚁沿着图 的几何体表面从顶 点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为 cm . (3 2 3 6 ) 【例 3 】 ( 2015 茂名 ) 如图 ， Rt ABC 中 ， ACB 90 ， AC 6 cm ， BC 8 cm . 动点 M 从点 B 出发 ， 在 BA 边上以每秒

9、3 cm 的速度向定点 A 运动 ， 同时动点 N 从点 C 出发 ， 在 CB 边上以每秒 2 cm 的速度向点 B 运动 ， 运动 时间为 t 秒 (0 t 10 3 ) ， 连结 MN. (1) 若 BMN 与 ABC 相似 ， 求 t 的值； (2) 连结 AN ， CM ， 若 AN CM ， 求 t 的值 解： ( 1 ) 由题意知 ， BM 3t cm ， CN 2t cm ， BN ( 8 2t ) cm ， BA 6 2 8 2 10 ( cm ) ， 当 BMN BAC 时 ， BM BA BN BC ， 3t 10 8 2t 8 ， 解得 t 20 11 ；当 BMN B

10、CA 时 ， BM BC BN BA ， 3t 8 8 2t 10 ， 解得 t 32 23 ， BMN 与 ABC 相似时 ， t 的值为 20 11 或 32 23 (2) 过点 M 作 MD CB 于点 D ， 由题意得： DM BM sin B 3t 6 10 9 5 t( cm ) ， BD BM cos B 3t 8 10 12 5 t( cm ) ， BM 3t cm ， CN 2t cm ， CD (8 12 5 t) cm ， AN CM ， ACB 90 ， CAN ACM 90 ， MCD ACM 90 ， CAN MCD ， MD CB ， MDC ACB 90 ， C

11、AN DCM ， AC CN CD DM ， 6 2t 8 12 5 t 9 5 t ， 解得 t 13 12 对应训练 3 (2016龙东 )甲、乙两车从 A城出发前往 B城 ， 在整个行程中 ， 两车离开 A城 的距离 y与 t的对应关系如图所示： (1)A， B两城之间距离是多少千米？ (2)求乙车出发多长时间追上甲车？ (3)直接写出甲车出发多长时间 ， 两车相距 20千米 解： (1)由图象可知 A， B两城之间距离是 300千米 ( 2 ) 设乙车出发 x 小时追上甲车 由图象可知 ， 甲的速度 300 5 60 千米 / 小时 乙的速度 300 3 100 千米 / 小时 由题意

12、 60 ( x 1 ) 10 0 x 解得 x 1.5 小时 (3) 设 y 甲 kx b ， 则 5k b 0 ， 10k b 300 ， 解得 k 60 ， b 300 ， y 甲 60 x 300 ， 设 y 乙 kx b ， 则 6k b 0 ， 9k b 300 ， 解得 k 100 ， b 600 ， y 乙 100 x 600 ， 两车相距 20 千米 ， y 甲 y 乙 20 或 y 乙 y 甲 20 或 y 甲 20 或 y 甲 280 ， 即 60 x 300 (10 0 x 60 0) 20 或 100 x 600 (60 x 30 0 ) 20 或 60 x 300 2

13、0 或 60 x 300 280 解得 x 7 或 8 或 16 3 或 29 3 ， 7 5 2 ， 8 5 3 ， 16 3 5 1 3 ， 29 3 5 14 3 甲车出发 2 小时或 3 小时或 1 3 小时或 14 3 小时 ， 两车相距 20 千米 【 例 4】 (2016遵义 )上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体 ， 目前 ， 某 通信公司推出消费优惠新招 “ 定制套餐 ” ， 消费者可根据实际情况自由定制每月 上网流量与语音通话时间 ， 并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费下表是流量与 语音的阶梯定价标准 流量阶梯定价 标准 使用范围 阶梯单价 (元/MB) 1 100

14、MB a 101 500 MB 0.07 501 20 GB b 语音阶梯定价 标准 使用范围 阶梯资费 (元 /分钟 ) 1 500分钟 0.15 501 1000分钟 0.12 1001 2000分 钟 m 小提示：阶梯定价收费计算方法 ， 如 600分钟语音通话费 0.15 500 0.12 (600 500) 87元 (1)甲定制了 600 MB的月流量 ， 花费 48元；乙定制了 2 GB的月流量 ， 花费 120.4元 ， 求 a， b的值 (注： 1 GB 1024 MB) (2)甲的套餐费用为 199元 ， 其中含 600 MB的月流量；丙的套餐费用为 244.2元 ， 其中包

15、含 1 GB的月流量 ， 二人均定制了超过 1000分钟的每月通话时间 ， 并且丙的 语音通话时间比甲多 300分钟 ， 求 m的值 解： (1) 依题意得： 100a （ 500 100 ） 0. 07 （ 600 500 ） b 48 ， 100a （ 500 100 ） 0. 07 （ 1024 2 500 ） b 12 0.4 ， 解得： a 0.15 ， b 0.05 ， a 的值为 0. 15 元 / MB ， b 的值为 0.05 元 / MB . (2)设甲的套餐中定制 x(x 1000)分钟的每月通话时间 ， 则丙的套餐中定制 (x 300)分钟的每月通话时间 ， 丙定制了

16、1 GB的月流量 ， 需花费 100 0.15 (500 100) 0.07 (1024 500) 0.05 69.2(元 )， 依题意得： 48 500 0.15 (1000 500) 0.12 (x 1000)m 199， 69.2 500 0.15 (1000 500) 0.12 (x 300 1000)m 244.2， 解得： m 0.08.答： m的值为 0.08元 /分钟 【 点评 】 本题考查了二元一次方程组的应用 ， 解题关键是： (1)根据数量关系列 出关于 a， b的二元一次方程组； (2)根据数量关系列出关于 x， m的二元一次方程组 ， 本题属于中档题 ， 难度不大 ，

17、 解决该题型题目时 ， 根据数量关系列出方程 (或方 程组 )是关键 对应训练 4 (2016乐山 )如图 ， 禁止捕鱼期间 ， 某海上稽查队在某海域巡逻 ， 上午某一时 刻在 A处接到指挥部通知 ， 在他们东北方向距离 12海里的 B处有一艘捕鱼船 ， 正在沿 南偏东 75 方向以每小时 10海里的速度航行 ， 稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时 14 海里的速度沿北偏东某一方向出发 ， 在 C处成功拦截捕鱼船 ， 求巡逻船从出发到成 功拦截捕鱼船所用的时间 解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 x 小时； 如图所示 ， 由题意得： ABC 45 75 120 ， AB 12 ， BC 10

18、x ， AC 14x ， 过点 A 作 AD CB 的延长线于点 D ， 图略 ， 在 Rt ABD 中 ， AB 12 ， ABD 60 ， BD AB cos 60 1 2 AB 6 ， AD AB sin 60 6 3 ， CD 1 0 x 6. 在 Rt ACD 中 ， 由勾股定理得： (14 x) 2 (10 x 6) 2 (6 3 ) 2 ， 解得： x 1 2 ， x 2 3 4 ( 不合题意舍去 ) 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 2 小时 【 例 5】 (2016黔东南州 )凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价 12元 ， 售 价 20元 ， 多买优惠 ， 优惠方法是

19、：凡是一次买 10只以上的 ， 每多买一只 ， 所买的全 部计算器每只就降价 0.1元 ， 例如：某人买 18只计算器 ， 于是每只降价 0.1 (18 10) 0.8(元 )， 因此所买的 18只计算器都按每只 19.2元的价格购买 ， 但是每只计算器的 最低售价为 16元 (1)求一次至少购买多少只计算器 ， 才能以最低价购买？ (2)求写出该文具店一次销售 x(x 10)只时 ， 所获利润 y(元 )与 x(只 )之间的函数关 系式 ， 并写出自变量 x的取值范围； (3)一天 ， 甲顾客购买了 46只 ， 乙顾客购买了 50只 ， 店主发现卖 46只赚的钱反而 比卖 50只赚的钱多 ，

20、 请你说明发生这一现象的原因；当 10 x50时 ， 为了获得最大 利润 ， 店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？ 解： (1) 设一次购买 x 只 ， 则 20 0.1(x 10) 16 ， 解得： x 50. 答：一次至少买 50 只 ， 才能以最低价购买； (2) 当 10 x 50 时 ， y 20 0.1(x 10) 12x 0.1x 2 9x ， 当 x 50 时 ， y (16 12)x 4x ； 综上所述： y 0.1x 2 9x （ 10 50 ）； (3)y 0.1x 2 9x 0. 1(x 45) 2 202.5 ， 当 10 x 45 时 ， y 随 x 的 增大而增

21、大 ， 即当卖的只数越多时 ， 利润更大 当 45 x 50 时 ， y 随 x 的 增大而减小 ， 即当卖的只数越多时 ， 利润变小且当 x 46 时 ， y 1 20 2.4 ， 当 x 50 时 ， y 2 20 0.y 1 y 2 . 即出现了卖 46 只赚的钱比卖 50 只赚的钱多的现象当 x 45 时 ， 最低售价为 20 0.1(4 5 10) 16 .5 ( 元 ) ， 此时利 润最大 【点评】 本题主要考查了二次函数的应用 ， 根据题意得出 y 与 x 的函数关 系是解题关键 ， 解答时注意函数思想的应用 对应训练 5 (2015温州 )某农场拟建两间矩形饲养室 ， 一面靠现

22、有墙 (墙足够长 )， 中间 用一道墙隔开 ， 并在如图所示的三处各留 1 m宽的门已知计划中的材料可建墙体 (不包括门 )总长为 27 m， 则能建成的饲养室面积最大为 _m2. 75 【例 6 】 ( 2016 湖州 ) 已知点 P 在一次函数 y kx b(k ， b 为常数 ， 且 k 0 ， b 0) 的图象上 ， 将点 P 向 左平移 1 个单位 ， 再向上平移 2 个单位得到点 Q ， 点 Q 也在该函数 y kx b 的图象上 (1)k 的值是 _ ； (2) 如图 ， 该一次函数的图象分别与 x 轴、 y 轴交于 A ， B 两点 ， 且与反比 例函数 y 4 x 图象交于

23、C ， D 两点 ( 点 C 在第二象限内 ) ， 过点 C 作 CE x 轴 于点 E ， 记 S 1 为四边形 CEO B 的面积 ， S 2 为 OAB 的面积 ， 若 S 1 S 2 7 9 ， 则 b 的值是 _ 2 3 2 解： (1) 设点 P 的坐标为 (m ， n ) ， 则点 Q 的坐标为 (m 1 ， n 2) ， 依题意得： n km b ， n 2 k （ m 1 ） b ， 解得： k 2. 故答案为： 2. (2) BO x 轴 ， CE x 轴 ， BO CE ， AOB AEC. 又 S 1 S 2 7 9 ， S AOB S AEC 9 7 9 9 16 .

24、 令一次函数 y 2x b 中 x 0 ， 则 y b ， BO b ；令一 次函数 y 2x b 中 y 0 ， 则 0 2x b ， 解得： x b 2 ， 即 AO b 2 . AOB AEC ， 且 S AOB S AEC 9 16 ， AO AE BO CE 3 4 . AE 4 3 AO 2 3 b ， CE 4 3 BO 4 3 b ， OE AE AO 1 6 b. OE CE | 4| 4 ， 即 2 9 b 2 4 ， 解得： b 3 2 ， 或 b 3 2 ( 舍去 ) 故答案为： 3 2 . 对应训练 6 ( 2016 菏泽 ) 如图 ， OAC 和 BA D 都是等腰

25、直角三角形 ， ACO ADB 90 ， 反比例函数 y 6 x 在第一象限的图象经过点 B ， 则 OAC 与 BAD 的面积之差 S OAC S BAD 为 ( ) A 36 B 12 C 6 D 3 D 点拨：设 OAC 和 BAD 的直角边长分别为 a ， b ， 则点 B 的坐标为 ( a b ， a b ) 点 B 在反比例函数 y 6 x 的第一象限图象上 ， ( a b ) ( a b ) a 2 b 2 6. S O AC S BAD 1 2 a 2 1 2 b 2 1 2 ( a 2 b 2 ) 1 2 6 3. 故选 D. 试题 如图 ， 在矩形 ABCD中 ， AB 4

26、， BC 6， 若点 P在 AD边上 ， 连结 BP， PC， BPC是以 PB为腰的等腰三角形 ， 则 PB的长为 _ 错解 5 如图 ， 在矩形 AB CD 中 ， AB CD 4 ， BC AD 6. 点 P 是 BC 的垂直平 分线与 AD 的交点 ， 则 AP DP 1 2 AD 3. 在 Rt ABP 中 ， 由勾股定理得 PB AP 2 AB 2 3 2 4 2 5 剖析 本题要注意分类讨论的数学思想进行分类讨论： PB PC 和 PB BC 两种情况解题时需认真审题 ， 全面考虑 ， 对可能存在的各种情况进行讨 论 ， 做到不重、不漏、条理清晰 正解 5 或 6 如图 ， 在矩形 AB CD 中 ， AB CD 4 ， BC AD 6. 如图 ， 当 PB PC 时 ， 点 P 是 BC 的垂直平分线与 AD 的交点 ， 则 AP DP 1 2 AD 3. 在 Rt ABP 中 ， 由勾股定理得 PB AP 2 AB 2 3 2 4 2 5 ； 如图 ， 当 BP BC 6 时 ， BPC 也是以 PB 为腰的等腰三角形综上 所述 ， PB 的长度是 5 或 6