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1、“特征信息”的捕捉与解题的最优化(1)100字 丁保荣在文1中，提出了一个十分重要的问题：通过捕捉题设（或结论）中的“特征信息”，优化解题思路罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述，尤其是在解题分析中，非常重视解题速度、解题的最优化问题23 文1的例1、例2的“特征信息”，其实都可以联系到一个重要不等式： 定理若，则（）24 文1的例1尽管给出了三种解题思路，但是却有美中不足：尚未揭示出其最优解题思路；例2虽巧妙地构造出二次方程，但仍然缺乏最优化思考 本文旨在展示平凡的定理（）4在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征 首先，通过“等导不等”来证明这个定理： （）4（）4， 当且仅当时，等号成立
2、 下面列举一系列数学问题，其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理（）4限于篇幅，解题时不作一一分析，只展现定理的最优化解题思路 例1已知实数，满足等式6，9，求证：（文1例1） 证明：依定理（）4，即64（9），得0，从而6，90，解得3，故证毕 例2若（）4（）（）0，则，成等差数列（1979年全国高考题） 证明：由题设知（）4（）（），而依本文定理，则有（）（）（）（）4（）（），可见，从而，成等差数列 例3方程组2，的实数解的组数是（） 1 123无穷多（1987年上海市初中数学竞赛试题） 解：依定理知，（）4，则24（1），得0，原方程组化为 2，显然只有一解1，故选 1， 例4已知，
3、都是实数，且0，1，求证：，中必有一个大于32（1991年“曙光杯”初中数学竞赛试题） 证明：由题知，中必有一个是正数，不妨设为正数依定理（）4，得（）4（1），或4，于是32，故得证 注意：此处还有意外收获，原题结论还可改进为：求证：，中必有一个不小于 例5，都是小于1的正数，求证：在4（1），4（1），4（1），4（1）中，不可能都大于1（1962年美国数学竞赛试题） 证明：巧妙地逆用定理，注意4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）（1）（1）（1）（1）11111，由此可见，4（1），4（1），4（1），4（1）中不可能都大于1 例6已知0，0，且4，（6）（5），求S的最大值 解：依定理，知44（6）（5）（6）（5）11（）（114）49，494，当212，112时，494 当然，定理最主要还是应用于巧证不等式方面 例7已知2，求证：4（文1例2） 证明：由题设，知2依定理，知（）42，或28，即4，证毕 纵观以上各例，依定理解题，显得规律有序，思路清晰，方法简便，且显然优于原来的方法 例8正数，满足条件求证：（1987年（前）苏联数学奥林匹克试题） 证明：传统证法大半是构造正三角形或正方形，利用面积关系证之今依定理，即刻知
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