[教学设计]第一单元三角形(教育精品)

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1、初中几何第二册第三章 第一单元 三角形一、 教法建议【抛砖引玉】从课本引言的画图上可发现有几种不同类型的三角形，启发学生想一想在他（她）们周围还发现有其它类型的三角形吗？从同学们熟悉的三角形实例中引入三角形的一些概念，然后指导同学们画三角形的角的平分线及三角形的中线从画图实践中，指导学生总结出三角形角平分线及三角形中线定义，以及角之间的倍数关系，线段之间倍数关系对画三角形高线时，重点指导钝角三角形的高线画法，反复示范练习在画图中熟练画法并概述出定义引导同学们在画图中发现，三角形三条角平分线，或三条中线，三条高时总交于一点这个结论很正确，以后还要研究或证明这个发现，以激发学生求知欲在数学中让学生

2、实际测量P7图36（1）（3）三个三角形边长，通过测量数据让他（她）们总结出不等边三角形，等腰三角形，等边三角形概念，等腰三角形的腰，底边，顶角，底角定义，然后把三角形按边分类，突出分类思想，对三角形三边关系定理及推论，可先举出一个具体三角形，边长已知，推出具体关系，对研究定理及推论便直观易懂，学生易于接受，然后通过例题用代数法求解过程中，进一步强化定理应用，不满足定理的解要舍去三角形的内角和的教学，一定要与同学们一块做好P10的实验，使同学们亲自得出“三角形三个内角和等于180”通过三个内角的拼合所留下的痕迹启示他们如何证明这个结论要证明这个结论，可以延长一边BC得到一个平角BCD，然后以C

3、A为一边，在 ABC的外部画ACE=A，再证ECD=B即可，这样就找到并想到这样添出辅助线，并也知道什么是辅助线和为什么要添加辅助线，再结合例1的教学，用学得的三角形内角和定理指导实践，使理论与实践密切结合，迅速打开思路，本例也体现了以数助形通过三角形内角和定理的教学，引导学生按角把三角形分类，再一次突出分类思想，了解分类要做到“不重”和“不漏”，强调分类方法在今后的学习中要用到，让学生从三角形内角和定理直接总结出推论1，并指出这个推论有重要应用对于三角形外角教学，一定结合P13图311讲清外角定义，并揭示外角的三个特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上；（2）一条边是三角形的一边；（3）另一条

4、边是三角形某条边的延长线，再画几个图让学生辨析，进一步巩固外角概念，进而结合三角形内角和定理推出推论2，推论3，再通过例题教学，强化这两个推论的应用，进一步熟悉它【指点迷津】本单元是学生学习推理入门的初级阶段，担负着培养学生逻辑推理任务，一定要过好这一关，增强学生学好几何必胜信心对于钝角三角形高的画法比较难，通过画图应知道两条高在三角形外部，并垂直钝角边的延长线对于三角形按边或按角分进行分类，是分类思想的具体体现应指出分类的原则，一定要做到不重不漏，以便今后更好地应用，三角形内角和定理的研究一定要做好三个角的拼凑试验，从实践上升到理论，证明思路便可找到对三角形外角概念结合图形，突出它的三个特征

5、，便容易掌握了在教学中要求学生多动手，多思考，多与图形实物联系，做好括号证明依据的填写，摸仿证明方法，格式书写，学会证明二、 学海导航【基础思维】 1三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的 在三角形中，连结一个顶点和它的 的线段叫做三角形的中线从三角形的一个顶点向它的对边画垂线， 之间的线段叫三角形的高 2三角形的三条角平分线，三条中线都在三角形 而三角形的高不同，锐角三角形的三条高在三角形 ，直角三角形中有两条高恰好为 ，钝角三角形有两条高在 3三边都不相等的三角形叫 三角形；有两条边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 ，两腰的夹角叫 ， 底

6、角， 叫等边三角形 4三角形的分类（按边）： 不等边三角形 三角形 等边三角形 5三角形两边的和 第三边，两边的差 第三边 6三个角都是锐角的三角形叫 ，有一个角是 叫直角三角形， 叫钝角三角形，两条直角边 的直角三角形叫 直角三角形，三角形的一边与另一边的 组成的角叫三角形外角 7三角形的分类（按角）： 三角形 斜三角形 8三角形三个内角和等于 ，直角三角形的两个锐角 ；三角形的一个外角等于和它 的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它 的内角【学法指要】 例1已知一个等腰三角形ABC的周长为10cm，且三边长都是整数，求三边长思路分析：在ABC中，设AB=AC，则 AB+AC+BC

7、=10，即2AB+BC=10 AB=三边长都为整数，BC必为偶数BC只能取2，4，6，8 对应AB(AC)为4，3，2，1AB=AC=2，BC=6时，AB+ACBC 与定理三角形两边之和大于第三边矛盾 此时ABC不存在同理：AB=AC=1，BC=8时，ABC也不存在 故ABC的三边长可能取值为：4cm，4cm，2cm或3cm，3cm，4cm 本例在求解过程中，未告知哪两边相等，必须假设两边相等，将三个未知量转化为二个，得出一个不定方程，进而根据正整数性质分别得出四组解，然后再结合三角形三边关系定理，把不合题意两组解除去解题过程中，将矛盾不断转化，分类进行求解，做到了不重不漏 例2完成下列证明已

8、知：如图，P是ABC内一点求证：BPCBAC证明：连结AP，并延长到D BPDBAD（ ）， DPCDAC（ ）， BPD+DPC 即BPCBAC第一括号填写：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；第二括号填写：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；，填写：BAD+DAC例2又一证法：延长BP交AC于D点BPCBDC（ ），BDCBAC（ ），BPC 第一、二两个括号与原证明填写依据相同，填写：BAC本例向同学要求填写证明的依据，规范的证明模式供同学模仿，步步推理有据，书写规范，使同学们学会证明本例在求解过程中，用到了代数中不等式的性质，如又证明中知：“若ab，bc，则ac”，

9、即不等式的传递性代数法证明几何题，尤其对本单元，涉及较多，望同学们有意识地应用数形结合法去解决问题，将会收到较好的效果例3如图，ABC的三条内角平分线相交于I，IGBC于G，求证：BID=CIG思路分析：从题设及观察图形可知CIG=90BCF（直角三角形两锐角互余） =90ACB（角平分线定义）ACB+ABC+BAC=180（三角形内角和定理） ACB=180ABCBAC（移项）CIG=90（180ABCBAC）（等量代换） =9090+ABC+BAC（去括号） =ABC+BAC（合并同类项） ABE=ABC，BAD=BAC（角平分线定义） CIG=ABE+BAD（等量代换） BID=ABE+

10、BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） CIG=BID（等量代换）本例从未知入手，结合图形及题设变换关系式，步步变换，推理有据，一步步向预定的目标推进，终于达到目的这种思路是执果索因，沿着要什么，找什么的思路去求索，在求索的道路上，要观察图形，结合题设，联想定理，综合分析，有的放矢，求索道路愈来愈明朗化，趋近于要证的结论这是我们求索几何思路十分有效的方法之一同学们在今后学习与研究几何问题时，要有意识的这样求索，将会使你的数学素养不断提高，证题能力达到一个新的层次例4已知：ABC的三边a、b、c满足a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2求证：ABC为等边三角形思路分析：欲证

11、ABC为等边三角形 即证：a=b=c，转化为 ab=0，bc=0，ca=0 a2b2=0，b2c2=0，c2a2=0 (a2b2)2=0，(b2c2)2=0，(c2a2)2=0 (a2b2)2+(b2c2)2+(c2a2)2=0 a42a2b2+b4+b42b2c2+c4+c42c2a2+a4=0 2a4+2b4+2c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2 a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2以上每步可逆，于是问题得到圆满答案又解思路分析： a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2 a4+b4+c4a2b2b2c2c2a2=0 2a4+2b4+2c42a2b22b2c22c2a

12、2=0 (a42a2b2+c4)+(b42b2c2+c4)+(c42c2a2+a4)=0 (a2b2)2+(b2c2)2+(c2a2)2=0 (a2b2)2=0，(b2c2)2=0，(c2a2)2=0 a2b2=0，b2c2=0，c2a2=0 (a+b)(ab)=0，(b+c)(bc)2=0，(c+a)(ca)=0 a、b、c为ABC的三边 a+b0，b+c0，c+a0 ab=0，bc=0，ca=0 a=b，b=c，c=a a=b=c ABC是等边三角形本例采取由结论推向已知，执果索因，此为分析法用分析法达到目的，又应用从已知推向结论，执因索果，此为综合法用综合法也很顺畅，分析法与综合法在解几

13、何题中经常用到，有时两种方法配合使用通常在入门阶段以综合法为主，找思路由分析法辅助，二者相辅相成，配合默契，要熟悉这两种证题方法，以便更好的应用在几何证题过程中，代数法有时也起到关键作用，如本例，因题设告知我们的关系式容易引起我们联想配方法，应用乘法公式按这条思路走下去，顺利求得结果这是同学也能想到的，下面试举一例供你们练习已知：a，b，c为ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca=0求证：ABC为等边三角形【思维体操】 例1AB与CD相交于点O，求证：A+C=B+D思路分析：在AOC中， A+C+AOC=180（三角形内角定理） 在BOD中，B+D+BOD=180（三角形内角和

14、定理） A+C+AOC=B+D+BOD（等量代换） AOC=BOD（对顶角相等） A+C=B+D这道几何题是一对对顶三角形组成的几何图形因为我们发现了两个三角形，所以便联想到三角形内角和定理，探索思路，使问题解决了可是这道题的应用价值很值得开发，它是一类几何题打开思路的“桥梁”，借助它可顺利到达“彼岸”，请看实例扩散一：如图，A+B+C+D+E= 揭示思路：从图形中观察出现对顶三角形，此时便使我们设法把5个分散的角转化在一个图形中，在这种想法趋使下，使我们想到对顶三角形这“桥梁”结合图形，连CD，立即可发现，B+E=1+2A+B+C+D+E=A+ACD+ADC=180（三角形内角和定理）扩散二

15、：如图，A+B+C+D+E= 揭示思路：观察图形，以AB，CE为边的对顶三角形因而，连CE（或 连结AC），均可将五个角转化到一个三角形中，可求A+B+C+ D+E=180扩散三：如图，A+B+C+D+E+F等于（ ） （A）270 （B）360 （C）450 （D）540揭示思路：本例连AE（或BF），便可把6个角转化到一个四边形中，因为一个四边形可分为两个三角形（连对角线），这样可知这六个角之和为360，应选（B）扩散四：如图，A+B+C+D+E+F+G其和的度数是 揭示思路：本例求其七个角的值，很难找到对顶三角形，此时可把图形上部的四边形连一条对角线分成两个三角形再观察图形，可发现以BC

16、，GE为边的对顶三角形，这时便给我们一个惊喜，这七个角分别集中在四边形ABCD与GEF中，立即知其七角之和为540连结GE，BC1+2=3+4A+B+C+D+E+F+G=（A+B+C+D）+（F+FGE+FEG）=360+180=540扩散五：如图，在ABC的边CA，BA的延长线上分别取点D、E，连结DE，作E，C的平分线，交于点F，求证：F=（B+D）揭示思路：由题设知FC，FE分别是C，E的平分线，所以设BCF=ACF=，AEF=DEF=，观察图形可发现以DE，CF分别为边的对顶三角形及以EF，BC分别为边的对顶三角形，于是有F+=D+B+=F+FB=DF2F=B+DF=（B+D）扩散六：

17、如图，在ABC中，B的平分线与C的外角平分线交于P点求证：2P=A揭示思路：因为BP平分ABC，PC平分ACD，所以可设ABP=CBP=，ACP=DCP=观察图形可发现以AB，CP为边的对顶三角形，于是有+A=P+ （1）DCP=CBP+P（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）即=+P （2）（2）代入（1），得+A=P+PA=2P从扩散一扩散六所遇到的新问题都有一定的难度，而我们借助对顶三角形的特点作为“桥梁”，很顺利到达“彼岸”对顶三角形这一基本图形隐含在复杂的几何图形中，我们必须善于挖掘出对顶三角形这一基本图形如何挖掘，当然要善于观察并联想对顶三角形这一基本图形，便可从复杂图形

18、中挖掘出来如实在找不到，这时便可构造出与证题有利的对顶三角形在具体求解过程中，要借助代数的优势，进行有关的化简与计算，使这一类问题化难为易三、 智能显示【心中有数】本单元是学好全章的基础，这部分内容在实际中也有广泛的应用，又是几何证明的入门因而，认真学好三角形边、角关系及推论，填好括号里的证明依据，掌握书写证明的格式，学会简单证明，模仿较难的证明的书写方法慢慢学会证明方法，添加辅助线的方法及作用本单元学习分类思想十分重要，它在今后还有很多应用在具体分类过程中，要做到“不重”和“不漏”，认真细致，做到重的排除，漏的找回，把分类方法掌握好本单元解决几何问题较多的用到一元一次方程，二元一次方程组等代

19、数知识，用代数法处理几何问题，一定要遵循几何原理按照几何原理列出代数式或方程（组）求解这种数形结合的解题方法也是本单元学习的重要思维方法，要掌握它，并用它指导我们分析问题与解决问题【动脑动手】 1已知ABC中，AB=AC，且BD平分AC，若BD把ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三边的长 2若自然数a、b、c为三角形的三边，且abc，b=4，问这样的三角形有几个？ 3如图，已知在ABC中，90，AD，BD分别是两外角EAB，ABF的平分线且相交于D，求D的度数参考答案：1根据题意，本例可分两种情况2a+b=27如图（1）和图（2），设AB=AC=a，BC=b，则有2a+b=27 或分

20、别解两个方程组，得 a=10b=7a=8b=11（1） 或（2）故三角形三边的长为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm2由abc，且b=4知a4，c4，又a、b、c都是自然数a只可能取：1，2，3，4又ca+b，b=4，a4的最大值a=4，c4+4=8，最大只能取7c只能取：4，5，6，7再依据abc，b=4及三角形两边的和大于第三边，可是这样的三角形有10个，它们是1、4、4，2、4（4，5），3，4，（4，5，6），4，4，（4，5，6，7）3AD，BD为EAB，ABF的平分线 可设EAD=BAD=，ABD=FBD=+D=180（三角形内角和定理）(1802)+(1802)

21、=90（直角三角形两锐角互余） 原方程可整理为：+D=180 （1）+=135 （2） （2）代入（1）得135+D=180D=180135=45【创新园地】如图所示，求A，B，C，D，E，F，G这七个角之和是多少度？揭示思路1：设APT=BPQ=1 ，BQP=CQR=2 ，GTS=ATP=7 又设TPQ为P，PQR为Q，STP为T，则有：A+1 +7 =180B+1 +2 =180C+2 +3 =180 G+a6+a7=180（三角形内角和定理）A+B+G+2（1 +2 +7 ）=1807A+B+G=18072（1 +2 +7 ）P=1801 ，Q=1802 ，T=1807 P+Q+T=18

22、07（1 +2 +7 ）七边形由一个顶点连对角线可将七边形分成五个三角形P+Q+T=9001 +2 +7 =1807（P+Q+T）=1260900=360A+B+G=18073602=1260720=540揭示思路2：因为连四边形的一条对角线可分成两个三角形，所以可知四边形的内角和是360由此我们可知，在四边形CEGP和四边形QDFA中C+E+G+GPC=360D+F+A+AQD=360A+C+D+E+F+GPC+AQD=720GBC=B+，AQD=B+（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）GBC+AQD=B+（B+）B+=180（三角形内角和定理）A+C+D+E+F+180+B=7

23、20A+B+C+D+E+F=540四、同 步 题 库一、 填空题1. 如图1-1-13，AD是ABC的角平分线，那么有 . 图1-1-132. 如图1-1-14，已知AD、BE、CF是三角形ABC的三条中线，那么有AC=2 ，BD= ， .3. 如图1-1-15，已知BECD，1=95，2=28，那么CAB= .4. 在ABC中，AB=6，BC=11，那么 AC”或“”）.10.已知ABC三边a=4.8，b=2a，b比c大2，那么ABC的周长为 .二、 选择题1.三角形的角平分线是（ ） （A）直线 （B）线段 （C）射线 （D）垂线段2.在锐角三角形中，任意两个锐有的和一定大于（ ）. （A

24、）90 （B）105 （C）120 （D）1303.在ABC中，A=B=2C，那么这个三角形是（ ）.（A） Rt (B)钝角 （C）锐角 （D）不能确定4.如图1-1-17，在ABC中，A=70，BO、CO分别是B、C的平分线，那么BOC的度数为（ ）. （A）55 （B）125 （C）110 （D）100 图1-1-175.已知三角形三边长分别是4、1+2a、9，那么，实数a的取值范围是（ ）. （A）3a5 （B）2a6 (C)Oa7 （D）5aB.7 图1-1-24，DEAB于E，A=40，D=30，求ACD的度数. 8如图1-1-25，已知ABM和ACN是ABC的两上外角，且ABM+

25、ACN=3A.求A的度数.9.如图1-1-26，已知ABC中，B的平分线与C的外角平分线交于D，D=30.求A的度数. 图1-1-24 图1-1-25 图1-1-2610.如图1-1-27，已知在ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于F点.求证：C+1+2+3=18011.如图1-1-28，已知在ABC中，B的平分线与ACB的外角的平分线交于E点.求证：E=A12.如图1-1-29，已知P为ABC内任意一点.求证：BPCA. 图1-1-27 图1-1-28 图1-1-29参 考 答 案同步题库一、填空题A.DAC、BAC 2.AC=2AE、BD=DC，AF=AB 3.67 4.5AC17 5.4、BDC、CEB、HDC、HEB 6.72、108、58 7.2、24cm 27cm 8.20、60 9.1，而1=2，又2B， BACB7.1008.909.【解】 DBC=ABC，DCE=ACE，又 ACE=ABC+30 ACE-ABC=60 即A=ACE-ABC=6010.【证明】 ADC=1+2 又C+3+ADC=180 C+1+2+3=18011.【证明】 A=ACD-ABC A=22-21 即A=2-1 又 E=2-1 E=A12.【证明】BP交AC于D BPCBDC BDC BPCA