必一312用二分法求方程的近似解

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1、夯实基础夯实基础 成就未来成就未来3.1.2 用二分法用二分法 求方程的近似解求方程的近似解1 1、函数的零点的定义、函数的零点的定义：结论结论:()0()()f xyf xxyf x方程有实数根函数的图象与 轴有交点函数有零点 使使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点上节回忆上节回忆2、如何判断函数、如何判断函数y=f(x)在区间在区间a,b上是否上是否有零点有零点?(1)函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连上的图象是连续不断的一条曲线续不断的一条曲线(2)f(a)f(b)0f(b)0时，函数时，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间（a a，b

2、 b）内一定没有零点吗？）内一定没有零点吗？函数函数 在下列哪个区间内在下列哪个区间内有零点有零点?()3()1f xxx)3,2.()1,0.()2,1.()0,1.(DCBA 上节回忆练习：练习：问题问题:你会解下列你会解下列方程吗方程吗?2x-6=0;2x2x-6=0;2x2 2-3x+1=0;lnx+2x-6=0-3x+1=0;lnx+2x-6=0 求方程根的问题求方程根的问题 相应函数的零点问题相应函数的零点问题你会求你会求方程方程lnxlnx+2+2x x-6=0-6=0的近似解的近似解吗吗?思路思路如何找到零点近似值如何找到零点近似值？可以转化为函数可以转化为函数 在区在区间（间

3、（2 2，3 3）内零点的近似值。）内零点的近似值。62lnxxxf求方程求方程 的近似解的问题的近似解的问题062ln xx 在已知存在零点的区间确定函数的在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值，实际上就是如何零点的近似值，实际上就是如何缩小缩小零零点所在的范围，或是如何得到一个点所在的范围，或是如何得到一个更小更小的区间，使得零点还在里面，从而得到的区间，使得零点还在里面，从而得到零点的近似值。零点的近似值。思考：如何缩小零点所在的区间？思考：如何缩小零点所在的区间？游戏规则：游戏规则：给出一件商品，请你猜给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的出它的准确价格，我们给的提示只有提示

4、只有“高了高了”和和“低低了了”。给出的商品价格在。给出的商品价格在100 100 200 200之间的整数，如果你能之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中在规定的次数之内猜中价格，价格，这件商品就是你的了这件商品就是你的了。游戏：“看商品猜价格”，请同学们猜一下下面这部科学计算器(120200元间)的价格。要求:误差小于1元探究：你猜这件商品的价格，是如何想的？在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中？（对半猜）这能提供求确定这能提供求确定 函数零点的思路吗函数零点的思路吗思路：用区间两个端点的中点，思路：用区间两个端点的中点，将区间一分为二将区间一分为二 对于一个已知零点所在区间对于一个已

5、知零点所在区间a,b,a,b,取取其中点其中点 c,c,计算计算f(c),f(c),如果如果f(cf(c）=0=0，那么，那么 c c 就是函数的零点；如果不为就是函数的零点；如果不为0 0，通过比较，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（判断零点是在（a,c)a,c)内，还是在（内，还是在（c,b)c,b)内，内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行行062ln:xx解方程的零点找函数62ln)(xxxf的零点所在范围的零点所在范围逐渐缩小函数逐渐缩小函数62ln)(xxxf)3,2(问题问题 在区

6、间（在区间（2 2，3 3）内零点的近似值）内零点的近似值.中点中点的值的值中点函数中点函数近似值近似值 （2，3）（2.5，2.75）（2.5，2.5625）2.52.752.6252.5625（2.5，2.625）-0.0840.5120.2150.06610.50.250.1250.0625 62lnxxxf（2.52.5，3 3）区间长度区间长度区间区间2.53125-0.009（？，？）（？，？）思考思考:通过这种方法通过这种方法,是否可以得到任是否可以得到任意精确度的近似值意精确度的近似值?（如精确度（如精确度为为0.010.01）精确度为精确度为0.01,0.01,即零点值与近即

7、零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于似值的差的绝对值要小于或等于0.010.01结论结论1.通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值2.给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如001时，可时，可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点

8、的近似值3.本题中，如在精确度为本题中，如在精确度为001的要求下，我们可以将区间的要求下，我们可以将区间(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间内的任意点及端点作为此函数在区间(2，3)内的零点近似值内的零点近似值4.若再将近似值保留两为小数，那么若再将近似值保留两为小数，那么253，254都可以作都可以作为在精确度为为在精确度为001的要求下的函数在的要求下的函数在(2，3)内的零点的近似内的零点的近似值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近似值，即近似值，即253125区间区间中点的值中点的值中点

9、函数中点函数近似值近似值区间长度区间长度 ln262 3f xxx求函数在区间，零点的近似值.（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.5625）（2.53125，2.5625）（2.53125，2.546875）（2.53125，2.5390625）2.52.752.6252.56252.531252.546875（2.5，2.625）2.53906252.53515625-0.0840.5120.2150.066-0.0090.0290.0100.00110.50.250.1250.06250.031250.0156250.0078125(精确度为精确度为0.01)所以我们

10、可将所以我们可将此区间内的任意一点此区间内的任意一点作为函数作为函数零点的近似值，特别地，可以将零点的近似值，特别地，可以将区间端点区间端点作为零作为零点的近似值点的近似值.,01.00078125.05390625.253125.2ba由于由于如图如图a设设函数的零点为函数的零点为 ,0 x则则.0bxa=2.53125,=2.53125,=2.5390625=2.5390625，b0 x.ab所以所以,01.0,01.000babxabax所以方程的近似解为所以方程的近似解为53125.2x 对于在区间对于在区间 上连续不断且上连续不断且 的函的函数数 ,通过不断地把函数通过不断地把函数

11、的零点所在的区的零点所在的区间一分为二间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到进而得到零点近似值的方法叫做二分法零点近似值的方法叫做二分法.ba,0bfaf xfy xf二分法概念二分法概念xy0ab问题问题5:你能归纳出你能归纳出“给定精确度给定精确度,用二用二分法求函数零点近似值的步骤分法求函数零点近似值的步骤”吗吗?二分法的实质二分法的实质:就是将函数零点所在的就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点不断变小，两个端点逐步逼近零点3.3.计算计算 ；cf（1 1）若）若 ，

12、则，则 就是函数的零点；就是函数的零点；c 0cfba,0bfaf1.1.确定区间确定区间 ,验证验证 ,给定精确度给定精确度 ;2.2.求区间求区间 的中点的中点 ；ba,c 0cfafcb cax,0（2 2）若）若 ，则令，则令 （此时零点（此时零点 ）.（3 3）若）若 ，则令，则令 （此时零点（此时零点 ）.0bfcfbcx,0ca 4.4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ：即若：即若 ，则得到零点，则得到零点 近似值近似值 （或（或 ）；否则重复）；否则重复2 24.4.baab xf 给定精确度给定精确度 ,用二分法求函数用二分法求函数 零点近似零点近似值的步骤如下值的步骤

13、如下:2370,237,xxxfxx解：原方程令用计算器作出函数的对应值表与图像.732xxfxx012346578-6-2310214075142273列表列表尝试尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度的近似解（精确度0.1）.先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解绘制函数图像绘制函数图像 取（取（1，1.5）的中点）的中点x2=1.25,f(1.25)=-0.87，因为因为f(1.25)f(1.5)0，所以，所以x0（1.25，1.5）同理可得，同理可得，x0（1.375，1.5

14、），），x0(1.375，1.4375），由于），由于|1.375-1.4375|=0.0625 0.1 0:,10,20,120,1,2.fffff xx解由图像和函数值表可知则所以在内有一个零点 101,21.5,1.50.33,11.501,1.5.xfffx 取区间的中点因为所以 所以，原方程的近似解可取为所以，原方程的近似解可取为1.4375 转化思想转化思想逼近思想逼近思想小结小结二分法二分法数形结合数形结合1.寻找解所在的区间寻找解所在的区间2.不断二分解所在的区间不断二分解所在的区间3.根据精确度得出近似解根据精确度得出近似解基本知识基本知识:1.二分法二分法的定义的定义;2.

15、用用 二分法二分法求解方程的近似解的步骤求解方程的近似解的步骤.通过本节课的学习通过本节课的学习,你学会了你学会了哪些知识哪些知识?定区间，找中点，定区间，找中点，中值计算两边看中值计算两边看;同号去，异号算，同号去，异号算，零点落在异号间零点落在异号间;周而复始怎么办周而复始怎么办?精确度上来判断精确度上来判断.二分法求方程近似解的口诀二分法求方程近似解的口诀:3310 xx借助计算器用二分法求借助计算器用二分法求的近似解的近似解(精确度精确度0.1).方程的近似解为方程的近似解为0.31250.375.x 或作业作业1.课外作业课外作业:课本课本P92 习题习题3.1 A 组组3,4,52.课外搜索课外搜索:请通过网络、杂志等途径请通过网络、杂志等途径寻找寻找“方程求解方程求解”的数学历史的数学历史.