北师大版小升初小学数学毕业考试重难点突破(八)解决问题

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1、北师大版小升初小学数学毕业考试重难点突破（八）解决问题 一、行程 1.相遇 两个运动物体从两地出发，相向而行，经过一段时间，必然会在中途相遇，这类问题我们称它为相遇问题。一般地，相遇问题的基本关系式为：速度和相遇时间=路程 路程速度和=相遇时间 路程相遇时间=速度和 此外，两个运动物体在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展也必然面对面地相遇，也作相遇问题探讨。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程 解题思路：相遇问题要弄清题意，是否同时出发，是否相遇，或者相遇并错过。利用数形结合思想，按照题意画出线段图，分析各个数量之间的关系，是解决相遇问题的关键步骤。2.追及 两个在同一方向上运动的物体，其

2、中一个走得快，另一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上走得慢的，这就叫作追及问题。追及问题的核心问题是速度差。也就是走得慢的在前，快的在后，由于快的速度比慢的大（速度差），所以经历一定时间，在后面快的物体就能追上在前的慢的物体。追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。追及问题中我们要考虑的是两个人的“路程差”以及“速度差”。追及问题的三个基本公式：距离差=速度差追及时间 追及时间=距离差速度差 速度差=距离差追及时间 解题思路：画线段图是解决问题的基本方法，通过画图，比较不同对象在相同时间内的路程

3、关系，挖掘出解题的突破口。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的 3.火车过桥问题 火车过桥问题是行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。基本数量关系：火车速度时间=车长+桥长（桥长+列车长）速度=过桥时间（桥长+列车长）过桥时间=速度 解题思路：列车过桥的总路程等于桥长加车身长，是解决过桥问题的关键。对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定要结合线段图。4.流水行船 当船在水中航行时，如果水是静止不动的，那

4、船的行驶速度就由船本身决定，这个速度称为船的静水速度，即船本身的速度。如果船本身停止运动，那么它还会顺着水流前进，这时的速度等于水流的速度，我们称之为水速。当船顺水而行时，船的静水速度和水速会叠加起来，行驶速度会变快，此时的速度我们称之为顺水速度；相反，如果船逆水而行，水速会抵消掉一部分船本身的速度，行驶速度会变慢，此时的速度我们称之为逆水速度。流水行船问题的两个基本公式：顺水速度=船速（静水速度）+水速 逆水速度=船速（静水速度）-水速 另外，根据和差问题的计算方法，我们还可以得到下面两个公式：船速（静水速度）=（顺水速度+逆水速度）2 水速=（顺水速度-逆水速度）2 1甲、乙两人分别从 A

5、、B 两地同时出发，相向而行，甲每小时行 48 千米，乙每小时行42 千米，两人在离中点 18 千米处相遇，求 A、B 两地间的距离？【答案】540 千米【解析】【分析】根据题意可知，两车在距中点 18 千米处相遇，相遇时甲车行驶的路程超过中点 18 千米，乙车还差 18 千米到达中点，也就是说甲车比乙车多行驶 182=36 千米，由于甲车每小时比乙车快 48-42=6（千米），由此可以求出相遇时间，再根据速度和相遇时间=路程，即可求出【详解】（182）（48-42）（48+42）=36690=690=540（千米）答：两地间的距离是 540 千米 2甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们

6、租了一辆大巴，已知学生步行的速度为5 千米/小时，大巴车的行驶速度为 55 千米/小时，出发地到终点之间的距离为 8 千米，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生坐大巴，乙、丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，如果三个班的学生同时到达，求这些学生到达终点一共所花的时间【答案】2855小时【解析】【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系由于题目条件只涉及速度和总路程，所以如果要求出时间必须首先将速度和路程对应起来，即明确学生或者大巴车的行程路段，因此我们应该

7、画出整个行程过程的线段示意图 如图所示：虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的 11倍，所以大巴车第一次折返点 D 到出发点 A 的距离是乙班学生搭车前步行距离 AB 的（11+1）2=6 倍，如果将乙班学生搭车前步行距离 AB 看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离 AD 为 6 份，大巴车第一次折返点 D 到接到乙班学生 B 又行驶了 5 份距离，同样的大巴车在 B 点接到乙班学生到在 E 点追上甲班学生所走的路程也应该是 6 份距离，而从 E 点回来到 C 点接到丙班的距离为 5 份，大巴车从 C 点到终点 F 的距离为 6份，这样大巴车一共行驶了

8、6+5+6+5+6=28 份距离，而 A 到 F 的总距离为 6-5+6-5+6=8份，所以大巴车一共行驶了 8828=28（千米），所花的总时间为 2855=2855小时 3甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲乙两人的速度比是 4：5。相遇后，如果甲的速度降低 25%，乙的速度提高 20%，然后沿原方向行驶，当乙到达 A 地时，甲距离 B 地 30km。那么 A、B 两地相距多少 km？【答案】90km【解析】【详解】相遇时，甲走了全程的 4（4+5）=49，乙走了全程的 1-45=99；当乙到达 A 地时，乙走的时间是495（1+20%）=227，甲走了全程 4（1-25%）

9、22=279；A、B 两地相距：30（1-4 2-9 9）=90（km）答：A、B 两地相距 90km。4如图所示，A、B 是圆的直径的两个端点，腾腾在 A 点，萍萍在 B 点。两人同时出发相向而行，他们在 C 点第一次相遇，C 点离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 60米，求这个圆的周长。【答案】360 米【解析】【分析】第一次相遇，两人共走了半个周长，根据题意，这段时间腾腾走了 80 米；两人从第一次相遇到第二次相遇共走了一圈，所以所用的时间是第一次相遇的 2 倍，故腾腾在这段时间走了 2 个 80 米，由图可知，3 个 80 米减去 60 米，是圆周长的一半，再

10、乘以 2 即可得解。【详解】（80360）2 1802 360（米）答：这个圆的周长是 360 米。【点睛】本题考查环形跑道相遇问题，从整体分析两人走的路程和是解题关键。5上午 8 点 08 分，小明骑自行车从家里出发 8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4公里的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是 8 公里。问这时是几点几分？【答案】8 点 32 分【解析】【分析】爸爸在离家 4 千米处，如果不返回，而是停 8 分钟，然后再向前追小明。应当在离家 448（千米）处恰好追上小明。这表明爸爸从离家 4 千米处返回，然后再回到这里，共用 8分钟，

11、即爸爸 8 分钟行 8 千米，从而爸爸共用 8816（分钟），第二次追上小明时是 8点 32 分（881632）。【详解】根据分析可知第二次追上小明的时间是 8 点 32 分。【点睛】本题主要考查追及问题，对学生的分析和解决问题的能力的要求较高。6一列火车经过一个路标用 3.5 秒，通过一座长 300 米的桥用了 20 秒，它穿过长 800 米的山洞要几秒？【答案】47.5 秒【解析】【详解】火车经过路标所行的路程即为列车的长度，所以列车行驶一个车长的距离用时 3.5 秒，经过一座长 300 米的桥行驶的长度为 300+车长，所以列车行 300 米用时为 20-3.5=16.5（秒），再求列车

12、的速度 300（20-3.5），题目就迎刃而解了 解：800300（20-3.5）+3.5=80020011+3.5=44+3.5=47.5（秒）答：它穿过长 800 米的山洞要 47.5 秒 考点：列车过桥问题 点评：明确火车经过路标所行的路程即为列车的长度，由此再据其过桥所用时间求出其速度题目就迎刃而解了 7船往返于相距 180 千米的两港之间，顺水而下需用 10 小时，逆水而上需用 15 小时由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需 9 小时，那么逆水而行需要几小时?【答案】18 小时【解析】【详解】本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化

13、，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度.船在静水中的速度是：（18010+18015）2=15（千米/小时）.暴雨前水流的速度是：（18010-18015）2=3（千米/小时）.暴雨后水流的速度是：1809-15=5（千米/小时）.暴雨后船逆水而上需用的时间为：180（15-5）=18（小时）8商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走 2 个梯级，女孩每 2 秒向上走 3 个梯级。结果男孩用 40 秒钟到达，女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时有多少级？【答案】100 级【解析】【分析】男孩 40 秒内共走 80 级

14、，女孩 50 秒内共走 502375 级，男孩和女孩走过的级数差是由于在行走过程中，扶梯因自身速度不断缩短导致的，因为扶梯速度不变，因此缩短的级数差就是因为时间不同所导致的，（8075）（5040）0.5 就是扶梯速度，用男孩 40 秒内走的级数加上缩短的级数即可。【详解】40280（级）；5023 253 75（级）；（8075）（5040）510 0.5（级/秒）；800.540 8020 100（级）；答：该扶梯静止时有 100 级。【点睛】先求出扶梯速度是解答本题的关键，再用男孩或女孩所走的级数加上缩短的级数即可。二、工程 在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项

15、工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作三个量，它们之间的基本数量关系是：工作量=工作效率时间 工作时间=工作量工作效率 工作效率=工作量工作时间 小学数学中，将探讨这三个数量之间关系的应用题，叫做“工程问题”。1基本效率算 最常见的工程问题，基本思路是根据工作过程计算效率，通过对效率的分析计算时间。（1）基本工程问题：关键在于效率的计算；（2）中途离开或者加入型：算清楚每个人工作的时间或者合作的时间即可；（3）来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间，再根据总时间算出每个人具体的工作安排。2具有周期性的工程（1）轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量，再独做处理零头，即剩余的工作量；

16、（2）间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理。3工程中的比例（1）正反比例的应用：关键要明确“什么是不变的”，从而知道该用何种比例；（2）效率变化：类似于行程问题中的变速问题，需要从变速点分段计算。4水管和牛吃草（1）牛吃草问题型：设效率，比较总量；（2）水管问题型：注意有“帮倒忙”的水管。9师徒二人共加工零件 400 个，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【答案】100 个【解析】【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:39 15，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的553和

17、353，师傅比徒弟多加工零件534001005353个。10甲、乙两个工程队，甲工程队每工作 6 天休息一天，乙工程队每工作 5 天休息两天一项工程，甲队单独做需要 104 天完成，乙队单独做需经 82 天完成如果两队合做，从 2008 年 6 月 28 日开工，则该工程在哪一天可以竣工？【答案】2008 年 8 月 12 日【解析】【分析】由题意可知，在一周的时间里甲工作 6 天休息 1 天，乙工作 5 天休息 2 天分别求出独立完成的时间里实际的工作时间，把这项工作看成单位“1”，把二队合做的工作效率表示出来，再求出二队合做的工作时间，再加上休息的时间就是需要的时间，最后根据开工时间推算出

18、完工时间【详解】1047=14（天）6（天），甲队完成工程休息了 14 天，工作 15 周，实际工作时间：10414=90（天），他的工作效率就是；827=11（天）5（天），乙队完成工程休息了 112=22（天），工作 12 周，实际工作时间：8222=60（天），他的工作效率就是；合作需要：1（+）6.67 周 工作 6 周的时候，还剩下的工作量：1（+）6=1=，合作还需：（+）=3.6 天4（天），所以 6 周零 4 天（合 46 天）的时候可以全部完成 答：从 2008 年 6 月 28 日开工，2008 年 8 月 12 日可以完工 1112 头牛 28 天可以吃完 10 公亩牧场

19、上全部牧草，21 头牛 63 天可以吃完 30 公亩牧场上全部牧草多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？【答案】36 头【解析】【详解】设 1 头牛 1 天吃 1 份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（216330-122810）（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：216330-0.363=25.2（份），则 72 公亩的牧场 126 天可提供牧草：（25.2+0.3126）72=4536（份），可供养 4536126=36 头牛 12甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池.现在，先打开甲管，

20、10 分钟后打开乙管，经过 3 分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入 0.6 立方米水，这个水池的容积是多少立方米？【答案】27 立方米【解析】【详解】解：设水池容量为 1，甲、乙两管共同注水 3 分钟，注入水量是39=13.甲每分钟注入水量是（1-13）10=115,乙每分钟注入水量是19-115=245,因此水池容积是 0.6(115-245)=27(立方米)答：水池容积是 27 立方米.13由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页天）如果公司聘任 5 名打字员，24

21、 天就恰好打完所有材料；如果公司聘任 9 名打字员，12 天就恰好打完所有材料公司聘任了若干名打字员，工作 8 天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用 40 天才恰好完成打字工作问：公司聘任了多少名打字员？【答案】3 名【解析】【分析】和解决牛吃草问题类似，需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量 设每个打字员的打字速度为单位 1天（具体页数不知道，用单位 1 表示），比较“如果公司聘任 5 名打字员，24 天就恰好打完所有材料；如果公司聘任 9 名打字员，12 天就恰好打完所有材料”可以得到：由“5 名打字员，24 天就恰好打完所有

22、材料”得材料总量为 524120 由“9 名打字员，12 天就恰好打完所有材料”，得材料总量为 912108 比较这两个总量，可以得到材料每天的增加情况：（120-108）（24-12）=l 进一步，可以得到原有材料的情况：120-241 96（单位 1）或者 108-121 96最后，看一下所求问题中的总量，“工作 8 天之后，每天新增的材料少了一半，这些打字员共用 40 天恰好完成”计算材料总量 96+l8+（40-8）l2120 聘任的打字员人数为 12040=3（名）【详解】解：设每个打字员的打字速度为单位 1天 材料每天增加：（524-912）（24-12）=1 原有材料：120-2

23、41=96 （或者 108-121=96）实际材料总量：96+l8+（40-8）l2=120 打字员人数为：12040=3（名）答：公司聘任了 3 名打字员 三、用 1、利和折扣 利润和折扣是我们在日常生活中的商品买卖中经常遇到的百分数问题。例如，某商品的买入价（也叫进货价或成本价）是 100 元，以 130 元卖出，那么就获得利润 30 元。用利润成本，即 30100=0.3=30%，我们就可以说获得了 30%的利润，利润率就是 30%。商品有时会打折出售，“几折”就是表示十分之几，也就是定价的百分之几十。比如，定价 100 元的商品，现在促销，以八折出售。就是表示按照 100 元的 80%

24、出售。常用的数量关系有：定价=成本+利润 利润=售价-成本 利润率=（售价-成本）成本 售价=成本（1+利润率）成本=售价（1+利润率）一般解题思路有下面几种：（1）逻辑思想：利用经济类的公式，抓不变量（一般情况下，成本是不变的）；（2）方程思想：列方程解决问题；（3）假设法（数字带入法）：对于不涉及实际价钱关系的时候，我们可以用假设法，假设一个数字（或份数）来求解。2、利率和税率 存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息占本金的百分率叫做利率。应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率。利息=本金利率时间 应纳税额=收入税率 在现实社会中，各

25、种税率是不一样的。应纳税额的计算从根本上讲是求一个数的百分之几是多少。14天虹超市同时售出两件商品，售价都是 1200 元，一件是正价品，可以赚 20%，另一件是促销品，要赔 20%。就这两件商品而言，通过列式计算说明天虹超市是赚是赔。【答案】赔了【解析】【分析】据题意，把原价看作单位“1”，第一种商品的总价是原价的 120%，用售价除以 120%得出原价，再乘 20%，得出赚的钱；第二种商品售出的价格是原价的 80%，用售价除以 80%得出原价，再乘 20%，得出赔的钱，再计算是赚，还是赔即可。【详解】正品赚了：1200(1+20%)20%=12001.20.2=10000.2=200（元）

26、处理品赔了：1200(120%)20%=12000.80.2=15000.2=300（元）总计：300200=100（元），即赔了。答：赔了。【点睛】此题属于已知比一个多（或少）百分之几的数是多少求这个数，解答关键是确定单位“1”，单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法解答。15某酒店 5 月份的营业额中应纳税的部分按 3%缴纳增值税后还剩 12.61 万元，该酒店 5月份的营业额中应纳税的部分是（）A12.23 万元 B13 万元 C11.8 万元【答案】B【解析】【详解】12.61（13%）12.6197%12.610.97 13（万元）；答：该酒店 5 月份的营业额中应纳税的部分是

27、13 万元 故选：B 16购物方式对比。某超市举行店庆促销活动，推出三种结算方式：现金支付：每满 10 元，积分 1 分，积分 1 分可抵现金 1 元使用。支付宝支付：直接按八五折支付。微信支付：随机减免的方式。李阿姨到超市购买了一些大米，大米每千克 7.2 元，应该支付 86.5 元。她选用微信支付，结果随机减免了 10.38 元。（1）在此次购物过程中，最终李阿姨享受到了几折优惠？（2）在此次购物过程中，如果李阿姨选用现金支付，加上积分抵扣的话，李阿姨实际支付多少就行了？这样支付的钱实际是原来的百分之几？(百分数保留整数)（3）在此次购物过程中，如果李阿姨选用支付宝支付，李阿姨最终会为此次

28、购物花费多少元？【答案】（1）八八折（2）78.5 元；91%（3）大约 73.53 元【解析】【详解】（1）(86.510.38)86.588%八八折（2）86.5108（分）86.5878.5（元）；78.586.591%（3）86.585%73.53(元)17张奶奶 2006 年 5 月在银行存款 15000 元，存期 1 年，年率利为 2.25%2007 年到期取出后，张奶奶应缴纳利息税多少元？（存款的利息按 5%的税率纳税）张奶奶取回本金和利息一共多少元？【答案】解：150002.25%15%=150000.022510.05=16.875（元）答：张奶奶应缴纳利息税 16.875

29、元 15000+150002.25%1（15%）=15000+150000.022510.95=15000+320.625=15320.625（元）答：张奶奶取回本金和税后利息一共 15320.625 元【解析】【详解】【分析】此题中，本金是 15000 元，时间是 1 年，利率是 2.25%，（1）求利息税，运用关系式：利息税=本金年利率时间5%；（2）求本金和税后利息，运用关系式：本息=本金+本金年利率时间（15%），解决问题 18原来将一批水果按 100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按 38%的利润重新定价，这样出售了其中的 40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次

30、降价，售出了全部水果结果实际获得的总利润是原来利润的 30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？【答案】62.5%【解析】【分析】要求第二次降价后的价格是原定价格的百分之几，首先要求出第二次降价后是按百分之几的利润定价的如果把一批水果的总量看作“1”，设第二次降价是按 x 的利润定价，根据总利润可列方程求解【详解】解：设第二次降价是按 x 的利润定价，根据总利润可列以下方程；38%40%+x(140%)=30.2%解得 x=25%所以第二次降价后的价格是原定价格的：(100+25)%(100+100)%=62.5%答：第二次降价后的价格是原定价格的 62.5%四、和差倍数用 1和

31、差 已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少，叫和差问题。基本数量关系是：小数=（和差）2 大数=小数差（大数=和小数）或：大数=（和差）2 小数=大数差（小数=和大数）解答和差应用题就是求一大一小两个数，通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。2和倍 已知两个数的和与两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，通常把它叫做“和倍问题”。数量关系是：和（倍数+1）=小数；小数倍数=大数（

32、或两数和-小数=大数）和倍问题是典型应用题的一种。解答时，一般是在已知条件中确定小数为标准，假设小数为 1 倍或 1 份，再根据其他几个数与小数的倍数关系，确定总和相当于 1 倍数的多少倍，然后再用除法求出 1 倍数，进而求出其他各数。解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径有时，我们也会结合列方程解应用题的方法解答此类问题。有时，题目中不出现“和”、“倍”这些字样，这时要善于找出隐藏条件。比如，已知几个数的平均数，就可以求出这几个数的和；已知两数相除的商，也就间接知道了两数的倍数关系等等。3.差倍问题 知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要

33、求两个数各是多少，称为“差倍问题”。基本数量关系式是：两数差（倍数1）=较小的数（1 倍数）较小的数倍数=较大的数（几倍数）差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到 1 倍量，再画图确定解题方法被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。4.变倍问题 所谓“变倍问题”，是指两个数量之间的倍数关系，随着一个或者两个数量的增加或者减少而发生改变的一类应用题。常用图像法和假设法来解题。解答“变倍问题”一般要用到这样一个规律：甲数是乙数的 n 倍，如果乙数增加或者减少,那么甲数就要增加或者减少 mn，才能使甲数仍是乙数的 n 倍。变

34、倍问题中，不变量往往是解决问题的关键。牢固树立抓“不变量”的思想，变倍问题中的不变量，一般有三类：“甲是乙的 2 倍，甲是丙的 3 倍”不变量是甲 “甲是乙的 3 倍，甲给乙 2，甲变成乙的 2 倍”不变量是甲、乙之和（给来给去和不变）“甲是乙的 3 倍，甲、乙都减少 2，甲变成乙的 4 倍”不变量是甲、乙之差（同增同减差不变）要根据题目要求，选择合适量作为“1”份量，如果设为“1”份不好算，我们可以选择一个合适的数设为多份。19奥斑马和小美各有钱若干元若小美给奥斑马 10 元，则奥斑马比小美多的钱是小美余下来的钱数的 5 倍；若奥斑马给小美 10 元，则他们的钱数正好相等奥斑马和小美原来各有

35、多少钱？【答案】38 元、18 元。【解析】【详解】10220（元）小美原有：（102+102）5+1018（元），奥斑马原有：18+2038（元）答：奥斑马和小美原来各有 38 元、18 元。20甲箱有 280 个梨，乙箱有 40 个梨，每次从甲箱中取出 8 个梨，放人乙箱，取出多少次后两箱梨个数相等？【答案】15 次【解析】【详解】（280-40）2=120（个）1208=15（次）21一个两位数，在它右边添上 6，成为一个三位数，比原来的两位数大 510，原来的两位数是多少？【答案】56【解析】【分析】本题考查小数点的移动规律从“在它右边添上 6，成为一个三位数”可知，原数的小数点要向右

36、移动一位，从“在它右边添上 6 与比原来的两位数大 510”可知，用 510 减去 6，得到原数的 9 倍【详解】（5106）（101）=5049=56 答：原来的两位数是 56 22李明今年 10 岁，而他的爸、妈年龄和是 86 岁再过几年，他们的平均年龄是 36 岁？【答案】4 年【解析】【分析】先根据他们的平均年龄是 36 岁，即可求出几年后李明和他的爸、妈年龄之和是 363=108（岁），再减去今年李明和他的爸、妈年龄之和，就是三人增加的年龄，再除以 3 即可求出过了几年【详解】363（86+10）3，=108963，=123，=4（年），答：再过 4 年，他们的平均年龄是 36 岁【

37、点睛】解答此题关键是明白每过一年，李明和他的爸、妈的年龄都各长一岁，再根据几年前与几年后三人的年龄和之差，求出三人增长的年龄，是解题关键 23有两桶油，甲桶油比乙桶油少 15 千克，现在把乙桶油的 倒入甲桶，这时甲桶油比乙桶油多 5 千克，乙桶油原来有多少千克？【答案】250 千克【解析】【分析】由“甲桶油比乙桶油少 15 千克，现在把乙桶油的 倒入甲桶，这时甲桶油比乙桶油多 5千克，”知道是把乙桶原来的看做单位“1，由原来的甲桶油比乙桶少油，到后来的甲桶油比乙桶油多，实际是倒入了（15+5）的一半，也就是乙桶油的 找准具体数和对应的量，即可解答关键是找准单位“1”，找准单位“1”对应的具体的

38、数量和单位“1”对应的分数，用除法计算即可【详解】（15+5）（2）=20225=250（千克）答：乙桶油原来有 250 千克 五、兔同“鸡兔同笼”问题是一类著名的数学问题。比如：“鸡兔同笼，共有 45 个头，146 只脚。笼中各有多少只鸡兔？”鸡兔同笼问题的特点是：题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。解题时，首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系，用一个未知数代替另一个未知数，从而将两个未知数装化为一个未知数，解出答案。公式 1：（兔的脚数总只数-总脚数）（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数；总只数-鸡的只数=兔的只数 公式 2：（总脚数-鸡的脚数总只数）（兔的

39、脚数-鸡的脚数）=兔的只数；总只数-兔的只数=鸡的只数 对于简单一些的鸡兔同笼，可以采用画图法来解决。实际解决鸡兔同笼问题是最常用的是假设法。假设法解决鸡兔同笼问题时，往往会分为这样几个步骤：首先，假设笼中全都是鸡或者兔，根据头数（即动物的个数）求出假设时的腿数，再把假设时的腿数与实际情况相比较，找到差距和造成差距的原因（例如：把兔假设成鸡造成的腿数差距），经过调整找到正确结果。当然，鸡兔同笼问题不仅仅指这些以“鸡”“兔”为内容的问题，而是说可以用这类思想方法来解决问题。有时题目中会把所谓的“头数”和“腿数”隐藏起来，这时就需要挖掘隐藏条件。24鸡兔同笼，有 25 个头，80 条腿，鸡兔各有多

40、少只？【答案】10 只鸡，15 只兔【解析】【详解】假设 25 只全是兔，则一共有腿 254=100 条，这比已知的 80 条腿多了 100-80=20 条，因为1 只兔比 1 只鸡多 4-2=2 条腿，所以鸡有：202=10 只，则兔有 25-10=15 只 25鸡比兔多 3 只，鸡腿比兔腿少 8 条，鸡和兔各有多少只？【答案】兔：7 只 鸡：10 只【解析】【分析】假设鸡减少 3 只，则鸡兔只数相同，因为鸡腿少了 32=6 条，而原来鸡腿比兔腿少 8 条，所以此时鸡腿比兔腿少 6+8=14 条，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份中鸡腿比兔腿少 4-2=2 条，142=7 份，即兔有 7 只，鸡

41、有 7+3=10 只【详解】解：假设鸡减少 3 只，则鸡兔只数相同 兔：（32+8）（4-2）=7（只）鸡：7+3=10（只）26某电视机厂每天生产电视 500 台，在质量评比中，每生产一台合格电视得 5 分，生产一台不合格电视倒扣 18 分，如果某天得了 2316 分，那么这天生产了多少台合格电视？【答案】492 台【解析】【分析】假设全合格，那么能得 50052500 分，这样就少得了：25002316184 分，因为不合格一台比合格一台少得：（185）23，则有不合格电视：184238（台），由此即可求出合格的台数。【详解】（50052316）（185）18423 8（台）合格：5008

42、492（台）答：这天生产了 492 台合格电视机。27盒子里装有 5 角硬币和 1 角硬币共 45 个，一共是 10.5 元每种硬币各有多少个？【答案】1 角：30 个 5 角：15 个【解析】【分析】假设全是 5 角的硬币，则总价值是 455=225 角，这比已知的 10.5 元=105 角多出了 225105=120 角，因为 1 枚 5 角的硬币比 1 枚 1 角的硬币多 51=4 角，由此即可得出 1 角的硬币有：1204=30 枚，则 5 角的硬币有 4530=15 枚【详解】解：10.5 元=105 角 假设全是 5 角的，则 1 角的有：（455105）（51）=1204=30（

43、个）5 角的有：4530=15（个）答：1 角的硬币有 30 个，5 角的硬币有 15 个 28体育馆里 20 张乒乓球台上共有 54 人在打球正在进行单打和双打的乒乓球台各有几张？【答案】单打的乒乓球台有 13 张，双打的乒乓球台有 7 张【解析】【分析】假设 20 张乒乓球台全是单打，则应有 202=40 人，而实际有 54 人比赛，实际就比假设多了 5440=14 人，这是因为每张双打的球台上就比每张单打的多 42=2 人。据此可求出双打乒乓球台的张数，再用 20 去减，就是单打乒乓球台的张数。据此解答。【详解】（54202）（42）=（5440）2=142=7（张）207=13（张）答

44、：正在进行单打的乒乓球台有 13 张，双打的乒乓球台有 7 张。【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。六、化 最优化问题是如何根据实际情况，合理安排工作顺序，使得总时间或总花费最少，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果。1、有很多工作需要做时，我们把能同时做的工作同时做，可以节约时间；不能同时做就要合理安排工作顺序；2、最优化问题中，我们往往需要找到最短时间、最短距离、最少花费的最优方案。在这类问题中，比较和调整是常用技巧，当我们不能直接得到最有方案时，可以从一个可行的方案 出发，通过适当调整让方案

45、更优。如果任何调整都不能使方案更优，此时的方案就是最佳方案。29星期天，小敏的妈妈要做下面几件事情，请你帮她合理安排，使她尽早完成妈妈做完这些事情，至少要用几时几分？要做的事情 大约所用时间 整理房间 30 分钟 烧一壶水 15 分钟 用洗衣机自动洗涤被罩 1 小时 手洗小敏的衣服 25 分钟 用烘干机烘干小敏的衣服 20 分钟 【答案】1 小时 15 分【解析】【分析】解答此类问题的关键是：按照既节约时间又不使各道程序相互矛盾的原则进行安排，由题意可以这么安排：用洗衣机自动洗涤被罩，同时可以整理房间、烧一壶水，烧水的同时可以手洗小敏的衣服，最后用烘干机烘干小敏的衣服，据此解答即可。【详解】3

46、0+20+25=75（分）=1 小时 15 分.答：至少要用 1 小时 15 分。30用一只平底锅煎饼，每次只能放两只，煎一只需要 4 分钟（规定正反两面各需要 2 分钟），问煎 3 只至少需要多少分钟？煎 2016 只至少需要多少分钟？【答案】6 分钟；4032 分钟【解析】【详解】3 只饼需要的时间是：236（分钟）；两只饼同时煎需要 4 分钟；2016 只共需要：201624 10084 4032（分钟）答：煎 3 只至少需要 6 分钟，煎 2016 只至少需要 4032 分钟 31张老师打电话给学生并且告诉学生可以互相通知到校上课，要使 30 个同学都被通知，最少要用_分钟（假如每打一

47、人要 1 分钟时间）【答案】5【解析】【分析】第一分钟老师和学生一共有 2 人；第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了 12=2 人，第二分钟老师和学生一共有：2+2=4 人；第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了 14=4 人，第二分钟老师和学生一共有：4+4=8 人；同理，每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的 2 倍，由此找出通知 30 个人需要的时间【详解】每增加 1 分钟收到通知的学生和老师的人数是前一分钟收到通知的学生和老师的人数的 2倍，那么接到通知的人数如下：第一分钟有老师和学生 2 人，第二分钟有 4 人，第三分钟有 8 人，第四分钟有 16 人，第五分钟可以有

48、32 人；第五分钟最多有老师和学生共 32 人；321=31；3130；所以最少用 5 分钟就能通知到每个人 故答案为 5 32广告公司招聘业务员,现在有四人到单位面试,张明需要 16 分钟,李冬需要 15 分钟,周华需要 14 分钟,王伟需要 19 分钟,问面试人员怎样安排面试顺序,使得他们面试及等待的总时间最少?总时间又为多少?【答案】应先安排周华，再安排李冬，然后安排张明，最后安排王伟；152 分钟【解析】【详解】应先安排周华，再安排李冬，然后安排张明，最后安排王伟。等待的总时间为：14+（14+15）+（14+15+16）+（14+15+16+19）=14+29+45+64=152（分

49、）答：先安排周华，再安排李冬，然后安排张明，最后安排王伟这样可以使得他们面试及等待的总时间最少，等待总时间最少 152 分钟。33甲、乙两人玩下面的游戏：有三堆玻璃球，A 堆有 29 个，B 堆有 16 个，C 堆有 16个，甲、乙两人依次从中拿取，每次只许从同一堆中拿，至少拿一个，多拿不限，规定拿最后一个者获胜问如果甲先拿，他有无必胜的策略？【答案】甲先取时，甲把 A 堆中的 29 个球全部取走，这时留给乙的是两堆球数相同且个数不等于 1 的局面然后按照两堆球游戏的策略，甲就能获胜【解析】【详解】当只有两堆球，且两堆球的个数相同且个数不等于 1 时，先拿的必败 甲先取时，甲把 A 堆中的 2

50、9 个球全部取走，这时留给乙的是两堆球数相同且个数不等于 1的局面然后按照两堆球游戏的策略，甲就能获胜 34沙漠北部气象台观测出半个月后将有沙漠风暴袭击南部某镇在已有的条件下，气象台成员只有步行穿越沙漠一个办法，才能把情报送到南部，而每人步行穿过沙漠的时间都是 12 天，每人最多只能带 8 天的粮食，现在需要用最少的人把情报传递出去，假设每人饭量相同，所带食物也一样，最少需要几个人才能完成任务？【答案】最少需要 3 人【解析】【详解】送法如下：3 个人同时出发，先同时吃第一个人的食物，共同走 2 天后，第一个人只剩 2天的食物，这些食物正好够他返回路上吃，第二人和第三人在共同前进的 2 天中再同吃第二人的食物这样第二人只剩下 4 天的食物，又正好够他在返回时吃这样第三个人还有 8 天的路程，也还有 8 天的食物，正好可以穿越沙漠完成任务了