用定义证明函数极限方法总结

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1、用定义证明函数极限方法总结144163369.doc第 1 页 共 4 页 用定义证明函数极限方法总结: 用定义来证明函数极限式limf(x)=c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa不同。 方法1：从不等式f(x)-ce中直接解出(或找出其充分条件)x-ah(e)，从而得d=h(e)。 方法2：将f(x)-c放大成jx-a，解jx-ae，得x-ah(e)，从而得()()d=h(e)。 部分放大法：当f(x)-c不易放大时，限定0x-ad1，得f(x)-cj(x-a)，解j(x-a)e，得：x-ah(e)，取d=mind1,h(e)。 用定义来证明函数极限式limf(x)=c，方法：

2、x方法1：从不等式f(x)-ch(e)，从而得A=h(e)。 方法2：将f(x)-c放大成jx-a，解jx-ah(e)，从而得()()A=h(e)。 部分放大法：当f(x)-c不易放大时，限定xA1，得f(x)-cjx-a，解()j(x-a)h(e)，取A=maxA1,h(e)。 平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。 例1 证明：lim(2x+3)=7。 x2证明：e0，要使： (2x+3)-7=2x-2e，只要 2x-2e，即0x-2取d=e2， e2，即可。 x2-12=。 例2 证明：lim2x12x-x-13x-1x2-12x+12分析：因为，放大时，只有限制-=-=22x-

3、x-132x+1332x+1144163369.doc第 2 页 共 4 页 0x-11，即0x0，限制0x-11，即0x2，要使； x-1x-1x-1x-1x2-12x+12e，只要 -=-=e32x2-x-132x+1332x+13(2x+1)3即0x-10，限制0x-a1-a1+a1，要使： ，所以x22x+ax-a1-a21-x2-1-a2=x2-a21-x+1-a222x-a1-a2e， 只要 2x-a1-a1-a21-a2,e，即可。 e，取d=mine，即0x-a22221-ax3, x1例4 设f(x)=，证明:limf(x)=1。 x12, x=132证明：当x1时，f(x)

4、-1=x-1=x-1x+x+1 2限制0x-11，则xx-1+12，x+x+10，要使： f(x)-1=x-1x2+x+17x-1e， 只要7x-1e，即x-1e7，取ed=min1,，当0x-1d时，有：7f(x)-1e， limf(x)=1 x1说明：这里限制自变量x的变化范围0x-11，必须按自变量x的变化趋势来设计，xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！ 2错解：设x1，则x+x+13，要使： f(x)-1=x-1x2+x+13x-1e，只要0x-1e3，取d=min1,， e3144163369.doc第 3 页 共 4 页 当0x-1d时，有：f(x)-1e。limf(

5、x)=1。 x1例5 证明:lim1=1。 x12x-12x-11证明：考察，Q2x-1=2(x-1)+11-2x-1 -1=2x-12x-1限制0x-10，要使： 4222x-1e1-1=4x-1e，只要4x-1e，即x-1， 42x-12x-11e441-1e， 2x-1取d=min,，当0x-1d时，有： limx11=1。 2x-11，则4说明：在以上放大f(x)-A的过程中，先限制0x-1得：2x-111。其实任取一个小于的正数d1，先限制0x-1d1，则2210x-1或0x-11，则不2x-11-2x-11-d12m=。 x=2。 x24x-7证明：考察7x-271x，Q仅在x=的

6、邻域内无界，所以，限制-2=44x-74x-74x-71710x-20，要使： 7x-27x-2ex只要14x-2e，即x-2， -2=14x-2e，144x-74x-71-4x-2取d=min,x1e，当时，有：-2e， 0x-20，要使： ax-1e1-eax1+eloga(1-e)xloga(1+e)xx当0x-0d时，有：a-10，limf(x)=A，证明：limxx0nxx0f(x)=nA，其中n2为正整数。 证明：因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A0；当A0时， e0，由limf(x)=A，知：$d0，当0x-x0d时，有：f(x)-Ae xx0 nf(x)-nA=f(x)-A(nf(x)n-1+(nf(x)(A)+L+(n-2nnnf(x)(A)nn-2+(A)nn-1f(x)-A(A)nnn-10，由lxx0，知：$d0，当0x-x0d时，有：f(x)e f(x)-0ne，故：limnxx0f(x)=0。证毕