用定义证明函数极限方法总结

用定义证明函数极限方法总结144163369.doc第 1 页 共 4 页 用定义证明函数极限方法总结: 用定义来证明函数极限式limf(x)=c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节x®a不同。 方法1：从不等式f(x)-c<e中直接解出(或找出其充分条件)x-a<h(e)，从而得d=h(e)。 方法2：将f(x)-c放大成jx-a，解jx-a<e，得x-a<h(e)，从而得()()d=h(e)。 部分放大法：当f(x)-c不易放大时，限定0<x-a<d1，得f(x)-c£j(x-a)，解j(x-a)<e，得：x-a<h(e)，取d=mind1,h(e)。 用定义来证明函数极限式limf(x)=c，方法： x®¥方法1：从不等式f(x)-c<e中直接解出(或找出其充分条件)x>h(e)，从而得A=h(e)。 方法2：将f(x)-c放大成jx-a，解jx-a<e，得x>h(e)，从而得()()A=h(e)。 部分放大法：当f(x)-c不易放大时，限定x>A1，得f(x)-c£jx-a，解()j(x-a)<e，得：x>h(e)，取A=maxA1,h(e)。 平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。 例1 证明：lim(2x+3)=7。 x®2证明："e>0，要使： (2x+3)-7=2x-2<e，只要 2x-2<e，即0<x-2<取d=e2， e2，即可。 x2-12=。 例2 证明：lim2x®12x-x-13x-1x2-12x+12分析：因为，放大时，只有限制-=-=22x-x-132x+1332x+1144163369.doc第 2 页 共 4 页 0<x-1<1，即0<x<2，才容易放大。 证明："e>0，限制0<x-1<1，即0<x<2，要使； x-1x-1x-1x-1x2-12x+12<e，只要 -=-=£<e32x2-x-132x+1332x+13(2x+1)3即0<x-1<3e，取d=min(1,3e)，即可。 例3 证明：lim1-x=1-a，。 x®a22证明："e>0，限制0<x-a<1-a1+a<1，要使： ，所以x<22£x+ax-a1-a21-x2-1-a2=x2-a21-x+1-a22£2x-a1-a2<e， 只要 2x-aæ1-a1-a2ö1-a2,e÷，即可。 e，取d=minç<e，即0<x-a<2ç÷2221-aèøìx3, x¹1例4 设f(x)=í，证明:limf(x)=1。 x®1î2, x=132证明：当x¹1时，f(x)-1=x-1=x-1x+x+1 2限制0<x-1<1，则x£x-1+1<2，x+x+1<7。"e>0，要使： f(x)-1=x-1x2+x+1£7x-1<e， 只要7x-1<e，即x-1<e7，取ìeüd=miní1,ý，当0<x-1<d时，有：î7þf(x)-1<e， limf(x)=1 x®1说明：这里限制自变量x的变化范围0<x-1<1，必须按自变量x的变化趋势来设计，x®a时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！ 2错解：设x£1，则x+x+1<3，要使： f(x)-1=x-1x2+x+1£3x-1<e，只要0<x-1<e3，取d=miní1,ý， ìeüî3þ144163369.doc第 3 页 共 4 页 当0<x-1<d时，有：f(x)-1<e。limf(x)=1。 x®1例5 证明:lim1=1。 x®12x-12x-11证明：考察，Q2x-1=2(x-1)+1³1-2x-1 -1=2x-12x-1限制0<x-1<111，则2x-1³1-2x-1³1-=，。"e>0，要使： 4222x-1e1-1=£4x-1<e，只要4x-1<e，即x-1<， 42x-12x-1ì1eüî44þ1-1<e， 2x-1取d=miní,ý，当0<x-1<d时，有： limx®11=1。 2x-11，则4说明：在以上放大f(x)-A的过程中，先限制0<x-1<得：2x-1³11。其实任取一个小于的正数d1，先限制0<x-1<d1，则2210<x-1<或0<x-1<1，则不2x-1³1-2x-1³1-d12m=。 x=2。 x®24x-7证明：考察7x-271x，Q仅在x=的邻域内无界，所以，限制-2=44x-74x-74x-71710<x-2<，则4x-7=4(x-2)+1³1-4x-2³。842"e>0，要使： 7x-27x-2ex只要14x-2<e，即x-2<， -2=££14x-2<e，144x-74x-71-4x-2取d=miní,xì1eü，当时，有：-2<e， 0<x-2<dý4x-7î814þx=2。 x®24x-7x®0 limx例7 用定义证明极限式：lima=1， 证明："e>0，要使： ax-1<eÜ1-e<ax<1+eÜloga(1-e)<x<loga(1+e)xx当0<x-0<d时，有：a-1<e。故lima=1。证毕 x®0例8 设f(x)>0，limf(x)=A，证明：limx®x0nx®x0f(x)=nA，其中n³2为正整数。 证明：因为，f(x)>0，由极限保不等式性知，A³0；当A>0时， "e>0，由limf(x)=A，知：$d>0，当0<x-x0<d时，有：f(x)-A<e x®x0 nf(x)-nA=f(x)-A(nf(x)n-1+(nf(x)(A)+L+(n-2nnnf(x)(A)nn-2+(A)nn-1£f(x)-A(A)nnn-1<e(A)nn-1，故：limnx®x0f(x)=A。 im(f)x0=当A=0时："e>0，由lx®x0，知：$d>0，当0<x-x0<d时，有：f(x)<e f(x)-0<ne，故：limnx®x0f(x)=0。证毕