charpt14静电场的高斯定理ppt课件

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1、第三节：静电场的高斯定理及其应用高斯高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)电场线电力线）电场线电力线）(electric line of force)电场线假想曲线）电场线假想曲线）在电场中描绘一曲线，使曲在电场中描绘一曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致；线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致；某点的曲线疏密程度表示电场强度的大小。某点的曲线疏密程度表示电场强度的大小。SNNS则力线密度，目为穿过此面元的电力线数垂直的面元取与该点电场强度方向电力线密度：,SNE该点的电力线密度规定：每点的场强电力线的性质：电力线的性质：(1)它起始于正电荷无穷远

2、终止于负电荷它起始于正电荷无穷远终止于负电荷无穷远）。力线不会在没有电荷的地方中断。无穷远）。力线不会在没有电荷的地方中断。(2)在无电荷处电力线不会相交。（单值）在无电荷处电力线不会相交。（单值）(3)若带电体中正负电荷一样多若带电体中正负电荷一样多,则由正电荷发则由正电荷发出的力线全部终止于负电荷。出的力线全部终止于负电荷。(4)静电场的电力线不会形成闭合曲线。静电场的电力线不会形成闭合曲线。S000Sdv通量00Ll dv环量vdsds面元与管壁垂直面元与管壁垂直dsvds面元与管壁不垂直面元与管壁不垂直问题：在上述两种情况中，单位时间内流过面元的流体问题：在上述两种情况中，单位时间内流

3、过面元的流体量相同否？量相同否？通量：单位时间内通过某个面的流体体积。通量：单位时间内通过某个面的流体体积。通量：通量：sdvsdvsdvdnndssdss流过封闭面积的通量：流过某一面积的通量：流过面元的通量：为面元法向量面元矢量：)(,通量定义：通量定义：电通量电通量通过任一面元的电场线的条数称为通过这一面元的通过任一面元的电场线的条数称为通过这一面元的电通量。电通量。dSdSEn cos)cos(dSnEdSdSdSdS 面元在垂直于场强方向的投影是面元在垂直于场强方向的投影是 ，cosEdSEdSde面元电通量：面元电通量：SdEdedS所以通过它的电通量等于面元所以通过它的电通量等于

4、面元 的电通量的电通量,又因又因ENSESNE,【商定】：【商定】：一般的面元，面法向量指向凸的一侧；一般的面元，面法向量指向凸的一侧；封闭面外法线为正，那么封闭面外法线为正，那么 e 为正(出)；A点点,90 0,e 为负(入)。【例如】：【例如】：E线穿出闭面通量为正；线穿出闭面通量为正；线穿入闭面通量为负。线穿入闭面通量为负。nEBEnA 闭面的电通量闭面的电通量E平面角与立体角平面角与立体角弧弧度度圆圆周周角角：弧弧度度弧弧长长 2:2211SrSrS 1r2r1S2S平面角定义：平面角定义：即：固定的两个半径之间的张角不变，与半径长度无关。即：固定的两个半径之间的张角不变，与半径长度

5、无关。单位：球面度222211rSdrrSdrd立体角立体角dSdSn Er d锥体张角锥体张角4sinsin200222ddrddrrdS球面所张立体角：一般封闭曲面的一般封闭曲面的立体角为立体角为4p任意曲面同样可以定义立体角任意曲面同样可以定义立体角三三.高斯定理高斯定理穿过以点电荷穿过以点电荷 q 为中心为中心 的球面的电通量的球面的电通量如图如图,设球面设球面 S 的半径的半径为为 r，S 面上各处面上各处dSrqSdEde204首先讨论穿过闭合曲面首先讨论穿过闭合曲面 的通量。的通量。E穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0E,420rqE

6、处处沿处处沿 S 面法向，面法向，120d4SSrq1SeedSrqSd412022044rrq,0qe即穿过以穿过以q为中心的球面的电通量为中心的球面的电通量E+qSdqrdSq02044穿过包围点电荷穿过包围点电荷 q 任意闭面的电通量任意闭面的电通量SESEecosddd在闭面在闭面S 内作一以内作一以 q为中心的任意半径的球面为中心的任意半径的球面S”。由由1.的结论可知，穿过的结论可知，穿过S”的电通量为的电通量为 q/0，元立体角元立体角d 内的电通量为内的电通量为qd40将将d 锥面延长，在闭面锥面延长，在闭面S 上截出一面元上截出一面元dS Sqd40qSed400qEndSd

7、S”dS”Sq穿过包围穿过包围 q 的任意闭面的电通量的任意闭面的电通量 dSrEn设设dS与与q距离距离r，与与 的夹角的夹角，则穿过，则穿过dS 的电通量的电通量rSSddcosd2而而dqe04d故故那么那么同样，同样，同同S处处穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0E穿过不包围点电荷任意闭面的电通量穿过不包围点电荷任意闭面的电通量sdESdnSd nEq穿过不包围穿过不包围 q 的任意闭面的电通量的任意闭面的电通量024ddddqErSEe由由024ddddqrESEe得得0ddee那么那么0ddeee穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围

8、的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0E依然，依然，同上方法，同上方法，,204rqE,204rqE电力线重复多次穿过曲面，电力线重复多次穿过曲面，在曲面内净通量仍为零。在曲面内净通量仍为零。综上综上穿过包围多个点电荷闭面的电通量穿过包围多个点电荷闭面的电通量,21mqqq设闭面包围设闭面包围m 个点电荷个点电荷mEEEE21闭面上处处有闭面上处处有mnnnnEEEE21法向分量法向分量或或mmEEEEcoscoscoscos2211SESESESEmmdcosdcosdcosdcos2211即即medddd21那么那么me21021)(meqqq或或穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围

9、的电荷的代数和除以通量等于闭面包围的电荷的代数和除以0E内SiSqSE01d高斯定理：高斯定理：其中，其中，V是闭面是闭面S 所包围的空间。所包围的空间。VSEVeSd1dS0内）（或或VESEVSdd由格林公式由格林公式 的散度，有源的散度，有源EeE01可得可得静电场中穿过任一闭面的静电场中穿过任一闭面的 通量等于闭面内通量等于闭面内电荷的代数和除以真空的介电常数电荷的代数和除以真空的介电常数0E微分关系式微分关系式【讨论】：【讨论】：静电场是有源场；静电场是有源场；（保守力场，有势场，无旋场）（保守力场，有势场，无旋场）高斯定理建立了场和场源的联系，即场强对高斯定理建立了场和场源的联系，

10、即场强对封闭面的通量与场源的联系，电荷是源。封闭面的通量与场源的联系，电荷是源。电力线的单值性，可以证明静电场为保守力电力线的单值性，可以证明静电场为保守力场场 电力线不闭合，说明静电场无旋度电力线不闭合，说明静电场无旋度2.2.高斯定理中的场强是由全部电荷产生的。高斯定理中的场强是由全部电荷产生的。通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷，通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷，闭合曲面外的电荷对电通量贡献为零。闭合曲面外的电荷对电通量贡献为零。高斯定理将电荷分为高斯面外、面内，没有正好高斯定理将电荷分为高斯面外、面内，没有正好处于高斯面上的点电荷，点电荷是个相对概念，处于高斯面上的点

11、电荷，点电荷是个相对概念，若高斯面恰好跨过一个带电体，由于高斯面没有若高斯面恰好跨过一个带电体，由于高斯面没有厚度，则该带电体将被分成高斯面外的部分以及厚度，则该带电体将被分成高斯面外的部分以及高斯面内的部分。高斯面内的部分。高斯定理与库仑定律的关系：高斯定理由库仑定律推出：（反之，不行）假设那么即这样，高斯定理不成立。2211rfErfdrqSdESS140电通量)(r高斯定理比库仑定律更普适高斯定理虽然有库仑定律推导出，但适用范围不只局限于静电场。库仑定律是因为静电场中点电荷具有径向性、球对称性，以及作用满足平方反比律。运动电荷由于在运动方向上的特殊性，电场的球对称性被破坏，匀速运动的点电

12、荷场为：仍满足高斯定理高斯定律的用途：高斯定律的用途：(1)当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布。比用电场叠加法简便。出该电荷系统的电场的分布。比用电场叠加法简便。(2)当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、电位分布。的电荷、电位分布。(3)开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反比关系的。这说明它们不是相互独立的定律，而反比关系的。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一客是用不同

13、形式表示的电场与场源电荷关系的同一客观规律。观规律。【例【例】：求点电荷】：求点电荷q 的场强。的场强。【解】：设任一点【解】：设任一点P P 至电荷距离为至电荷距离为r r，以电荷为中心、，以电荷为中心、r r 为半径为半径作球面作球面S S，则，则P P点在点在S S上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面高斯面S S 的电通量的电通量SSSESEdcosd24drESES根据高斯定理根据高斯定理0SdqSE比较两式得比较两式得204rqE304rrqE或或SEP qr 点电荷的场点电荷的场【讨论】：【讨论】：如何选取高斯面如何选取高斯面S；如

14、何利用对称性；如何利用对称性；四四.高斯定理的应用高斯定理的应用【例【例】：均匀薄球壳面电荷的场强分布。】：均匀薄球壳面电荷的场强分布。设球面外任一点设球面外任一点P P 至球心至球心r r，以，以 r r 为半径作同心球面为半径作同心球面S1S1，则，则P P点点在在S1S1上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面S1 S1 的的电通量电通量11dcosdSSSESE24d1rESES根据高斯定理根据高斯定理 0S1dqSE比较两式得比较两式得204rqE304rrqE或或【解】：设球面电荷半径为【解】：设球面电荷半径为R，电量，电量q沿球

15、面均布。沿球面均布。与位于球心的点电荷与位于球心的点电荷q 的场相同。的场相同。S1Pq 球面电荷外的场球面电荷外的场设球面内任一点设球面内任一点Q至球心至球心r 22dcosdSSSESE24d2rESES根据高斯定理根据高斯定理 0d2SSE比较两式得比较两式得0E 球面内的场球面内的场qQS2以以 r r 为半径作同心球面为半径作同心球面S2S2，则，则Q Q点在点在S2S2上。由于静电场的分布是球上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面对称的，所以穿过高斯面S2 S2 的电通量的电通量0 (rR)综上综上ROE0r E-r 曲线曲线【例【例】：均匀球体电荷的场强分布。】：均匀球体

16、电荷的场强分布。设球体外任一点设球体外任一点P 至球心至球心r，以，以 r 为半径作同心球面为半径作同心球面S1，则，则P点在点在S1上。上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面S1 的电的电通量通量11dcosdSSSESE24d1rESES根据高斯定理根据高斯定理0S1dqSE比较两式得比较两式得204rqE304rrqE或或【解】：设球体电荷半径为【解】：设球体电荷半径为R，电量，电量q沿球体均布。沿球体均布。同位于中心的点电荷同位于中心的点电荷q 的场。的场。球体电荷外的场球体电荷外的场qS1P设球体内任一点设球体内任一点Q至球心至球心r

17、，由于静电场的分布是球对称的，所以穿过由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面高斯面S2 的电通量的电通量22dcosdSSSESE24d2rESES根据高斯定理根据高斯定理303S2dRqrSE 以以 r 为半径作同心为半径作同心球面球面S2，则，则Q点在点在S2上。上。综上综上比较两式得比较两式得304RqrE)(420RrrqE)(430RrRqr 球体内的场球体内的场qQS2rROE03Rr E-r 曲线曲线【讨论】：【讨论】：高斯面的选取；高斯面的选取；(对称，过对称，过P 点）点）对称分析；（对称分析；（E 为常量，为常量，cos 为常量）为常量）同类问题：多重球面、球壳、球体电

18、荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重球面、球壳、球体电荷，电荷非均匀分布等；不同心球形电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；不同心球形电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；特殊解法：补偿法根据场强叠加原理）。特殊解法：补偿法根据场强叠加原理）。补偿法补偿法多重球形多重球形r,krk 是常量 非均匀球体非均匀球体【例【例】：均匀长直细棒电荷线密度为】：均匀长直细棒电荷线密度为 ,求其场强分布。求其场强分布。【解】：设任一点【解】：设任一点P 至电荷的距离为至电荷的距离为r，以电荷为轴、半径为，以电荷为轴、半径为r作圆柱面作圆柱面S，柱高，柱高 l，由于静电场的分布是轴对称的，由于静电场的分布是轴

19、对称的，所以穿过高斯面所以穿过高斯面S 的电通量的电通量根据高斯定理根据高斯定理00d1lqeS1S2+lPS3 长直电荷的场长直电荷的场比较两式得比较两式得rE02，方向沿径向。，方向沿径向。SeSEd321dddSSSSESESESESdcos33dSSErlE2此法对有限长直导线无效。此法对有限长直导线无效。【例【例】：均匀长圆柱面电荷的电场分布。】：均匀长圆柱面电荷的电场分布。设圆柱面电荷面密度设圆柱面电荷面密度 为常量，柱面半径为为常量，柱面半径为R。【解】：【解】：设圆柱面电荷外任一点设圆柱面电荷外任一点P 至圆柱面轴线的距离为至圆柱面轴线的距离为r，PlS1rR 柱面外的场柱面外

20、的场1dSeSErlE 21据高斯定理据高斯定理002d1Rlqe比较得比较得rRE01，方向沿径向。，方向沿径向。作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S1，侧面过，侧面过P点，柱高点，柱高 l。设设S1 侧面场强大小为侧面场强大小为E1，方向沿径向，类似例，方向沿径向，类似例 1 分析可得分析可得设圆柱面内任一点设圆柱面内任一点Q至圆柱面轴线的距离为至圆柱面轴线的距离为r，作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S2，侧面过，侧面过Q点，柱高点，柱高 l。设设S2 侧面场强大小为侧面场强大小为E2，方向沿径向，类似例，方向沿径向，类似例 1 分析可得分析可得2dSeSErlE

21、 22据高斯定理据高斯定理0d10qe所以所以02ElS2rRQ 柱面内的场柱面内的场综上综上ROE0r E-r 曲线曲线)(0)(RrRrErR0【例【例】：均匀长圆柱体电荷的电场分布。】：均匀长圆柱体电荷的电场分布。设圆柱电荷体密度设圆柱电荷体密度 为常量，柱面半径为为常量，柱面半径为R。【解】：【解】：设圆柱体电荷外任一点设圆柱体电荷外任一点P 至圆柱体轴线的距离为至圆柱体轴线的距离为r，作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S1，侧面过，侧面过P点，柱高点，柱高 l。设设S1 侧面场强大小为侧面场强大小为E1，方向沿径向，可得，方向沿径向，可得PlS1rR 柱体外的场柱体外的场

22、1dSeSErlE 21据高斯定理据高斯定理020d1lRqe比较得比较得rRE0212，方向沿径向。，方向沿径向。设圆柱体内任一点设圆柱体内任一点Q至圆柱体轴线的距离为至圆柱体轴线的距离为r，作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S2，侧面过，侧面过Q点，柱高点，柱高 l。设设S2 侧面场强大小为侧面场强大小为E2，方向沿径向，类似上例，方向沿径向，类似上例 分析可得分析可得2dSeSErlE 22据高斯定理据高斯定理020d1lrqe所以所以022rE 综上综上)(2)(2002RrrRrrREROE02Rr E-r 曲线曲线rRQ 柱体内的场柱体内的场lS2【讨论】：【讨论】：高

23、斯面的选取；高斯面的选取；(P 点在端面行吗？）点在端面行吗？）对称分析；（有限长直电荷行吗？）对称分析；（有限长直电荷行吗？）同类问题：多重圆柱面、体电荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重圆柱面、体电荷，电荷非均匀分布等；不同轴长直电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；不同轴长直电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；特殊解法：补偿法根据场强叠加原理）。特殊解法：补偿法根据场强叠加原理）。rkrk 是常量 多重圆柱形多重圆柱形 非均匀圆柱体非均匀圆柱体 补偿法补偿法由高斯定理由高斯定理【例【例】：均匀无限大平面电荷场强的分布。】：均匀无限大平面电荷场强的分布。【解】：设电荷面密度【解】：设电荷

24、面密度 为常量，任一点为常量，任一点P 至电荷的距离为至电荷的距离为r，取高斯面为垂直并对称于电荷平面，横截面积取高斯面为垂直并对称于电荷平面，横截面积 S，则端面，则端面S1 过过P 点。点。由对称分析可得由对称分析可得0dSSES321ddddSSSSSESESESESESdcos211d2SSESE 2比较得比较得02E，方向垂直向外。，方向垂直向外。无限大平面电荷的电场与到电荷平面的距离无关，是匀强电场。无限大平面电荷的电场与到电荷平面的距离无关，是匀强电场。ES2 无限大平面电荷的场无限大平面电荷的场ES1S3【讨论】：【讨论】：高斯面的选取；高斯面的选取；(P 点在侧面上行吗？非圆

25、柱面行吗？）点在侧面上行吗？非圆柱面行吗？）对称分析；（平面两侧柱高相等必要吗？）对称分析；（平面两侧柱高相等必要吗？）同类问题：多重平面、平板电荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重平面、平板电荷，电荷非均匀分布等；+-两平行两平行 平面电荷平面电荷 非均匀非均匀 平板电荷平板电荷=kxxo 均匀均匀 平板电荷平板电荷xo 非均匀非均匀 平板电荷对平板电荷对xo=kx【例】实验测得，在靠近地面处电场强度【例】实验测得，在靠近地面处电场强度E1=100 N/C,E1=100 N/C,垂直地面向下，在离地面垂直地面向下，在离地面1.5km1.5km处，电场强度处，电场强度E2=25 N/C,E2=

26、25 N/C,也垂直地面向下。求：也垂直地面向下。求：（1 1计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度r r，（2 2若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球上的若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球上的电荷面密度电荷面密度s s。2n1n2E1E1r地面地面【解【解1】（】（1因为地球半径因为地球半径R远大于远大于r1=1.5km,可以将高斯面取为柱体。可以将高斯面取为柱体。3131210102121212211100/10425.4)()(1)()(0)(11:mCrEESrSEESEESESESdESdESdESrqSdEi得到：所以左边由高斯定

27、理得侧2n1n2E1E1r地面地面（2取跨过地面的柱体高斯面。取跨过地面的柱体高斯面。电荷全部分布于地表面，则球壳电荷全部分布于地表面，则球壳内电场为内电场为=0。由高斯定理：由高斯定理：2n1n1E1r地面地面01111210000)(11ESESESdESdESdESqSdEi侧内左边【解【解2】分别作地表附近和在】分别作地表附近和在1.5km处的两个球形高斯面，得到处的两个球形高斯面，得到处1E处2ER1r210122001)(14|,14|rRQERQE1210112012312112221211222033112221033101)(33/4|4,333/4|2|4)(3/4|)(|

28、4)(3/4|rEErEErRRrRrrRErERrERERRrRERErRRrRQQ利用同除以电荷体密度102120044ERERSQ作业：作业：第一章：第一章：9 9，1212，1313题题高斯是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子之称。他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格丁根大学学习。第二年他就发现正十七边形的尺规作图法。并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题。高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函

29、数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高理的数论研究总结在算术研究（1801中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了关于曲面的一般研究，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何 学，并提出内蕴曲面理论。高斯

30、的曲面理论后来由黎曼发展。高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有和等。1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦，有一个后来被证认为小行星并被命名为谷神星的天体被发现当时它好像在向太阳靠近，天文 学家虽然有40天的时间可以观察它，但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在 1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置。高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法一种可从特定计算得到最 小的方差和中求出最佳估值的方法在天文学中这一成就立即得到公认。他在中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要 求。高斯在小行星“智神星方面也获得类似的成功。由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果，他被选为许多科学院和学术团体的成员。“数学之王的称号是对他一生恰如其分的赞颂。