习题课二重积分的计算

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1、习题课习题课 二重积分的计算二重积分的计算 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：积分为累次积分的步骤是：作出积分区域的草图作出积分区域的草图选择适当的坐标系选择适当的坐标系选定积分次序，定出积分限选定积分次序，定出积分限1。关于坐标系的选择。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑两个方面来考虑一、主要内容一、主要内容被积函数呈被积函数呈 )(),(22xyfyxf 常用极坐标常用极坐标其它以直角坐标为宜其它以直角坐标为宜2。关于积分次序的选择。关于积分次序的选择选序

2、原则选序原则能积分，少分片，计算简能积分，少分片，计算简3。关于积分限的确定。关于积分限的确定二重积分的面积元二重积分的面积元 )(rdrdddxdyd 为正为正确定积分限时一定要保证下限小于上限确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形积分区域为圆形、扇形、圆环形看图定限看图定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先选序，后定限先选序，后定限直角坐标系直角坐标系。先。先 y 后后 x，过任一过任一x a,b,作平行于作平行于 y 轴的直线轴的直线穿过穿过D的内部的内部从从D的下边界曲线的下边界曲线)(1xy 穿入穿入 内层积分的下限内层积分的下限从上边界曲线从

3、上边界曲线)(2xy 穿出穿出内层积分的上限内层积分的上限。先。先 x 后后 y过任一过任一 y c,d 作平行于作平行于 x 轴的直线轴的直线定限定限左边界左边界 )(1yx 内层积分的下限内层积分的下限右边界右边界 )(2yx 内层积分的上限内层积分的上限则将则将D分成若干个简单区域分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加分片计算，结果相加极坐标系极坐标系积分次序一般是积分次序一般是 后先r过极点过极点O作任一极角作任一极角 为为 ),(的射线的射线从从D的边界曲线的边界曲线)(1 r穿入穿入从从)(2 r穿出穿出。如。如D须分片

4、须分片)(1 r内下限内下限)(2 r内上限内上限具体可分为三种情况具体可分为三种情况)()(,21 rrr 极点在极点在D的边界上的边界上)()(,21 rrr 是边界在极点处的切线的极角是边界在极点处的切线的极角 ,)(1 r绝大多数情况下为绝大多数情况下为0极点在极点在D的内部的内部)(0,20 rr 化累次积分后化累次积分后外限是常数外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘极坐标系下勿忘 r极点在极点在D的外部的外部5 关于二重积分的换元法关于二重积分的换元法f(x,y)在在D上连续上连续 变换变换T：x=x(u,v),y=y(u,v)将将

5、uov 平面上的闭区域平面上的闭区域D1 变成变成 xoy 平面的闭区域平面的闭区域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在在D1上具有连续的一阶偏导数上具有连续的一阶偏导数（2）在）在D1上上0),(),(),(vyuyvxuxvuyxvuJdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD 1),(),(),(),(的的形形式式同同时时也也兼兼顾顾被被积积函函数数的的形形状状，于于积积分分区区域域作作什什么么变变换换主主要要取取决决),(1yxfD基本要求基本要求:变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易.),(),(1),(),(.2yxvuvuyxJ 注意注意例例1 1解解所所

6、围围成成的的闭闭区区域域线线轴轴和和直直轴轴、由由其其中中计计算算2,yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v.22;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee例例2 计算计算 Ddyx)(222242:xyxxD 解解积分区域由不等式给出积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域但它们围不成区域22

7、4,2xxx 要要使使都有意义都有意义必须限制必须限制 2,0 x因此因此D只能在只能在x=0 ，x=2 之间之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单分区域的特点，化成极坐标计算较为简单20 显然显然 r 呢？呢？极点在极点在D的边界上，所以的边界上，所以20 r 那就错了那就错了不能以为极点不能以为极点O在区域的边界上在区域的边界上就误以为对就误以为对 r 积分的下限为积分的下限为0定定 r 的积分限，应先固定的积分限，应先固定2,0 以原点为起点作射线以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交这射线和两个半圆相交 cos2

8、 r穿入穿入从从从从2 r穿出穿出积分限如何确定积分限如何确定尽管极点在尽管极点在D的边界上的边界上但极角为但极角为 )2,0(的射线并不是从极点穿入的射线并不是从极点穿入2cos2,20 r 而不是而不是20,20 r 202cos22 rdrrdI45)221432(4 204)cos1616(41 d域域D的极坐标表示为的极坐标表示为4。关于对称性。关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是过重积分的情况比较复

9、杂，在运用对称性是要兼顾要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，被积分函数和积分区域两个方面，不可误用不可误用对对 DdxdyyxfI),(若若D关于关于 x 轴对称轴对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若若D关于关于 y 轴对称轴对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 1),(2DdxdyyxfI 0,),(),(1 xDyxyxD若若D关于关于原点原点对称对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfy

10、xf 3),(2DdxdyyxfI 0,0,),(3 yxDyxD DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(称为关于积分变量的轮换对称性称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的对称区间上奇偶函数的定积分的性质性质简述为简述为“你你对称，我对称，我奇偶奇偶”、简单地说就是、简单地说就是若若 D 关于关于直线直线 y=x 对称对称 Ddyxx)23

11、2(2222:ayxD 解解D关于关于 x,y 轴及原点及轴及原点及 y=x 对称对称故故 Ddyx0)32(Ddyx)(2122 DDdydx 22 20043421aadrrd Dad222 故故 Ddyxx)232(22424aa 例例3 计算计算例例4 计算计算 Ddyxyfx)(1 221,1,:3 xyxyDD2D1解解 DDdyxxyfxdI )(22 Ddyxxyf0)(22 DDxdxd1 52 I 0133xxdyxdx52 D例例6设设 f(x)在在 0,1 上连续上连续 10)(Adxxf求求 101)()(xdyyfxfdx解解 101100)()()()(xydxy

12、fxfdydyyfxfdxI 100)()(xdyyfxfdx 100101)()()()(2xxdyyfxfdxdyyfxfdxI 10101010)()()()(dyyfdxxfdyyfxfdxD 1022)(Adxxf22AI 上上连连续续在在设设),()(xf试将二重积分试将二重积分 DdyxfI)(221:xyD化成定积分化成定积分解解由积分域和被积函数的对称性由积分域和被积函数的对称性有有 1)(422DdyxfI xyxD 0,10:1用极坐标用极坐标例例7 sec0,40 r 40sec0)(rdrrfdI 为将二次积分化为所需要的定积分，为将二次积分化为所需要的定积分，须变换

13、积分次序须变换积分次序 10402141arccos)(4)(4 rdrrfdrdrrfdrIdrrrfrdrrrf)()1arccos4()(1021 drrrrfdrrrf 20211arccos)(4)(DD1依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数)(22yxf 化为一元函数化为一元函数 自然想到用极坐标自然想到用极坐标其次，若先对其次，若先对 r 后对后对 不可进一步化为定积分不可进一步化为定积分 所以想到换序所以想到换序例例8设设 f(x)连续，证明连续，证明 DAAdttAtfdxdyyxf|)()(2|,2|:|AyAxD 注注证一证一

14、令令yxvyxu ,则则yuvxuv2,2 AuvAAvuADD ,:021),(),(vuyxJ DDdudvufdxdyyxf)(21)(AuAAuAuAuAdvduufdvduuf00)(21)(21 00)()(21AAduuAufduuAufuv 00|)(|)(AAduuAufduuAuf AAduuAuf|)(DyxyxDdxdyyx22:,)(解解D的边界的边界 21)21()21(22 yx极点在极点在D的边界上的边界上圆周在圆周在(0,0)的切线斜率为的切线斜率为1 y故故43,4 434sincos02)sin(cos drrdI 4344)sin(cos31 d 4344)4(sin34 d例例4 计算计算 04sin34tdt2 )4(t令（和差化积）（和差化积）