第四章-空间点模式方法-B

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1、)(lim)(0ssdddYEss)()(lim),(0,jijijissssdsdsjidddYdYEss点模式的可视化与探索性分析点模式的可视化与探索性分析4.2 基于密度的方法基于密度的方法 样方计数法与核函数法样方计数法与核函数法 nA/2检验的基本过程如下：检验的基本过程如下：!)(kekxpk2)2)方差均值比的方差均值比的X X2 2检验检验 在比较一个空间点模式是否与随机分布模式相似时，除在比较一个空间点模式是否与随机分布模式相似时，除了使用了使用K-S检验外，还可以根据泊松方程的参数检验外，还可以根据泊松方程的参数进行进行比较。比较。泊松分布的一个重要特性是：均值泊松分布的一

2、个重要特性是：均值=方差方差=。这就启示。这就启示我们可以使用均值和方差的比值作为点模式是否相似于我们可以使用均值和方差的比值作为点模式是否相似于随机分布的判断准则。随机分布的判断准则。定义方差均值比为定义方差均值比为 ，这里，这里 ，如果空间点模，如果空间点模式接近于：泊松分布，则式接近于：泊松分布，则R1。_2XSR _X2)方差均值比的方差均值比的X2检验检验 为了通过R推断点模式是否来自于泊松过程，首先假设m个样方中分别有(n1,n2,nm)个事件的计数，然后用均值和方差比定义一个检验统计量I(也称分散性指数)：对于CSR，I服从X2m-1分布，根据样方计数可以方便地计算I，然后将I和

3、显著性水平为的值进行比较，推断点模式是否来自于CSR。如果I显著地大于X2m-1，表示聚集分布；如果I显著地小于X2m-1，表示均匀分布。xxxxsmIii12_2)()1(2)方差均值比的方差均值比的X2检验检验 还可以利用方差均值比定义一个聚集性指数还可以利用方差均值比定义一个聚集性指数ICS(index ICS(index of cluster size)of cluster size)判断点模式的类型。判断点模式的类型。ICSICS定义为：定义为：在在CSRCSR中，中，ICSICS的期望的期望E(ICS)E(ICS)0 0；如果；如果E(ICS)0E(ICS)0，表示聚，表示聚集分布

4、模式；如果集分布模式；如果E(ICS)OE(ICS)CSR(G(d)或F(d)CSR(F(d)时，聚集分布；(2)当G(d)CSR(F(d)时，均匀分布。2d21)()(dedFEdGE（1 1）当）当G-FG-F曲线位于对角线的上曲线位于对角线的上方时，点模式是聚集分布。方时，点模式是聚集分布。（2 2）当）当G-FG-F曲线位于对角线的下曲线位于对角线的下方时，点模式是均匀分布。方时，点模式是均匀分布。（3 3）当）当G-FG-F曲线位于接近于对角曲线位于接近于对角线时，点模式是随机分布。线时，点模式是随机分布。3.2 显著性检验的随机模拟方法显著性检验的随机模拟方法 CSRCSR下的下的

5、G G函数和函数和F F函数给出了点模式的判据，其显函数给出了点模式的判据，其显著性需要通过检验来推断。著性需要通过检验来推断。G G函数和函数和F F函数的显著函数的显著性检验一般使用蒙特卡罗随机模拟方法。性检验一般使用蒙特卡罗随机模拟方法。首先在研究区域首先在研究区域R R上利用蒙特卡罗随机模拟的方法上利用蒙特卡罗随机模拟的方法产生产生m m次的次的CSRCSR点模式，并估计理论分布，即点模式，并估计理论分布，即 式中，式中，(i(i1,2,m)1,2,m)是在是在R R区域上模拟区域上模拟的的n n个个CSRCSR事件的事件的m m次独立随机模拟，且没有经过边次独立随机模拟，且没有经过边

6、缘校正的经验分布函数的估计。缘校正的经验分布函数的估计。miidGmdG1_)(1)()(dGi3.2 显著性检验的随机模拟方法显著性检验的随机模拟方法 为了评价观测模式和CSR模式差异的显著性，需要计算m次随机模拟中分布函数G的上界U(d)和下界L(d)：计算得到的模拟m次CSR经验分布函数的上界和下界提供了与CSR差异显著性的方法，得到的概率公式为)(max)(,.1dGdUimi11)()(Pr()()(Pr(mdLdGdUdG)(min)(,.1dGdLimi 若G(d)函数曲线位于U(d)的上方，则可推断观测模式显著聚集；若G(d)函数曲线位于L(d)曲线的下方，则可推断观测模式为显

7、著均匀；如果G(d)函数位于U(d)和L(d)曲线之间，可推断观测模式与CSR无显著差别。一阶测度的最邻近方法仅使用了最邻近距离测度点模式，只考虑了空间点在最短尺度上的关系。实际的地理事件可能存在多种不同尺度的作用，为了在更加宽泛的尺度上研究地理事件空间依赖性与尺度的关系，Ripley提出了基于二阶性质的K函数方法，随后，Besage又将K函数变换为L函数。K函数和L函数是描述在各向同性或均质条件下点过程空间结构的良好指标。K函数函数1.定义与定义与K函数估计函数估计 点Si的近邻是距离小于等于给定距离d的所有的点，即表示以点Si为中心，d为半径的圆域内点的数量。近邻点的数量的数学期望记为E(

8、#SC(Si,d)，有 E(#SC(si,d)表示以si为中心，距离为d的范围内事件数量的期望。于是，K函数定义为 或者 显然，K(d)就是以任意点为中心，半径为d的圆域内点的数量。因此K(d)定义为任意点为中心，半径d范围内点的数量的期望除以点密度。didgdsCSE02)(),(#ddgdK02)()(),(#)(dsCSEdKiK函数函数K函数的估计函数的估计 K(d)的估计记为 ，则有：用 代替 (a是研究区域的面积，n是研究区域内点的数量)则有 或)(dKndSCSdKni1),(#)(),(#)(dSCSEdKiniidSCSnadK12),(#)(an式中，式中，)(dK)(dK

9、K函数的边缘效应与校正 在K函数的计算过程中同样存在边缘效应问题。当dij超出研究区域的范围时，需要对其进行校正以消除边缘效应，常采用下列形式：式中，wij是校正因子。ninijijijdninijijijdwdInawdIdK1j,11j,1)(2)(1)(2.K2.K函数的点模式判别准则函数的点模式判别准则 在均质条件下，如果点过程是相互独立的CSR，则对于所有的，有 ,且有 于是比较 和 就能建立判别空间点模式的准则。1)(g2)()(ddKdKE2)(ddK2)(ddK2)(ddK)(dK)(dK ，表示在d距离上 和来自于CSR过程的事件的期望值相同。，表示在d距离上点的数量比期望的

10、数量更多，于是d距离上的点是聚集的。，表示在d距离上点的数量比期望的数量更少，于是d距离上的点是均匀的。)(dK 用K函数方法计算的观测K（d）曲线和理论曲线相当接近，其中在d较小的情况下，观测值小于理论值，在距离d较大的情况下，观测值大于理论值。K函数揭示了在不同的空间尺度上分布模式的差异。L函数函数K函数在使用上不是非常方便，对估计值和理论值的比较隐含着更多的计算量，而且K函数曲线图的表示能力有限。Besag提出了以零为比较标准的规格化函数(即L函数)，其形式为：于是L(d)的估计 可写成L函数不仅简化了计算，而且更容易比较观测值和CSR模式的理论值之间的差异。在L函数图中，正的峰值表示点

11、在这一尺度上的聚集或吸引，负的峰值表示点的均匀分布或空间上的排斥。ddKdL)()(ddKdL)()()(dL 观测模式随着尺度d的变化而变化。在小尺度上表现出一阶方法所揭示的均匀性，在较大尺度上表现出的是聚集性。L函数函数4.6 K函数方法的扩展K函数方法的扩展函数方法的扩展1.两元模式与交叉两元模式与交叉K函数函数 首先考虑作为背景的总体的自然变异中的聚集性探测问题。设关注的第一种类型的事件为案例事件，第二种类型的事件是表示环境异质性的控制事件，案例事件和控制事件分别有n1和n2个。当将这两个事件合并在一起，希望n1个案例事件随机地附在两个事件的组合中，是事件的一个“随机标记”，于是事件是

12、位置独立的。在这种随机标记条件下，Diggle(1991)证明了案例事件的K函数记为K11(d)和控制事件的K函数记为K22(d)是完全相同的。K函数方法的扩展函数方法的扩展1.两元模式与交叉两元模式与交叉K函数函数 交叉交叉K函数定义为函数定义为 或或 式中，式中，S1是模式是模式2中以任意事件中以任意事件S2i为中心，距离为中心，距离d为为半径的范围内第一个模式中事件的数量。半径的范围内第一个模式中事件的数量。21211212),(#1)(ndsCSndKii21212112),(#)(ndsCSnnadKiiK函数方法的扩展函数方法的扩展2.D函数函数 D函数用于检验案例事件是否具有显著

13、的聚集性。D函数定义为：当 远大于0时，表明由于环境的空间异质性的存在，案例事件在尺度d上聚集。当 远小于0时，表明由于环境的空间异质性的存在，案例事件尺度d上均匀。)()()(2211dKdKdD)(dD)(dDK函数方法的扩展函数方法的扩展 显著性检验显著性检验 使用蒙特卡罗模拟的方法进行模式间的独立性或模式的显著性检验。其一般过程如下：(1)S1(案例事件)和S2(控制事件)两个事件组合为一个点集。(2)在组合的点集中随机抽取n1个事件样本模拟案例事件。(3)根据模拟案例事件和控制事件计算 和 。(4)计算 。(5)重复m(例如m=100)次。(6)获得随机模拟的最大和最小的 ，即包络线

14、。K函数方法的扩展函数方法的扩展 对于空间-时间事件模式，首先对每一个事件附加一个时间标记，于是“空间-时间”K函数定义为 式中，是事件的空间密度；表示事件的时间密度；表示在时间间隔t内，以任意点si为中心，d为半径的距离内事件数量的期望。),(#),(TtdsCSEtdKiTD),(#TtdsCSEiDTK函数方法的扩展函数方法的扩展)()(),(tKdKtdK ninjijijijijtijdtIdInaTtdK1,12)()(),(K函数方法的扩展函数方法的扩展 如果过程在空间和时间上是独立的，即事件过程没有空间相互作用，K(d,t)等于空间和时间各自的K函数的乘积，于是一个可行的空间-时间作用的解释工具是定义函数D(d)：空间-时间作用的证据是在 关于d和t的曲面图上的观测模式的峰值。这些峰值指示的空间尺度和时间尺度上聚集的显著性检验仍然采用蒙特卡罗随机模拟的方法。)()(),(),(tKdKtdKtdDTD),(tdD