材料力学：能量法静不定习题课

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1、例例1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁C点的竖向位移。点的竖向位移。EI为常数。为常数。解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。BACql2lM82ql82qlC1C2C31M2l 838231483238211222lqlllqlllqllEIwC)(1284 EIql3l4l432 lM图图82qlCBA2ql23qlql2ql1 CBA1 1 1 qlCBAll2IIqM 图图l32l2l 例例2 试求图示刚架结点试求图示刚架结点B的水平位移的水平位移uB。EI为常数。为常数。解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。2832322213221222llqll

2、lqlEIllqlEIuB)(EIql482542ql32lFaaaaABCDM2Fa1aaaaABCD1Maa aFaaEIAB22211EIFa23 例例3 试求图示刚架试求图示刚架A，B 两点的相对线位移两点的相对线位移AB。EI为常数。为常数。解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。aaaFaaaaFaEIaFaaEIwB3223123232222132)2(1 EIFa233Faa2FaMM2a 例例4 试求图示外伸梁试求图示外伸梁B点的竖向位移。点的竖向位移。解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。BACEI2EIBACEI2EI1Faal2l1kF

3、lFlllFllEIwC23233222132211 M2l3l3l)(4983 kFEIFlBAC例例5 试求图示外伸梁试求图示外伸梁C点的竖向位移。点的竖向位移。B为弹簧支座，为弹簧支座，弹簧常数为弹簧常数为k，梁的，梁的EI为常数。为常数。解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。F23FFB kFB23 C1C2M2FlBAC23 BF EIxMMMFiidd BBCiiFwF 1wCBBCFEIxMMw dFDBAC12特点：有多余构件特点：有多余构件技巧：将多余杆截开，露出的一对内力为多余未知技巧：将多余杆截开，露出的一对内力为多余未知力力变形几何关系：变形几何关系：

4、截开处，左右截面相对位移为零截开处，左右截面相对位移为零FDBACX12X1相当系统去掉力，无任何力作用，静定相当系统去掉力，无任何力作用，静定DBAC2求各杆内力，求各杆内力，1、2杆轴力杆轴力FN1=0，FN2=FAB杆弯矩为零杆弯矩为零MF=0FDBAC21求各杆内力，求各杆内力，1、2杆轴力杆轴力FN1=1，FN2=AB杆，画弯矩图杆，画弯矩图M1DBAC2114211X1 1F=0 正则方程正则方程右端项为零表示截开处，左右截面相对位移为零FDBACX12X1计算计算11和和 1F 时时AB杆弯曲用图乘法杆弯曲用图乘法1、2杆拉压用杆拉压用具体计算过程见教材具体计算过程见教材P232

5、EAFFNNEAFFNNxMMEId1 xMMEId1 例题例题12-5qBACD123求：求：wD相当系统相当系统qBACD123X1X1静定基静定基BACD123静定基上只作用原载荷静定基上只作用原载荷qBACD123求各杆内力，求各杆内力，1、2、3杆轴力杆轴力FN1=0，FN2=0，FN3=0AB杆，画弯矩图杆，画弯矩图MFBACD2311求各杆内力，求各杆内力，1、2杆轴力杆轴力FN1=1，FN2=FN3=1AB杆，画弯矩图杆，画弯矩图M1qBACD123X1X111X1 1F=0 正则方程正则方程右端项为零表示截开处，左右截面相对位移为零计算计算11和和 1F 时时AB杆弯曲用图乘

6、法杆弯曲用图乘法1、2杆拉压用杆拉压用具体计算过程见教材具体计算过程见教材P233求出各杆内力求出各杆内力EAFFNNEAFFNNxMMEId1 xMMEId1 相当系统相当系统qBACD123X1X1静定基静定基BACD1231求：求：wD例题12-8aaFABC求：求：wC（一次静不定）（一次静不定）aaFABC解除解除C截面转角约束，作用一对未知力偶截面转角约束，作用一对未知力偶相当系统（方法一）相当系统（方法一）X1X1aaABC静定基静定基aaFABC静定基上只作用原载荷静定基上只作用原载荷画弯矩图画弯矩图MFaaABC11画弯矩图画弯矩图M1aaFABCX1X111X1 1F=0

7、正则方程正则方程右端项为零表示右端项为零表示C处，左右截面相对转角为零处，左右截面相对转角为零计算计算11和和 1F 时时用图乘法用图乘法具体计算过程见教材具体计算过程见教材P238画弯矩图，叠加法，画弯矩图，叠加法，M=MF+M1X1xMMEId1 xMMEId1（静定基变了）aa1ABC求：求：wC 根据解题方便选静定基根据解题方便选静定基例题12-8（方法二）aaFABC求：求：wC aaF/2ABCaaABCF/2F/2F/2忽略轴向变形，刚架弯矩为零aaABCF/2F/2反对称问题，反对称问题，C处弯矩为零处弯矩为零X1 1=0=0aaABCF/2F/2解除解除C截面转角约束，作用一

8、对未知力偶截面转角约束，作用一对未知力偶X1X1aaABCF/2F/2静定问题，画弯矩图静定问题，画弯矩图M（静定基上加单位力）aa1ABC求：求：wC 例例6 图示两端固定的直角折杆截面为圆形，直径图示两端固定的直角折杆截面为圆形，直径d=20mm。a=0.2m，l=1m，F=650N，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=200GPa，切变模量，切变模量G=80GPa。试画出该折杆的内力。试画出该折杆的内力图。图。al/2l/2ABCDEFxyz建立相当系统时，从对称面建立相当系统时，从对称面C处截开，取一半为研处截开，取一半为研究对象，对称面内反对称内力究对象，对称面内反对称内力T、FS为零

9、，忽略轴为零，忽略轴向变形向变形FN为零，只有弯矩为零，只有弯矩X1ABCF/2X1相当系统相当系统al/2l/2ABCDEFABC静定基静定基ABCMF图图Fa/2Fl/4ABCTF图图Fl/4静定基上只作用原载荷的内力图静定基上只作用原载荷的内力图ABCF/2ABC1ABCM1图图1ABCT1图图1ABCM1图图1ABCT1图图1ABCMF图图Fa/2Fl/4ABCTF图图Fl/4 PP1121111121GIaEIlaGIlEI PP144141142211GIaEIlFlaFlGIFllEIF 5001064210200849 EI 400103221080849P GImN3.108

10、4002.010001/4002.020001416501111 FX，11X1 1F=0 正则方程正则方程ABCT图图(Nm)54.254.2DEABCM图图(Nm)6554.26554.2108.2DE例例7 画刚架弯矩图（对称问题）画刚架弯矩图（对称问题）相当系统相当系统正则方程正则方程例例8 画刚架弯矩图（反对称问题）画刚架弯矩图（反对称问题）相当系统相当系统ABCaa2aDEFq例9 画弯矩图ABCX1DEFqX1相当系统相当系统ABCDEFMFABCDEFM111aaaa01111FXEIaEAaEIaaaaaaEI310211232212311EIqaaaqaEIF322232142151qaX 解得ABCDEFM3qa2/10qa2/5qa2/5qa2/5qa2/5，若各杆的刚度同为EA，AC与AD杆长为l。试求装配后各杆的内力。例例10 图示杆系中，图示杆系中，AB杆比设计长度略短，误差为杆比设计长度略短，误差为 ，若各杆的刚度同为若各杆的刚度同为EA，AC与与AD杆长为杆长为l。试求装配。试求装配后各杆的内力。后各杆的内力。图示杆系中，AB杆比设计长度略短，误差为，若各杆的刚度同为EA，AC与AD杆长为l。试求装配后各杆的内力。ABCD1234530303030 ABCD1234511 ABCD12345X1X1 111X