高等数学课件：4-3曲线的曲率

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1、第三节曲线的曲率 第四四章 一、弧微分一、弧微分 三三、曲率的计算公式、曲率的计算公式四四、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径二二、平面曲线曲率的概念平面曲线曲率的概念一、平面曲线曲率的概念一、平面曲线曲率的概念1.问题的提出问题的提出引出描述曲线引出描述曲线弯曲程度的量弯曲程度的量 曲率曲率.观察右图，观察右图，,sK 点点 M 处的处的曲率曲率:KKMM lim.dds 2.曲率定义曲率定义ss 0lim在光滑弧上自点在光滑弧上自点 其长为其长为开始取弧段开始取弧段M,MM,s 对应切线对应切线,定义定义弧段弧段 上的上的平均曲率平均曲率.s 转角为转角为显然显然,直线上任意点处的曲率为直线

2、上任意点处的曲率为 0.曲率是曲线切线倾角关于弧长曲率是曲线切线倾角关于弧长s的变化率。的变化率。yxoMC).M.)0M解解 如图所示如图所示,RssKs 0lim.1R 可见可见:圆的弯曲程度处处相同圆的弯曲程度处处相同;圆的半径越小圆的半径越小,圆弯曲得愈厉害圆弯曲得愈厉害.sRMM例例1 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率.二、二、弧微分弧微分 2MM22)()(yx 设弧设弧).(xsAMs ,)()()(lim2220 xyxx xsxsx 0lim)(x xMxx M y 1lim0 MMMMxAB)(xfy abxOy,)(12y 20)(1limxy

3、x xysd)(1d2 或或.)(d)(dd22yxs 则弧微分公式为则弧微分公式为若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示:),(),(tyytxx注注1 则通过计算可得则通过计算可得.dd22 s若曲线由极坐标方程表示若曲线由极坐标方程表示:),(2.d)()(d22ttytxs ,为为切切线线的的倾倾角角设设 sKdd )(xfy 二阶可导二阶可导,设曲线设曲线则有则有,arctan y 故故xyd)arctan(d .d12xyy ,d1d2xys .)1(232yy 又又,tany 三、曲率的计算公式三、曲率的计算公式注注2 若曲线由参数方程若曲线由参数方程 )()(tyytxx给出

4、给出,.)(2322yxyxyxK 则通过则通过 计算可得计算可得有曲率近似计算公式有曲率近似计算公式,11时时当当 y.yK?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay k显然显然,2时时当当abx .最大最大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最最大大抛抛物物线线在在顶顶点点处处的的曲曲率率例例2232)1(yy .)2(12232baxa 四、四、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径TyxO),(DR),(yxMC设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点,1KRDM 把以把以 D 为中心为中心,R 为半径的圆叫

5、做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的曲率圆曲率圆(密切圆密切圆),R 叫做叫做曲率半径曲率半径,D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在点在点M 处作曲线的切线和法线处作曲线的切线和法线,在曲线的凹向一侧法线上取点在曲线的凹向一侧法线上取点D 使使在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线有公切线;(2)凹向一致凹向一致;(3)曲率相同曲率相同.TyxO),(DR),(yxMC设曲线方程为设曲线方程为,)(xfy 且且,0 y曲线上点曲线上点M 处的曲处的曲率半径为率半径为KR1.232)1(y y 例例3.3上上任任一一点点的的曲曲率率半半径径求求

6、axy 解解,32axy ,6axy yyR 232)1()0(6)91(2342 xaxxa处处，在在该该曲曲线线的的拐拐点点)0,0(.Rlim0 xxyo1.弧长微分弧长微分xysd1d2 或或22)(d)(ddyxs 2.曲率公式曲率公式sKdd 232)1(yy 3.曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径KR1 yy 232)1(内容小结内容小结求双曲线求双曲线1 yx的曲率半径的曲率半径R,并分析何处并分析何处R最小最小?解解,12xy ,23xy 则则 R232)1(y y 234)11(x 32x2322)1(21xx baba222 ,2.21为最小值为最小值显然显然 xR11yOx思

7、考题思考题 ,sin,costbytax)20(t上点的上点的解解故曲率为故曲率为 ba232222)cossin(tbta,sintax ,costby ,costax ,sintby 2322)(yxyxyxK 备用题备用题例例2-1 求椭圆求椭圆曲率最大值与最小值（设曲率最大值与最小值（设ab0).sin)(232222tbabab 因此当因此当从而从而 K 取最大值取最大值这说明椭圆在点这说明椭圆在点,0时时或或 t)0,(a 处曲率处曲率(),f t 取取最最小小值值最大最大.K 最大最大(小小)tbabtf2222sin)()(最小最小(大大),2maxbaK 232222sin)

8、(tbababK 类似地类似地,当当K 取最小值取最小值即椭圆在点即椭圆在点,232时时或或 t),0(b 处曲率处曲率最小最小.,2minabK yxbab a O磨削其内表面以达到要求的光洁度磨削其内表面以达到要求的光洁度,问选择多大的问选择多大的解解 设椭圆方程为设椭圆方程为 tbytaxsin,cos),20(abx 由例由例2可知可知,椭圆在点椭圆在点)0,(a 处处即曲率半径最小即曲率半径最小,KR1.2ab ab例例4-1 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮现要用砂轮曲率最大曲率最大,为为yxO砂轮比较合适砂轮比较合适?KR1.2ab 显然显然,

9、砂轮半径不超过砂轮半径不超过ab2才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题或有的地方磨不到的问题.abyxO时时,),(D设点设点M 处的曲率圆方程为处的曲率圆方程为,)()(222Ryx满足方程组满足方程组 ,其中其中222)()(Ryx ),(在曲率圆上在曲率圆上yxM)(MTDM y yx的坐标公式的坐标公式.TyxO),(DR),(yxMC下面求曲线上点下面求曲线上点M 处的曲率中心处的曲率中心,)1(2yyyx .12yyy 当点当点 M(x,y)沿曲线沿曲线)(:xfyC 移动时移动时,的曲率中心的轨迹的曲率中心的轨迹 G相应相应曲线曲线 CTyxO),(DR)

10、,(yxMC曲线曲线 C 的的渐屈线渐屈线,称为曲线称为曲线G 的的渐伸线渐伸线.称为称为由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式(仍为摆线仍为摆线),sin(a).cos1(a的渐屈线方程的渐屈线方程.解解 xydxdy ,cos1sintt tyxyd)d(1 ,)cos1(12ta 代入曲率中心公式代入曲率中心公式,),sin(tta ).1(cos ta 得得,t令令 ,2,aa yOxM O 例例4 求摆线求摆线可得可得 )cos1(),sin(tayttax361xlRy 作缓和曲线作缓和曲线,且且 l R.处的曲率处的曲率.和和)0,0(O其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半

11、径,l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点解解,0时时当当lx Rl2 0,1xlRy 221xlRy RByOx361xlRy l备用题备用题例例2-1)6,(2RllB铁路常用立方抛物线铁路常用立方抛物线,1xlRy yK ,1xlR 因此因此;00 xK.1RKlx 于是当列车从直道转入圆弧形弯道行驶时于是当列车从直道转入圆弧形弯道行驶时,铁轨的曲率连续地从零过渡到铁轨的曲率连续地从零过渡到,1R保证了列车保证了列车的平稳与安全的平稳与安全.RByOx361xlRy l例例4点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停不立即接上圆弧轨道？不

12、立即接上圆弧轨道？入弯道时，为什么入弯道时，为什么问：火车轨道由直轨转问：火车轨道由直轨转答：答：AB,0 ABkAB的曲率：的曲率：直轨直轨.AB 曲率半径：曲率半径：).(0常数常数而圆弧的曲率半径：而圆弧的曲率半径：RR BmvF所所以以若若在在拐拐弯弯点点由由于于向向心心力力：向向心心力力,2 .产产生生剧剧烈烈震震动动点点不不连连续续，从从而而在在接接上上圆圆弧弧，则则向向心心力力向向心心力力BF直道和弯道直道和弯道为了行驶平稳，往往在为了行驶平稳，往往在).(1),(为圆弧轨道的半径为圆弧轨道的半径到到使曲率连续地由零过渡使曲率连续地由零过渡如图如图之间接入一段缓冲段之间接入一段缓

13、冲段RR.1)1(,06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的的曲曲率率近近似似为为时时，在在终终端端很很小小并并且且当当为为零零的的曲曲率率在在始始端端的的长长度度，验验证证缓缓冲冲段段为为，其其中中缓缓冲冲段段作作为为，通通常常用用三三次次抛抛物物线线 xyOR),(00yxA)0,(0 xClxyOR),(00yxA)0,(0 xC证证如图如图的的负负半半轴轴表表示示直直道道，x.,是圆弧轨道是圆弧轨道是缓冲段是缓冲段 ABOA（在缓冲段上在缓冲段上,212xRly .1xRly ,0,0,0 yyx处处在在.00 k故缓冲始点的曲率故缓冲始点的曲率实际要求实际要求,0 xl

14、l20210 xRlyxx 有有221lRl,2Rl 010 xRlyxx lRl1,1R 的曲率为的曲率为故在终端故在终端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR ,1Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyOR),(00yxA)0,(0 xCl 在在),0(上上)(xR有有唯唯一一驻驻点点 1x，,52dd,51dd222xxyxxy34215(1)5()2xR xx 1/442251()(1)(1)25R xxxx解解:因为因为)(xR 在在),0(上可导，驻点唯一，且最小值存在，故上可导，驻点唯一，且最小值存在，故)(xR 在在),0(上有上有最小值最小值 653)1(R