优化模型数学描述

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1、优化模型数学描述（一）优化模型的数学描述（一）优化模型的数学描述下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中.,.,)(mihi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx设计变量（决策变量）设计变量（决策变量）目标函数目标函数),.,(nxxxx321x将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数)(xfu 在约束条件在约束条件和和x)(xf x 可行域可行域一一 优化模型的一般意义优化模型的一般意义.,.,)(.mihtsi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx xxfu )(max)min(ortosubjectts

2、.“受约束于”之意（二）优化模型的分类（二）优化模型的分类1.1.根据是否存在约束条件根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。有约束问题和无约束问题。2.2.根据设计变量的性质根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。静态问题和动态问题。3.3.根据目标函数和约束条件表达式的性质根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。（1）非线性规划）非线性规划目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。.,.,)(.mihtsi210 x.,.,),)()(piggii21

3、00 xx xxfu )(min.,.,.,.,.minnixnibxatsxcuinkikikniii2102111（2）线性规划（）线性规划（LP）目标函数和所有的约束条件都是设计变量目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。的线性函数。（3）二次规划问题）二次规划问题目标函数为二次函数，约束条件为线性约束目标函数为二次函数，约束条件为线性约束.,.,.,.,.)(min,nixnibxatsxxbxcxfuinjijijnjijiijniii21021211115.根据变量具有确定值还是随机值根据变量具有确定值还是随机值 确定规划和随机规划。确定规划和随机规划。4.4.根据设计变量

4、的允许值根据设计变量的允许值整数规划（整数规划（0-1规划）和实数规划。规划）和实数规划。（三）建立优化模型的一般步骤（三）建立优化模型的一般步骤1.确定设计变量和目标变量；确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。寻找约束条件。工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和

5、发电。例例1 1 存贮模型存贮模型（四）简单优化模型举例（四）简单优化模型举例存贮量多少合适？存贮量多少合适？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。次性订购费用增加，或不能及时满足需求。问题问题1 不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货

6、，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。问题分析问题分析若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准备费5000元，每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，存贮费900+800+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；若50天生产一次，每次5000件，存贮费4900+4800+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元；寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少。存贮费之间

7、的关系，使每天的费用最少。模型假设模型假设1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；2 产品每日的需求量为常数 r；3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量 降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即 不允许缺货。模型建立模型建立总费用与变量的关系总费用=生产准备费+存贮费存贮费=存贮单价*存贮量存贮量=？设 t 时刻的存贮量为 q(t)，t=0时生产 Q 件，存贮量 q(0)=Q,q(t)以需求速率 r 线性递减，直至q(T)=0，如图。q(t)=Q-r t，Q=r T 。otqQTrA不允许缺货模型的存贮量不允许缺货模型

8、的存贮量q q(t t)存贮量的计算一个周期内存贮量dttqT0)(一个周期内存贮费dttqcT02)(2QT(A的面积)一个周期的总费用dttqccCT021)(2222121rTccQTcc每天平均费用221rTcTcTCTC)(2 21rTcTcTCT)(min满足求模型求解模型求解用微分法02221rcTcTC)(rccT212212crcrTQ每天平均最小费用rccC212著名的 经济订货批量公式（经济订货批量公式（EOQ公式）公式）。结果解释结果解释rccT212212crcrTQrccC212当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变

9、小；当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。rccT212rccC212100010 10015000 21CTrcc，得当,这里得到的费用C与前面计算得950元有微小差别，你能解释吗？在本例中敏感性分析敏感性分析讨论参数rcc,21 有微小变化时对生产周期T 影响。由相对变化量衡量对参数的敏感程度。T 对c1 的敏感程度记为),(1cTS111ccTTcTS ),(TcdcdT11Tcrccrc1212222121212),(cTS21),(rTS意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5

10、%；而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5%；日需求量增加1%时，生产周期减少0.5%。211),(cTS212),(cTS21),(rTS当rcc,21 有微小变化对生产周期影响不太大。思考思考 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费 用），在什么情况下才可以不考虑它？建模时作了“生产能力无限大”的简化假设，如 果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建模？模型假设模型假设1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；2 产品每日的需求量为常数 r；3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺 货，每天每件产品缺货损失费C3，但

11、缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。问题问题2 允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型模型建立模型建立总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费存贮费=存贮单价*存贮量缺货损失费=缺货单价*缺货量存贮量=？，缺货量=？因存贮量不足造成缺货，因此 q(t)可取负值，q(t)以需求速率 r 线性递减，直至q(T1)=0，如图。q(t)=Q-r t，Q=r T1 。otqQTrA允许缺货模型的存贮量允许缺货模型的存贮量q q(t t)RT1B一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费dttqcT102)(212QTc一个周期的总费用rQrTcrQccC2223221)(每天平均费用dttqcTT13)(213)(TTQrTcrQrTc223)(rQc222rTQrTcrTQcTcQTC2223221)(),(每个周期的供货量TrR332212cccrccrR332ccc 与不允许缺货模型相比较，有QRQQTT ,/,QRQQTT ,/,结果解释结果解释QRQQTT 1,即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。2）缺货损失费愈大，愈小，愈接近 ，愈接近 。1）TTRQ ,Q332ccc 3），时，当13cQRQQTT ,不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。