《函数的连续性》PPT课件

《《函数的连续性》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《函数的连续性》PPT课件（28页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第五节函数的连续性与间断点第五节函数的连续性与间断点二二 函数的间断点类型函数的间断点类型一一 函数的连续性函数的连续性三三 小结与思考判断题小结与思考判断题1.函数的增量的的增增量量.称称为为自自变变量量在在点点内内有有定定义义,在在设设函函数数0000,),()()(xxxxxUxxUxf 的的增增量量.相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy )(),()(0 xy00 xxx 0)(xfy x y 一、函数的连续性2.连续的定义定义定义 1 1 设函数)(xf在)(0 xU 内有定义,如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函数的增量y 也趋向于零,即0lim0 yx 或 0)()

2、(lim000 xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0 x连续,0 x称为)(xf的连续点.,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定义 2 设函数)(xf在)(0 xU 内有定义,如果函数)(xf当0 xx 时的极限存在,且等于它在点0 x处的函数值)(0 xf,即)()(lim00 xfxfxx 那末就称函数)(xf在点0 x连续.:定义定义 .)()(,0,000 xfxfxx恒恒有有时时使使当当2)若若 y=f(x)在在 x0 处不连续，则称处不连续，则称 y=f(x)在在 x0 处处间断间断。注注：1)函数函数 f(x

3、)在在 x0 连续的等价写法连续的等价写法(满足定义满足定义1的条件的条件):.)()(lim000 xfxxfx .)()(lim00 xfxfxx.)()(,0,0:00 xfxfxx恒恒有有时时使使当当即即3)极限与连续的关系极限与连续的关系:极限极限 连续连续 连续函数必有极限连续函数必有极限,有极限不一定是连续函数有极限不一定是连续函数.例如例如.0/sin,1/sinlim0处处不不连连续续在在但但函函数数 xxxxxx;)(lim0Axfxx.)()(lim00 xfxfxx 例1.0,0,0,0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证,01sinlim0

4、 xxx,0)0(f又又由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 二、函数的间断点及其类型二、函数的间断点及其类型;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).的不连续点(或间断点为并称点(或间断),处不连续在点函数则称要有一个不满足,如果上述三个条件中只)()(00 xfxxxf:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf定义5间断点间断点分为第一类间断点与第二类间断点分为第一类间断点与第二类间断点.第一类间断点第一类间断点 如果如果

5、在间断点在间断点 处左右极限处左右极限存在存在,则称点则称点 为为 的第一类间断点的第一类间断点.第二类间断点第二类间断点 如果如果 在间断点在间断点 处左右极限处左右极限中至少有一个不存在中至少有一个不存在,则称点则称点 为为 的第二类间断的第二类间断点点.)(xf0 x0 x)(xf)(xf0 x0 x)(xf例2.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解(0)0,f (0)1,f (0)(0),ff .0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy1.跳跃间断点.的跳跃间断点为函数则称点但存在,右极限都处左,在点如果 )(),()()(0000 x

6、fxxfxfxxf 2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例3.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解,1)1(f(1)2,f (1)2,f 2)(lim1 xfx),1(f 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.函数的可去间断点函数的可去

7、间断点1xoxy112xy 1xy2 如例如例3中中,2)1(f令令.1,1,1,10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf特点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy1123.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例4 4.0,0,0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,0)00(f,)00(f0.x 为函数的第二类间断点.断断点点这这种种情情况况

8、称称为为无无穷穷间间oxyo1x2x3xyx xfy 在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:,1,1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf函数函数3.单侧连续定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf定义3;)(),()(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定义4.)(),()(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有

9、定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 例5.0,0,2,0,2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右右连续但连续但不左不左连续连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf例例6 6.0,0,0,0,)(/1处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxexfx解解1/00lim()lim0 xxxf xe),0(f),0(f 左左连续但不右连续连续但不右连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf1/00lim()limxxxf

10、xe 4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例7.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证),(x任任取取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin

11、 有有,2sin2xxy 故故.0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy例8.0,0,0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00 ,1)(lim)(lim00 xaxfxx ,a,)0(af),0()00()00(fff 要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf,1 a例例9.设设 0,sin0,)(2xxbxxbxaxf0sinlimxbxbx 20lim()xabxa 解解：.ba 在在x=0处连续，求常数处连续，求常数a与与b应

12、满足的关系。应满足的关系。例例10 讨论讨论的的连连续续性性xxxxfnnn 2211lim)(若有间断点判别其类型。若有间断点判别其类型。解解)1|(|0lim qqnn由于由于则则若若故故1|xnnnxxxxf2211lim)(x 则则若若1|xnnnxxxxf2211lim)(1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 则则若若1|x0)(xf 1|1|01|)(xxxxxxf外外连连续续除除去去1)(xxf时时当当1 x(1)1,(1)1ff (1)1,(1)1ff 跃间断点）跃间断点）都是第一类间断点（跳都是第一类间断点（跳1 x1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须

13、满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)小结三、小结与思考判断题可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x判断思考题 若若)(xf在在0 x连续，则连续，则|)(|xf、)(2xf在在 0 x 是否连续？又若是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在在 0 x连续，连续，)(xf在在 0 x是否连续？是否连续？思考题解答)(xf在在0 x连连续续，)()(lim00 xfxfxx)()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故|)(|xf、)(2xf在在0 x都都连连续续.但反之不成立但反之不成立.例例 0,10,1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续