重积分的计算法(直角与)

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1、第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法利用直角坐标计算利用直角坐标计算(续续)利用极坐标计算利用极坐标计算小结小结如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D.),(),()()(21

2、 Ddcyydxyxfdydyxf X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.注注）二重积分化累次积分的步骤）二重积分化累次积分的步骤画域，画域，选序，选序，定限定限）累次积分中积分的上限不小于下限）累次积分中积分的上限不小于下限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好要根据积分区域的形状来确

3、定，这首先要画好区域的草图，区域的草图，画好围成画好围成D的几条边界线，的几条边界线，若是若是X型，型，就先就先 y 后后 x;若是若是Y型，型，就先就先 x 后后 y.注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。积分限是常数。一、化二重积分为二个一次积分，会确定积分限4yx13x1y2xxy24xyxy1Dd)y,x(f1222D、环形闭区域围成闭区域及，、由围成闭区域及、由为为二次积分。其中区域化二重积分例 11-x-1x122-x-4x421x-4x411-x-1x411-x-4x11-2-x-4x4212y1212y121xx140y4

4、y40 x2x2222222222222dy)y,x(fdxdy)y,x(fdxIdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxI3dx)y,x(fdydx)y,x(fdydy)y,x(fdxI2dx)y,x(fdydy)y,x(fdxI1:或、答案解解积分区域如图积分区域如图xy 1xy 222xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.二、会交换积分顺序，把X型区域与Y型区域互换解解axy2 22xaxy 22yaax a2aa2a原式原式=ayaaaydxyxfdy02222),(aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaa

5、aydxyxfdy解解D 211yyxyY型型I =21122yydxxydy 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范的不同范围内有不同的表达式，围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。须分片积分，计算较麻烦。213249)(dyyyy212121DxyyxyDdxdyxy1,2,:,522计算例三、会计算两个一次积分，从后往前积分，后一次积分作为前一次积分的被积函数。例例6 计算计算 DxyxyyxxDdxdyye1,2,2,1:,解解D是是X型区域型区域 2121xxydyyedxI要分部积分要分部积分不易计算不易计算D若将若将D看做看做Y型区域，

6、型区域，则须分片则须分片 21211021dxyedydxyedyIxyyxy易见尽管须分片积分，但易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。分相对而言也较方便。2421ee 解解 dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 9 9 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI22112x

7、y xy 121)(dxeexx.2183ee 例例 1 10 0 求求由由下下列列曲曲面面所所围围成成的的立立体体体体积积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.例例10 计算计算 DxyxyDdxdyxxy2,:,1)1sin(2解解根据积分区域的特点根据积分区域的特点14-12应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分dxxxydyIyy 21221)1sin(但由于但由于 1)1sin(xx对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。须改变积分次序。先先 x 后后 y 有有dyxxydxxx 4121)1sin(dxxxxx1)1sin()2(210

8、241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxIxx 101)1sin(奇函数奇函数 化二重积分为累次积分时选择积分次序的重化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来积不出来以上各例说明以上各例说明 为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪为了使二重积分的计算较为方

9、便，究竟选用哪一种积分次序一种积分次序主要由积分区域的特点来确定主要由积分区域的特点来确定，在积，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点兼顾被积函数的特点，看被看被积函数对哪一个变量较容易积分积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分总之要兼顾积分区域和被积函数的区域和被积函数的特点。特点。二、小结二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydy

10、xf X型型Y型型（根据（根据被积函数和积分区域被积函数和积分区域的特点要正确选择的特点要正确选择积分次序积分次序）思考题思考题设设)(xf在在1,0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(，求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题解答思考题解答 1)(xdyyf不不能能直直接接积积出出,改改变变积积分分次次序序.令令 110)()(xdyyfxfdxI,则则原原式式 ydxyfxfdy010)()(,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfI)()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 练练 习习 题题一一、填填空

11、空题题:1 1、Ddyyxx)3(323_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.其其中中 .10,10:yxD 2 2、Ddyxx)cos(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.其其中中D是是顶顶 点点分分别别为为 )0,0(，)0,(，),(的的三三角角形形闭闭区区域域 .3 3、将将二二重重积积分分 Ddyxf),(,其其中中D是是由由x轴轴及及半半圆圆周周 )0(222 yryx所所围围成成的的闭闭区区域域,化化为为先先对对y 后后对对x的的二二次次积积分分,应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

12、_ _ _ _ _.4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf),(,其中其中D是由直线是由直线 2,xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分,应为应为 _._.5 5、将二次积分、将二次积分 22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序改换积分次序,应为应为_._.6 6、将二次积分、将二次积分 xxdyyxfdxsin2sin0),(改换积分次序改换积分次序,应为应为_._.7 7、将二次积分、将二次积分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序改换积分次序,应为

13、应为_._.二二、画画出出积积分分区区域域,并并计计算算下下列列二二重重积积分分:1 1、Dyxde,其其中中D是是由由1 yx所所确确定定的的闭闭区区域域.2 2、Ddxyx)(22其其中中D是是由由直直线线 xyxyy2,2 及及所所围围成成的的闭闭区区域域.3 3、xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),(。4 4、,2 Ddxdyxy其其中中D:20,11 yx.三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线,2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成,它的面密度它的面密度22),(yxyx ,求该求该薄片的质量薄片的质量.四、四、求由曲面求由曲面222yxz

14、 及及2226yxz ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积.练习题答案练习题答案一、一、1 1、1 1；2 2、23 ；3 3、220),(xrrrdyyxfdx；4 4、22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、211210),(yydxyxfdy；6 6、yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),(；7 7、21120),(xexdyyxfdx.二二、1 1、1 ee；2 2、613；3 3、；4 4、235 .三三、34.四四、6.作业:p95 1(2)(4);2(2)(4);6;15(3)iiiiiirrr

15、2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr (,)(,)co.s,sin()DDDf x y df x y drxddrrdryfAoDiiiiirr iirrr二重积分的计算法（二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积1.DDdrdrd1、区域特征如图，极点在区域之外、区域特征如图，极点在区域之外ADo)(1 r)(2 r ,).()(21 r(cos,sin)Df rrdr rd.)sin,cos()()(21 rdrrrfd例例 1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf)

16、,(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11|),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解D：ar 0，20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 在直角坐标系下，无法求解dxdyeDyx 22222222aaxxyaaxdxedy例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解|),(2221R

17、yxyxD S1D2D2|),(2222RyxyxD 0,0|),(RyRxyxS 0,0 yx显显然然有有 21DSD ,022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re ,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4,221?2xedx例例 4

18、 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D 为由圆为由圆 yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解03 xy32 yyx422 sin4 r03 yx61 yyx222 sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 xyxdyxD2a:D)(2222例0,0,42x:D2222yxyxdyxD例dxdyyxyxyx22)(22例1:D),(2yxdyxfD例234cos20222adda916342cos220ddxyyxdxyD2)(:D222例ddsincos02434sin2

19、22003sin2220sincos1sincos6dddd 练习：例例 5 5 计计算算二二重重积积分分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其其中中积积分分区区域域为为41|),(22 yxyxD.解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分，14DD Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd.4 例例 6 6 求曲线求曲线)(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下,222arayx )(2)

20、(222222yxayx ,2cos2 ar 由由 arar 2cos2,得得交交点点)6,(aA,所所求求面面积积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a例例7 计算计算RxyxDdyxRD 22222:,解解rdrrRdIR 22cos022 2223220cos)(31 dRrR 22232223)cos(31 dRRR dRsin1 32233|)sin|)(sin(3232 注注意意 2033)sin1(32 dR)34(33 R思考题思考题 交交换换积积分分次次序序:).0(),(cos022 adrrfdIa二、小结二、小结二重积分在极坐标下的计

21、算公式二重积分在极坐标下的计算公式 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd （在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）思考题解答思考题解答oxy cosar aDararccos ararccos ,cos022:arD.),(arccosarccos0 araradrfdrI 练练 习习 题题练习题答案练习题答案一一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(；2 2、1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、sec2034)(rdrrfd；4 4、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、2cossin0401rdrrd,12 .二二、1 1、)12ln2(4 ；2 2、414a；作 业习题9-211(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4).