稳态误差分析及PID调节作用

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1、3-7稳态误差分析控制系统在输入信号作用下，其输出信号中将含有两个分量。其中一个分量是暂态分量。它反映 控制系统的动态性能，是控制系统的重要特性之一。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的增长而逐 渐消失，最终将趋于零。另一个分量称为稳态分量。它反映控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的 能力和准确度，它是控制系统的另一个重要特性。对于稳定的系统来说，稳态性能的优劣一般是根据 系统反应某些典型输入信号的稳态误差来评价的。因此，本节着重建立有关稳态误差的概念。一、误差和稳态误差设是控制系统输出(被控量)的希望值，C(s)是控制系统的实际输出值。我们定义系统输出 的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误

2、差，记作(5),即E(s) = Cr -C(s)(3-40)对于如图3-36(a)所示单位反馈系统，输出的希望值就是系统的输入信号。因此，系统的误差为E(s) = R(s) - C(5)(3-40a )可见，单位反馈系统的误差就是偏差($)。但对于如图336(b)所示的非单位反馈系统，输 出的希望值与输入信号之间存在一个给定的函数关系。这是因为，系统反馈传递函数H(S),通常是 系统输出量反馈到输入端的测量变换关系。因此，在一般情况下，系统输出的希望值与输入之间的关 系为Cr(5)= -,所以系统误差为HG)E(s) =Rm(3-40b)显然，在非单位反馈系统中，误差与偏差是有差别的。由图 3

3、36(b)和式(3N0b)不难看出，它们之间存在如下简单关系-t0(5)E(s) =(3-40c)所谓稳态误差，是指系统在趋于稳态后的输出希塑值5(00)和实际输出的稳态值Cc)之差，即J =c)-c(s)下面举二个例子说明稳态误差究竟是如何产生的?它与 哪些因素有关？(W图3-36 控制系统典 型结构图1.随动系统如图17所示随动系统，要求输出角0以一定精度跟踪输入角乞，显然这时输出的 希望值就是系统的输入角度。故这个随动系统的偏差就是系统的误差。图3-37 图1-7随动系统的响应曲线入轴突然转过某一角度乞，如图3-37（a）所示。由于系统有“惯性”，输出不可能立即跟上输入乞，于 是出现误差

4、，此时= 0,. - Oc H 0 ,相应的讥丰0 ,电机就要开始转动，使输出轴跟随输入轴转动, 直到Q. =0,Q.=O, Ue = 0时为止。此时电机停止转动，系统进入新的平衡状态。可见，在这种情 况下，系统将不产生稳态误差。如图3-37（a）所示。假定输入轴作等速转动（斜坡输入），如图3-37（b）所示。显然，这时输出轴仍将跟随输入轴转动。 而且，当瞬态过程结束，系统进入新的稳态后，输出轴的转速将等于输入轴的转速，即彳=彳,但是 彳工即0.HO,如图3-37 （b）中所示。原因如卞：要电机作等速转动，就一定要求其输入端 有一定的电压，因此放人器的输入电压匚也必不为零，所以乞也就不为零。其

5、次，假如输入速度 增加（其余情况保持不变），那么维持电机转动的电压亦应增加，因此相应的，和乞也增加（图3-37 （c）o由此可知，稳态误差将随着输入轴转速的增加而加大。最后，如增大放人器的放人系数，那么同样大小的值所需要的叭值就小，对应的0.也就小了。 因此，稳态误差随着放大系数的增人而减小。由此可见，对这样一个随动系统，系统的稳态误差和外作用的形式、人小有关，也与系统的结构 参量（开环放大系数）有关。2.电压自动控制系统 首先研究一个较 简单的电压控制系统，其原理图如图3 38所 示，要求控制发电机发出的电压保持某一恒值。 系统的控制信号为“，其犬小等于被控制量“ 的希望值。通常它是一个恒值

6、，故此系统是一 个镇定系统。作用在系统上的干扰信号为负载 的变化。电压控制系统的误差是 当系统稳态时，不论负载是否存在，输出电压总不等于零。要使不等于零，则发电机激磁电压匕 也不能为零，因此，总不为零。显然，系统处于稳态时（即负载不变），为常值，即此系统的稳态误 差不为零。如何来减小或消除系统的稳态误差呢? 一种方法是町以通过增加放人器的放人系数来减小稳态误 差，但不能消除。另一种方法，可以改变系统结构来消除或减小稳态误差。如在图3-38系统中加入 电机和电位器（给系统増添了枳分坏节）成为图1-2所示的电压控制系统。此系统在恒值负载的情况卞 稳态误差为零。先看一下系统在空载时消除稳态误差的物理

7、过程。假定Ullr,则心 u , ue 0 ,-的出现就会重复上述过程，使电动机转动电刷增加激磁电压，直至/ = U,.时电机才停止转动，此 时-回到零。可见，系统不论负载如何改变，在稳态时系统的稳态误差总为零。综上所述，系统的稳态误差，不仅与外作用形式、人小有关，并且还与系统结构、结构参量有关。 二、单位反馈系统稳态误差的计算误差本身是时间/的函数，在时间域中以(/)表示。因此，控制系统稳态误差实质上是误差信号 的稳态分量，即当时间/趋于无穷时(/)的极限存在，则稳态误差为% = hill e(t)因此，可以利用终值定理求取系统的稳态误差，即(341). =Lime(f) = lim/-x这

8、样计算稳态误差比求解系统的误差响应e(t)要简单得多。终值定理使用条件是讯/)的拉氏变换式E(s)在s平面的右半平面和虚轴上(坐标原点除外)必 须解析，即E(s)的全部极点都必须分布在s平面的左半平面。由上可知，利用终值定理求稳态误差，实质问题归结为求误差讯/)的拉氏变换式E(s)a图3-39为一个单位反馈系统。由于单位反馈系统的误差与偏差相同，因此，其误差疋($)直接可 以从系统偏差传递函数($)中得到，即左)=空=空1R(s) R(s)14- G(s)C(5)则有(342)图3-39单位反馈控制系统1.利用终值定理可求得不同输入函数卜的稳态误差R(1)阶跃输入p) = R。】(/)时(&表

9、示阶跃量大小的常值),则R(s)=,由式(341)和(342), s如=忸处)=呻島牛=币存丽(343a)(2)斜坡输入r(O = VQtl(f)时(匕表示输入信号的速度)，则R(s) = Vq/s2，由式(341)和(342),(3-43b) 等加速输入r(t) = aQt2 l(f)/2 (其中心为加速度)，则RG)=第由式(3-41闭1(342),得o(343c)由式（343ac）可见.稳态误差与输入函数人小成正比。同时与系统开环传递函数G（s）有关。我们定义K n = lnil G（s）（3-44a）3 -0Kv = Inn sG(s)sTO(344b)Ka = lnii52G(5)s

10、TO(3-44c)Kp、心和心分别称为位置、速度和加速度静态误差系数，统称为静态误差系数。用这些静态误差 系数表示稳态误差，则有(3-45a)(345b)(345c)因此，把相对应的稳态误差也分别称为位置、速度和加速度误差。但要注意：速度误差（或加速度误 差）这个术语，是表示系统在斜坡输入（或加速度输入）作用时的稳态误差。当我们说，某系统速度（或 加速度）误差匕为常值时，并不是指系统在到达稳态后，其输入与输出在速度（或加速度）上有一个固 定的差值，而是说系统在斜坡（或加速度）输入作用下，到达稳态后，在位置上有一个固定的差值（误差）。 图340中，清楚地显示了这一点。由式（3-45ac）可知，心

11、、K、和K的人小，分别反映了系统在阶跃、斜坡和加速度输入作用 卜系统的稳态精度及跟踪典型输入信号的能力。静态误差系数越人，稳态误差越小，跟踪精度越高。图3-40单位反愦系统的响应及其稳态误差总之，静态误差系数K,、K、.和K“均是从系统本身的结构特征上体现了系统消除稳态误差的能 力，它反映了系统跟踪典型输入信号的精度。根据静态误差系数的定义可知，它们与系统开环传递函数G（s）有关，因此稳态误差还与系统结 构形式及参数有关。将G(s)写成典型环节形式，即(252)式K(z+1)+匚 s + l)5$) = 十(70 + 1)(右代+2乙7 + 1)对上式取Inn G($) = lun .、T0S

12、TO 5V对照式(3-44ac),清楚地表明，静态误差系数只与开环传递函数中的积分环节、放大系数有关，而 与时间常数无关，为了能更方便地说明问题，根据系统开坏传递函数中所包含积分坏节的数目将控制 系统分成不同类型：当y = O时，开坏传递函数中无积分环节，称为零型系统。当y = l时，开环传递函数中有一个积分坏节，称为一型系统。当v = 2,3,-时，开坏传递函数中有二、三、个积分坏节，称为二型、三型、等系统。2.系统的类型和误差系数(1)零型系统(v = O)K“ =iimG(s) = lim = KA： =lnii5= 0 0 5VKa =lnii52 = 0STO则有e = =；e =

13、= 8 ； e = = oc1+K“1+K w Kvss Ka可见零型系统，只有位置误差是有限值，速度和加速度误差均为无穷人。因此，在阶跃输入卞，若系 统允许存在一定的稳态误差时，可以采用零型系统。如果对阶跃输入，希望稳态误差为零，则零型系 统无法满足要求。(2) 一型系统(V = l)则有K = lull = oo$TO SK=hins = KKa =lnii52 = 0ST 5则有在上式所有典型环节中均不岀现负项，山该特征的传递函数构成的系统，称为最小相位系统。有关这方而的内容参见 第五帝R1+心=o；显然，一型系统对阶跃输入是不存在稳态误差，而对斜坡输入有一定的常值稳态误差，对加速度输入

14、 以及更高阶次的输入稳态误差为无穷大。其曲线如图3-41所示。（3）二型系统3 = 2）则有$T5Ka = Um 爲=KTO 厂因此佥弋理显然，二型系统对阶跃和斜坡输入的稳态误差都为零，而对加速度输入有稳态误差。K“的人小反映 系统跟踪等加速度输入信号的能力。K“越人，稳态误差越小，精度越高。在表33中，列出了最小相位系统的类型、静态误差系数及稳态误差与输入信号之间的关系。表3-3输入信号作用下的稳态误差系统类型静态误差系数r(f) =农 0*1)（2）=政）七）0纽2V氐-丘。1 +心胡0K 0081800N、828800由表可见:(1) 在对角线上(如表中虚线所示)，静态误差系数均为系统开

15、坏增益K；对角线以上的静态误差 系数为零；对角线以卞为无穷人。对应的稳态误差栏对角线上均为有限常值，且与系统开环增益 成反比，与系统输入量人小成正比。而在稳态误差栏对角线以上匕$为无穷犬；在对角线以下为零。这充分说明了，静态误差系数越大，稳态误差越小，系统跟踪输入信号的能力越强，跟踪精度越 高。所以误差系数K,、K、.和K“均是系统本身从结构特征上体现了消除稳态误差的能力。(2) = 0,即零型系统，对三种典型输入均有差，故又称作有差系统。一型系统(v = l),对阶 跃输入信号为无差，而对斜坡和加速度输入为有差，故称一阶无差系统。二型系统(v = 2),对阶跃 和斜坡输入均为无差，而对加速度

16、输入为有差，故称二阶无差系统。可见，系统类型越高，系统稳态 无差度越高。因此，从稳态准确度的要求上讲，积分 环节似乎越多越好，但这要受系统稳定性的限制。因 而实际系统一般不超过二个积分环节。图3-42积分坏节的输入、输岀特性为什么在开环系统中串入枳分坏节能使有差系 统变成无差系统呢?这要从积分环节的输入输出特性 上得到解释。理想积分环节的输出等于输入对时间的 积分。如图3-42所示，当输入不为零时，输出将不 断变化。只有当输入为零时，输出才保持某一常值不 变。此常值为“不定值”，其具体数值由输入为零前 的工作情况所决定。由于枳分坏节的上述特性，即可 理解，为什么在开坏传递函数中包含有串联积分坏

17、节时，在阶跃函数作用下就不会存在恒定的误差。同时，也町以说明，如呆输入信号变化复杂，或者为正负交变的信号，那么枳分坏节再多也不解决问 题了。【例3-7】如图3-43所示系统，若已知输入信号r(t) = l(t) + t + t2/2。试求系统的稳态误差。 解首先，判别系统的稳定性，系统闭坏特征方程为展开整理得=0”(7；+l)+K|K”g + l) = 0根据代数判据，可知系统稳定的条件：4 0,即几、K加和r均应人于零：a冬-仇山)0,即(K】K肿 0 ,因此要求r Tm。其次，根据计算稳态误差的公式，可以直接求出系统的稳态误差。由图3-43可知，系统为单位反馈系统，系统的偏差即为误差；系统

18、开坏传递函数中有二个枳分 环节，即为二型系统。因此，由表3-3可知：当输入r(0 = 1(/)时,ess=0当输入r(O = f时，= 0图3-43例3-7系统结构图当输入/) = *广时,0 1 1匕$ -K “K血所以，系统在r(r) = l(r) + r + -r2输入下的稳态误差为 21应当指出：系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义。三、耳睥位反馈系统稳态误差的计算非单位反馈系统如图3H4所示。根据系统误差的定义式(340b),即由于C(s)=R(s) C(s)G(s)1 + G(s)H(s)R(s)图3-44非单位反馈系统因此E(s) = - 一啦一/心)H(s) + G(s)

19、H(s)同样可利用终值定理计算稳态误差，则S = lull sE(s)STO皆6)=1U11 5STOG(s)l + G($)H(s)R(s)(3-47)假定系统输入信号为r(t) = l(r),其单位为弧度；/(5)= 0.1； (7(5)=,将上述已知条件5 + 1代入式(347),求得非单位反馈系统在阶跃输入下的稳态误差=Inn sST01 10当然，还可以利用误差与偏差之间的关系式(3N0c)E(s) =g(s)进行计算。首先计算出偏差，然后再换算成误差。仍以图344系统为例计算如2由图344得偏差信号的拉氏变换式($)=占=R(S)八1+G /($)利用终值定理代入上述己知条件，计算

20、稳态偏差=liin se(s) = liin s$to$to 1+G(s)H($)最后得系统稳态误差(己知H($) = O1)；匕，=5(sd)。显然，二种计算方法结果是相同的。四、干扰作用下的稳态误差由于控制系统经常处于各种扰动作用之下，如负载的变动，电源电压波动及系统工作环境温度、湿度的变化等等。因此，系统在扰动作用下的稳态误差人小就反映了系统抗扰动的能力。在理想情况 卜，总希塑系统对任何扰动作用的稳态误差为零。但实际上，这是不可能做到的。对于扰动作用下的稳态误差，同样可以采 用终值定理计算。系统典型结构图如图3-45 所示。假定系统无输入作用，只有扰动N作 用在系统上。这时，系统输出的希

21、望值为零， 而实际输出值为C(s) = n(s)N(s) =1+說(严图3-45系统典型结构图因此，扰动作用卜系统的误差为=-C(s)=l + GG)Gf)N(s)利用终值定理得=Inn sE (5) = - lun 5$-o$to(3-48)假定图345所示系统中，己知GJs) =7 + 1G2=心s(T2s + l)R试求在阶跃干扰N=亠 作用下系统的稳态误差。 s将上述己知条件代入式(348)并整理得= -lun5 +叽 0 s(Is +1)(5 +1) + KK?由此可见:(1)系统的稳态误差不等于零，其人小随K】的增加而减小。因此可通过增加K】来减小扰动作用 卜的稳态误差。 稳态误差

22、与干扰信号人小他成正比。(3) 干扰的作用点改变后，由于干扰作用点到系统输出前向通路传递函数不同，因此稳态误差也 就不同。所以稳态误差还与干扰的作用点有关。下面我们讨论减小稳态误差的方法。如上所述，改变放人系数无疑是一种方法，但显然不能用无 限增加放犬系数K的方法使S趋于零，因为这样会导致系统的不稳定。如前所述，对于输入信号/)的稳态误差，可以在系统中串入枳分坏节来增加系统的无差度。对 于干扰信号是否也成立呢？设在图3-45系统中Kk弘)=才久(。；G2(s) = -G20(s)式中G10(5)和G($)中均为一阶、二阶的典型环节串联形式。将G和GG)代入式(348)并整理得若要使系统的稳态误

23、差为零，则必须使R若N($) =，因此要使s=0就必须vlo就是说，如欲使系统在阶跃干扰作用卞无稳态误差，则应在干扰作用点之前至少串入 一个积分环节。若n(t) = VQt时，则N(s) = 4 要使系统无稳态误差，G($)中至少要有两个积分坏节v = 2o 5由上分析表明，G】(s)为误差信号与干扰作用点之间的传递函数。因此，系统在典型干扰作用下 的稳态误差与误差信号到干扰信号作用点之间的积分环节数目和放犬系数人小有关，而与干扰作用点 后面的枳分坏节数目及其放人系数人小无关。若求系统在输入和扰动同时作用下的稳态误差，则应求系统分别在输入和扰动作用下的稳态误差 之和。PID校正的作用是什么？答：PID校正即PID调节作用。1) P比例作用：使调节器的输出信号与输入信号的幅值成比例，这是调节过程中最基本的作用，因 此，它是所有控制系统中不可缺少的。2) 1一积分作用：使输出信号正比于偏差信号对时间的累计值，可提高控制精度，做到无差控制。3) D微分作用：使输出信号正比于偏差信号的变化速度，起到加速控制作用。4) PID校正是使输出信号具有这三项调节作用之积。