《科学计算引论》实验课：第一章 数值分析基础

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1、科学计算引论科学计算引论实验课实验课第一章第一章 数值分析基础数值分析基础本章内容简介 1.1 1.1 矩阵理论矩阵理论 2 2.2 .2 差分方程差分方程 2 2.3 .3 计算精度计算精度 2 2.4 .4 向量微积分向量微积分2 2q 向量与矩阵的生成 1.1 向量与矩阵运算u 向量的生成向量的生成 直接输入直接输入:a=1,2,3,4 冒号冒号运运算符算符a=1:4 =a=1,2,3,4b=0:pi/3:pi =b=0,1.0472,2.0944,3.1416c=6:-2:0 =c=6,4,2,0例例：从矩阵中抽取行或列从矩阵中抽取行或列q 向量与矩阵的生成（续）向量与矩阵运算u 矩阵

2、的生成矩阵的生成 直接输入直接输入:A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 由向量生成由向量生成 由函数生成由函数生成 通过编写通过编写m文件生成文件生成例例：x=1,2,3;y=2,3,4;A=x,y,B=x;y例例：C=magic(3)常见矩阵生成函数zeros(m,n)生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n)ones(m,n)生成一个 m 行 n 列的元素全为 1 的矩阵,m=n 时可写为 ones(n)eye(m,n)生成一个主对角线全为 1 的 m 行 n 列矩阵,m=n 时可简写为 eye(n)，即为 n 维单位矩阵diag(X)若 X 是矩阵，则 d

3、iag(X)为 X 的主对角线向量若 X 是向量，diag(X)产生以 X 为主对角线的对角矩阵tril(A)提取一个矩阵的下三角部分triu(A)提取一个矩阵的上三角部分rand(m,n)产生 01 间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为 rand(n)randn(m,n)产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵m=n 时简写为 randn(n)矩阵操作q 提取矩阵的部分元素：提取矩阵的部分元素：冒号运算符冒号运算符u A(:)A的所有元素的所有元素u A(:,:)二维矩阵二维矩阵A的所有元素的所有元素u A(:,k)A的第的第 k 列，列，A(k,:)A的第的第 k 行行 u A(k:

4、m)A的第的第 k 到第到第 m 个元素个元素u A(:,k:m)A的第的第 k 到第到第 m 列组成的子矩阵列组成的子矩阵A(:)与与 A(:,:)的区别的区别?如何获得由如何获得由 A 的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？自己动手矩阵操作q 矩阵的旋转矩阵的旋转u fliplr(A)左右旋转左右旋转u flipud(A)上下旋转上下旋转u rot90(A)逆时针旋转逆时针旋转 90 度；度；rot90(A,k)逆时针旋转逆时针旋转 k90 度度例例：A=1 2 3;4 5 6 B=fliplr(A)C=flipud(A)D=rot90(A),E=ro

5、t90(A,-1)矩阵操作q 矩阵的转置与共轭转置矩阵的转置与共轭转置u 共轭转置共轭转置u .转置，矩阵元素不取共轭转置，矩阵元素不取共轭例例：A=1 2;2i 3i B=A C=A.点与单引号之间不能有空格点与单引号之间不能有空格！矩阵操作q 改变矩阵的形状：改变矩阵的形状：reshapereshape(A,m,n):将矩阵元素按将矩阵元素按 列方向列方向 进行重组进行重组重组后得到的新矩阵的元素个数重组后得到的新矩阵的元素个数必须与原矩阵元素个数相等必须与原矩阵元素个数相等！矩阵操作q 查看矩阵的大小：查看矩阵的大小：sizeu size(A)列出矩阵列出矩阵 A 的的行数和列数行数和列

6、数u size(A,1)返回矩阵返回矩阵 A 的的行数行数u size(A,2)返回矩阵返回矩阵 A 的的列列数数例例：A=1 2 3;4 5 6 size(A)size(A,1)size(A,2)u length(x)返回返回向量向量 X 的的长度长度u length(A)等价于等价于 max(size(A)矩阵基本运算q 矩阵的加减矩阵的加减：对应分量进行运算对应分量进行运算要求参与加减运算的矩阵具有要求参与加减运算的矩阵具有 相同的维数相同的维数例例：A=1 2 3;4 5 6;B=3 2 1;6 5 4 C=A+B;D=A-B;q 矩阵的普通乘法矩阵的普通乘法要求参与运算的矩阵满足线性

7、代数中矩阵相乘要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的的原则原则例例：A=1 2 3;4 5 6;B=2 1;3 4;C=A*B矩阵基本运算q 矩阵的矩阵的除法除法：/、右除和左除右除和左除 若 A 可逆方阵，则AB A 的逆左乘的逆左乘 B =inv(A)*BB/A A 的逆右乘的逆右乘 B B*inv(A)X=AB A*X=BX=B/A X*A=B 通常，矩阵除法可以理解为 当当 A 和和 B 行数相等行数相等时即可进行时即可进行左除左除 当当 A 和和 B 列数相等列数相等时即可进行时即可进行右除右除矩阵的乘方u A 是方阵，p 是正整数Ap 表示 A 的 p 次幂，即 p 个 A 相

8、乘。u 若 A 是方阵，p 不是正整数 Ap 的计算涉及到的计算涉及到 A 的特征值分解，即若的特征值分解，即若 A=V*D*V-1 则 Ap=V*(D.p)/V矩阵的乘方u 若 a 是标量，A 是方阵，且 V,D=eig(A)，则 aA V*(aD)/Vu 若 A,P 均是矩阵，则 AP 无定义u 若 a 是标量，ndddD00000021ndadadaDa00000021则矩阵的数组运算q 数组运算：数组运算：对应元素进行运算点与算术运算符之间不能有空格！u 数组运算包括：数组运算包括：点乘点乘、点除点除、点幂点幂u 相应的数组运算符为：相应的数组运算符为：“.*”，“./”，“.”和和“

9、.”参与运算的对象必须具有相同的形状！参与运算的对象必须具有相同的形状！例例：A=1 2 3;4 5 6;B=3 2 1;6 5 4;C=A.*B;D=A./B;E=A.B;F=A.B;函数取值设设 x 是变量，是变量，f 是一个函数是一个函数u 当当 x=a 是标量时，是标量时，f(x)=f(a)也是一个标量也是一个标量u 当当 x=a,b,c 是向量时，是向量时，f(x)=f(a),f(b),f(c)q 函数作用在矩阵上的取值函数作用在矩阵上的取值u 若若 A 是矩阵，则是矩阵，则 f(A)是一个与是一个与 A 同形状的矩阵同形状的矩阵 f 作用在作用在 x 的的每个分量上每个分量上函数取

10、值例例：x=0:pi/4:pi;A=1 2 3;4 5 6;y1=sin(x);y2=exp(A);y3=sqrt(A);)exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp(212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA例例：矩阵的超越函数q Matlab 提供了三种矩阵函数：expm、sqrtm、logm详情参见联机帮助（详情参见联机帮助（help expm/sqrtm/logm）q 更一般的矩阵函数：funmu funm(A,fun)参数参数 fun 的可以是的可以是 exp,，log，cos，sin，cosh，sinh 数与数组的

11、点幂x.y=14,25,36=1,32,729 x.2=12,22,32=1,4,9 2.x=?.前面留个空格前面留个空格例例：x=1 2 3;y=4 5 6;2.x;y=?Matlab中的所有中的所有标点符号必须在标点符号必须在英文状态下输入英文状态下输入Matlab中常见数学函数sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imag、signfix、floor、ceil、round、mod、remmax、min、sum、mean、sort、fftnorm、

12、rank、det、inv、eig、lu、qr、svd log 是自然对数，即以是自然对数，即以 e 为底数为底数 mod(x,y)结果与结果与 y 同号，同号，rem(x,y)则与则与 x 同号同号 max 等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上矩阵的 Kronecker 积q 矩阵矩阵 Kronecker 乘积乘积的定义的定义 设A是nm矩阵，B是pq矩阵，则A与B的kronecker乘积为：mmnnnma Ba BaBa Ba BaBCABa Ba BaB111212122212q Kronecker 乘积乘积的性质的性质u 是是 npmq 矩阵；

13、矩阵；通常通常BAABBAu 任何两个矩阵都有任何两个矩阵都有 Kronecker 乘积乘积 u Kronecker乘积有时也称张量积乘积有时也称张量积例例：A=1 1;2 2 B=1 2 3;4 5 6;7 8 9 C=kron(A,B)矩阵的 Kronecker 积自己动手生成矩阵，验证生成矩阵，验证Kronecker积的性质积的性质q Matlab 中中 的命令：的命令：kron(A,B)AB 向量和矩阵范数设函数设函数 f:Rn R，若，若 f 满足满足(1)f(x)0，x Rn,等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立时成立(2)f(x)=|f(x)，x Rn,R(3)f(x+y)f

14、(x)+f(y)则称则称 f 为为 Rn 上的（向量）范数，通常记为上的（向量）范数，通常记为|例：例：，是，是 Rn 上向量范数上向量范数11,1,)nppipixxp n 向量范数向量范数向量和矩阵范数11niixx n 常见的向量范数常见的向量范数12221niixx 1maxii nxx 无穷范数（最大范数）无穷范数（最大范数）2-范数范数 1-范数范数向量和矩阵范数n 矩阵范数矩阵范数 算子范数算子范数(从属范数、诱导范数从属范数、诱导范数)其中其中|是是 Rn 上的任意一个范数上的任意一个范数10supmaxnxx RxAxAAxx 向量和矩阵范数111maxnijj niAa n

15、 常见的算子范数常见的算子范数2()TAA A 无穷范数（行范数）无穷范数（行范数）2-范数（谱范数）范数（谱范数）1-范数（列范数）范数（列范数）11maxniji njAa 向量和矩阵范数自己动手例例：x=1 2 3 norm1=norm(x,1)norm2=norm(x)norminf=norm(x,inf)例例：A=1 2 3;4 5 6 norm1=norm(A,1)norm2=norm(A)norminf=norm(A,inf)B 生成向量和矩阵，验证常见向量和矩阵范数及其性质生成向量和矩阵，验证常见向量和矩阵范数及其性质q Matlab 中范数的命令：中范数的命令：norm 1.

16、2 差分方程自己动手B 利用函数命令生成矩阵或向量，求差分利用函数命令生成矩阵或向量，求差分q Matlab 中差分的命令：中差分的命令：diff例例：h=pi/3;x=0:h:pi;diff(sin(x.2)/h例例：A=3 7 5;0 9 2;diff(A,1,1)diff(A,1,2)diff(A,2,1)%二阶二阶 diff(A,2,2)1.3 计算精度q Matlab 输出格式输出格式u Matlab 以双精度执行所有的运算，运算结果可以以双精度执行所有的运算，运算结果可以在在屏幕上输出屏幕上输出，同时，同时赋给指定变量；赋给指定变量；若无指定变量，则系若无指定变量，则系统会自动将结

17、果赋给变量统会自动将结果赋给变量“ans”u Matlab 中数的输出格式可以通过中数的输出格式可以通过 format 命令指定命令指定format 只改变变量的输出格式，但不会影响变量的值只改变变量的输出格式，但不会影响变量的值！各种 format 格式格式解释例format短格式（缺省显示格式），同short3.1416format short短格式（缺省显示格式），只显示5位3.1416format long长格式，双精度数15位，单精度数7位3.14159265358979format short e短格式e方式（科学计数格式）3.1416e+000format long e长格式e方

18、式3.141592653589793e+000format short g短格式g方式3.1416format long g长格式g方式3.14159265358979format compact压缩格式format loose自由格式format+/format bank /format rat/format hex (详情查看联机帮助)自己动手对同一数值，观察不同对同一数值，观察不同format下的输出下的输出误差：数值计算注意事项q 避免数量级相差很大的数相除避免数量级相差很大的数相除可能会产生溢出的情形可能会产生溢出的情形q 避免大数吃小数避免大数吃小数例：例：计算计算(109+10-9-109)/10-9 例：例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算S=1+2+3+40+1016ex11.m求和时求和时 从小到大从小到大 相加，可使结果的误差减小相加，可使结果的误差减小ans=0?1.4 向量微积分自己动手B 求某一向量值函数在一具体点处的导数求某一向量值函数在一具体点处的导数q Matlab 中求中求Jacobi矩阵的命令：矩阵的命令：jacobian例例：syms x y z f=jacobian(x*y*z;y;x+z,x y z)x=1,y=2,z=3;subs(f)