三方程组ppt课件

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1、线性方程组线性方程组一一.基本概念题基本概念题).(|)1(1的增广矩阵为矩阵，求为有解，其中元非齐次线性方程组设例AAAnnAbAxn.0|1)()(AnnArArbAx，从而有解，故因为解.02,0,0 2kzyxzkyxzykx有非零解，求若例.4 1 0|11211113)(0 kkAkkAnArAx或，解得，故有，又有非零解，所以因为解.)4,3,2,1()5,4,3,2(,3 3321321的通解，求，是它的三个特解，且，为的秩的系数矩阵组设四元非齐次线性方程例AxAAxTT.0 3)(4 的基础解系含一个向量，故，因为解AxArn 0 0)6,5,4,3()(2)3,25,2,2

2、3(2 321321的一个基础解系，的解，从而为为或又AxAxTT.,)6,5,4,3()5,4,3,2(,)3,25,2,23()5,4,3,2(1RkkRkkkAxTTTT或或的通解为所以方程组二二.求解线性方程组求解线性方程组1.求 Ax=0 的通解或基础解系步骤：(1)写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式行最简形式（同时得到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；(2)由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；(3)对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.2.求 Ax=b 的通解当有

3、解时，则，判断是否有解及为行最简形式，求出并用初等行变换将其化写出增广矩阵步骤：.)()()1(ArArA(2)由行最简形式写出同解方程组，求出 Ax=0 的基础解系及 Ax=b 的一个特解；(3)写出通解.23657,112 3,3 ,4342 4432143214314321xxxxxxxxxxxxxxx求解方程组例2365171121133110143412 A解，行变换00000000002121031101.224 02)()(个解向量的基础解系含对应齐次方程组，方程组有无穷多解且故AxArAr对应的同解方程组为）（*.22,3432431xxxxxx.)0,0,2,3(*0 43T

4、xx，得特解取.)1,0,1,1(,)0,1,2,1(11 2 110 01 212143TTxxxx基础解系为，从而导出组的，故，取.,*212211为任意常数方程组的通解为kkkk注：1.在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形式，这样有利于求解.2.根据同解方程组（*）式写对应齐次方程组Ax=0的基础解系时，不要将常数加进去.三三.特殊方程组的求解特殊方程组的求解.,)0,0,1(1 )(511的解求方程组，是实正交阵，且设例bAxbaaATnnij，由正交阵的定义知：又有惟一解，所以方程组为正交阵，故由于解1 .)()(11abAxnAraAnnij,00000132

5、22322nnnnnaaaaaaA方程组为：.0,0,12222221nnnnnnxaxaxaxax.)0,0,1(为其唯一解故T.132 032 6321321的全部解的基础解系，并求求例nnnxxxxnxxxx.1 01)(321 个解向量础解系含的基，方程组，故解nAxArnA，取因为)32(321nnxxxx,100,010,00132nxxx.100,0103,0012 121为一个基础解系则nn-，其全部解可表示为特解的一个是显然 132 ,0)(1,0,*321nTnxxxx.1,2,1,*1111niRkkkinn四四.含参数的方程组含参数的方程组.)()(.确定参数值件法，这

6、时依据有解的条其他情形常用初等变换一般方程组方程组化为不含参数的数值，从而将含参数的方程确定出参系数行列式等于零这一式等于零时，我们可由而当系数行列时，方程组有惟一解；即当系数行列式不为零则，其理论依据为克莱姆法列式法容易求出时更是首选行或系数行列式式法，特别当阶数较小参数时，常考虑用行列且系数中含有数，即系数矩阵为方阵未知数个数等于方程个当等变换法一是行列式法，二是初有两种方法确定参数：一般而言，解之前要先确定参数对含参数的方程组，求ArAr.1554,2 ,1 2 7321321321有无穷解时求其解解、有无穷多解？并在无解、有惟一为何值时，方程组例xxxxxaxxaxxa),45)(1(

7、5541112 aaaa原方程组的系数行列式解.54 1 时，方程组有惟一解且故当aa.1554,2 ,1 2 1 321321321xxxxxxxxxa时，原方程组为当,000011101001000011102111155421111112行变换化为：对其增广矩阵施行初等.)1,1,0()0,1,1(1 为任意实数）（组解，其通解为时，原方程组有无穷多因此，当kkaTT.1554,01554,55410 54 321321321xxxxxxxxxa程组为时，原方程组的同解方当,9000105545541015541055455410 行变换化为：对其增广矩阵施行初等.54 时，原方程组无解

8、由此可知当a五五.证明题证明题利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.)()(0 ,8nBrArABnBA，证明阶方阵，且均为设例的解，故为方程组，则，设因为证 0 ,),(0 11AxBABnn).(),(1Arnrn.)()()()(nBrArArnBr，从而有即.,0 0 911是线性无关的，证明向量组，且有解向量，使线性方程组阶矩阵，若存在正整数是设例kkkAAAxAknA)1(,0 ,12121kkkAA使得设有常数证,0 222111kkkkkAAAA，有等式两端左乘.0 0 00 1111，所以，但，有由kkkAAA(2),0 )1(0 121kkAA式，得代入将

9、,0 32122kkkkAAA，有等式两端左乘.0 .0 03212kkA类似地可求得，故有从而有.,1是线性无关的因此向量组kAA).()(9AArArnmAT 阶矩阵，证明为设例 .0 0 同解与只需证明方程组证AxAAxT).()(0 0 .0 0)()(0 0 0 AArArAxAAxAAAAAAAATTTTT同解，所以与因此，从而，则；反之，若，显然有若六六.应用题应用题利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、面关系问题.),3 ,1(,)3 ,2 ,1 ,1(,)4 ,1 ,2 ,1(,)5 ,0 ,3 ,1(10321TTTTba设例.,)2(.,)1(32132

10、1线性表示不能用取何值时，式线性表示？并求出表示能用取何值时，baba,321321332211Axxxxxxx，则有设解.,345210123111 321321xxxxA其中.,321有解的问题是否线性表示转化为方程组能否用从而AxbaAA34532101231111因为5210321032101111ba.200000032101111abaa.,2 0 321线性表示不能用时，方程组无解，从而或故当aba此时性表示线可由时，方程组有解，从而，且当 .,2 0 321ba,00000000321021010000000032101111A.)1,2,1()0,3,2(TTk方程组的通解为

11、.,)23()2(,321321为任意常数其中线性表示为可由从而kkkk注：讨论向量 能否由向量组 1,2,3 线性表示，并进一步求出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解的问题.例10 在直角坐标系中，三个平面的方程分别为：.1,1,0kzykxzkyxkzyx 问：当k为何值时，三个平面(1)交于一点；(2)没有交点；(3)交于一条直线。.1,1,0kzykxzkyxkzyx110,111111kbzyxXkkkAbAX 2)2)(1(001110011111111011,kkkkkkkkkkbA初等行变换解解：将3个平面方程连立组成方程组设则方程组可写为讨论3),()(bArAr时，当1.2k2),(,1)(bArAr时，当2.3k2),()(bArAr方程组有唯一解，此时3个平面交于一点；方程组无解，此时3个平面没有交点；方程组解无穷，此时3个平面交于一条直线。时，且当21.1kk