第五章-劳斯稳定性判据

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1、06-7-20控制系统的稳定性分析1第十二讲第十二讲第五章 控制系统的稳定性分析稳定的定义和代数稳定判据稳定的定义和代数稳定判据06-7-20控制系统的稳定性分析25.1 5.1 稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件p 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，

2、那这样的系统是不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。稳定系统在稳定系统在有界输入有界输入的作用下的作用下输出输出也应该是也应该是有界有界的。的。p 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行和工作的首要条件。控制系统在实际应用中应用的首要前和工作的首要条件。控制系统在实际应用中应用的首要前提就是系统必须稳定。对系统进行各类品质指标的分析也提就是系统必须稳定。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。必须在系统稳定的前提下进行。

3、一个不稳定的系统一般是没有实际价值的。一个不稳定的系统一般是没有实际价值的。06-7-20控制系统的稳定性分析3p 如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。是自动控制理论的基本任务之一。q其他：其他：一个反馈系统要么是稳定的，要么是不稳定的一个反馈系统要么是稳定的，要么是不稳定的-绝对稳定性绝对稳定性。具有绝对稳定性的系统称为稳定系统；

4、具有绝对稳定性的系统称为稳定系统；若一个闭环系统是稳定的，还可以用若一个闭环系统是稳定的，还可以用相对稳定性相对稳定性来进一步衡来进一步衡量其稳定程度。例如：量其稳定程度。例如：飞机越稳定操作起来越困难飞机越稳定操作起来越困难。但是现代战。但是现代战斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。q稳定的基本概念：稳定的基本概念：定义定义1 1：系统处于某一起始的平衡状态。在外界扰动作用的系统处于某一起始的平衡状态。在外界扰动作用的影响

5、下，偏离了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够影响下，偏离了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间，这个系统还能恢复到原来的起始平衡状态，则称这长的时间，这个系统还能恢复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统样的系统为稳定的系统 。否则为不稳定的系统。否则为不稳定的系统。参见下面所示图形：参见下面所示图形：图51 单摆的平衡bMcdFo06-7-20控制系统的稳定性分析5 在外界干扰的作用下，摆由原来的平衡点在外界干扰的作用下，摆由原来的平衡点MM偏到新的位偏到新的位置置b b。当外力去掉后，显然摆在重力的作用下，将围绕点。当外力去掉后，显然摆在重力的作用下，将围绕点M

6、M反复震荡，经过一定时间，当摆因受空气阻尼使其能量耗尽反复震荡，经过一定时间，当摆因受空气阻尼使其能量耗尽后，摆又停留在平衡点后，摆又停留在平衡点MM。象这样的平衡点。象这样的平衡点MM就成为稳定的就成为稳定的平衡点。对于一个倒摆，一旦离开了平衡点平衡点。对于一个倒摆，一旦离开了平衡点d d，即使外力消，即使外力消失，无论经过多少时间，摆也不会回到平衡点失，无论经过多少时间，摆也不会回到平衡点d d上来，对于上来，对于这样的平衡点这样的平衡点d d，成为不稳定平衡点。，成为不稳定平衡点。不稳定不稳定的例子：的例子：1.演播厅音响系统的扬声器与麦克风之间的距离越近，演播厅音响系统的扬声器与麦克风

7、之间的距离越近，回音越大，近到一定程度，啸叫盖过音响；（类似的现象还有回音越大，近到一定程度，啸叫盖过音响；（类似的现象还有电话机、电脑的麦克风等等）；电话机、电脑的麦克风等等）；2.2.美国华盛顿州塔科马峡谷大桥，美国华盛顿州塔科马峡谷大桥，19401940年年7 7月月1 1日开通，日开通，4 4个个月之后的月之后的1111月月7 7日，突然一阵风引起大桥剧烈晃动，随即倒日，突然一阵风引起大桥剧烈晃动，随即倒塌塌判断方法：判断方法：判断传递函数的判断传递函数的所有极点所有极点是否均位于是否均位于s s左半平面，或左半平面，或等价地，判断系统矩阵等价地，判断系统矩阵A A的的特征值特征值是否

8、均位于是否均位于s s左半平面。若所左半平面。若所有极点（或特征值）均位于有极点（或特征值）均位于s s左半平面，就可以进一步通过左半平面，就可以进一步通过极点极点（或特征值）的相对位置来判断（或特征值）的相对位置来判断相对稳定性相对稳定性。定义定义2 2：若控制系统在足够小的初始偏差作用下，其过渡过若控制系统在足够小的初始偏差作用下，其过渡过程的偏差随时间的推移逐渐趋于零，也即系统具有恢复原来平程的偏差随时间的推移逐渐趋于零，也即系统具有恢复原来平衡状态的能力，则称系统是稳定的；否则不稳定衡状态的能力，则称系统是稳定的；否则不稳定。稳定性反映在干扰消除之后过渡过程的性质上，系统与平稳定性反映

9、在干扰消除之后过渡过程的性质上，系统与平衡状态的偏差可以认为是系统的初始偏差。衡状态的偏差可以认为是系统的初始偏差。注意事项：注意事项：1.1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；A A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无关）；关）；06-7-20控制系统的稳定性分析8 B B：对实际：对实际“小偏差线性化小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到的近似线性系统，偏差达到一定范围之后，

10、系统不再稳定。一定范围之后，系统不再稳定。2.2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛还是发散。还是发散。设系统或环节的微分方程为设系统或环节的微分方程为：,(0 1);,0)ijainbjm 式中：式中：x(t)x(t)输入，输入，y(t)y(t)输出输出为常系数。为常系数。将上式求拉氏变换，得：将上式求拉氏变换，得：)()()()(01)1(1)(tyatyatyatynnn)()()()(01)1(1)(txbtxbtxb

11、txbmmmm),0(,);1,0(,mjbniaji5.2 5.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件06-7-20控制系统的稳定性分析9)()()()(01110111sXbsbsbsbsYasasasmmmmnnn 对于具有以上传递函数的控制系统来说，脉冲输入的拉对于具有以上传递函数的控制系统来说，脉冲输入的拉氏变换为氏变换为1 1，即，即 ，所以系统输出增量的拉氏变换为：，所以系统输出增量的拉氏变换为：11101110()()mmmmnnnb sbsbs bY sX ssa sas a即有：扰动信号的作用相当于对系统的一个脉冲响应信号扰动信号的作用相当于对系统的一个脉冲响应信号 ，系

12、统的输出增量系统的输出增量(偏差值偏差值)即是脉冲输入的响应即是脉冲输入的响应 。t C t 1ix s 11101110()mmmminnnb sbsbs bC sx ssa sas a211222121)(niiiiiiiiiinjjjssspsa06-7-20控制系统的稳定性分析1012222111()cos1sin1jiiiinnnp tttiiiijiic teetet 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s s平面的左半

13、部。平面的左半部。如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。项是发散的周期振荡。如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；时间单调增长；上述两种情况下系统是不稳定的。上述两种情况下系统是不稳定的。线性系统稳定的线性系统稳定的充要条件充要条件：06-7-20控制系统的稳定性分析11 如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状

14、态；如果特征方程中有一对共轭虚根，对应于等幅的周期振荡如果特征方程中有一对共轭虚根，对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定。稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。极点有关，与零点无关。注意：注意：06-7-20控制系统的稳定性分析12稳定区不稳

15、定区临界稳定S平面S平面的左半部是稳定区ImRe06-7-20控制系统的稳定性分析13 1.对于一阶系统：对于一阶系统：只要只要 都大于零，系统就是稳定的。都大于零，系统就是稳定的。2.2.对于二阶系统，对于二阶系统，只有只有 都大于零，系统才稳定（负实根或实部都大于零，系统才稳定（负实根或实部为负）。为负）。对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。下描述的代数稳定性判据。100a sa,101aas01,aa00122asasa2022112,124aaaaas012,aaa06-7-20控制系统的稳定性分析14

16、5.3 5.3 代数稳定性判据代数稳定性判据5.3.1 5.3.1 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据设线性系统的闭环特征方程为：设线性系统的闭环特征方程为：则该系统稳定的条件为：则该系统稳定的条件为：a.a.特征方程的各项系数特征方程的各项系数 都不等于零；都不等于零；b.b.特征方程的各项系数特征方程的各项系数 的符号都相同；的符号都相同；此两项为必要条件。此两项为必要条件。01110nnnnasasasa)1,0(niaiia 2322428q sssssss 例如：充分条件：由特征方程系数组成的劳斯排列阵的第一充分条件：由特征方程系数组成的劳斯排列阵的第一列的所有项均为列的所有项均为正正。充

17、要充要条件：对于稳定系统而言，劳斯排列阵的第一列条件：对于稳定系统而言，劳斯排列阵的第一列中，应该没有符号变化。中，应该没有符号变化。06-7-20控制系统的稳定性分析16劳斯阵的前两行劳斯阵的前两行由特征方程的系由特征方程的系数组成。数组成。第一行为第一行为1 1，3 3，5 5，项系数组成项系数组成，第二行为第二行为2 2，4 4，6 6，项系数组成项系数组成。劳斯阵的组成劳斯阵的组成01110nnnnasasasa102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn 06-7-20控制系统的稳定性分析17121211141

18、713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab 表中这样可求得这样可求得n+1n+1行系数行系数 06-7-20控制系统的稳定性分析18 这种过程需一直进行到第这种过程需一直进行到第n n行被算完为止，系数行被算完为止，系数的完整阵列呈现一个倒三角形。的完整阵列呈现一个倒三角形。为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行，并不改变稳定性结论。行，并不改变稳定性结论。注意：注意：06-7-20控制系统的稳定性分析19 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第

19、一列系数符号的变化，劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在去判别特征方程式根在S S平面上的具体分布，过程如下：平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在式的根都在S S的左半平面，相应的系统是稳定的。的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在次数等于该特征方程式的根在S S的右半平面上的个数，相应的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。的系统为不稳定。劳斯稳定判据劳斯稳定

20、判据06-7-20控制系统的稳定性分析20【例5-1】：特征方程为：，试判断稳定性。解：劳斯阵为：稳定的充要条件为：v 均大于零3210,aaaav且0322130asasasa3130213120aaaaaaaaaa0123ssss03021aaaa06-7-20控制系统的稳定性分析21 已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为0103.25175.41423SSS【例5-2】试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表解：列劳斯表401423103.25.380103.25.4105171SSSS 由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中

21、由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在有二个根在S S的右半平面，因而系统是不稳定的。的右半平面，因而系统是不稳定的。3.1246roots(2 10 13 4),1.42680.4486matlab计算：得到06-7-20控制系统的稳定性分析22劳斯判据特殊情况之一q 劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零 处理办法处理办法：用很小的正数：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或下项的）与其上项或下项的符

22、号相反，计作一次符号变化。符号相反，计作一次符号变化。【例5-3】：4322210ssss 1112200()10220010043210sssss22 令 则 故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。022 222,2106-7-20控制系统的稳定性分析23劳斯判据特殊情况之二劳斯判据特殊情况之二劳斯表中出现全零行劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的种情况，可利用系数全为零行的上一行上一行系数构造一个辅助多项式，并系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助

23、多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的（方程式得到，而且其根的数目总是偶数的（原因原因是有关于原点对称的是有关于原点对称的根存在，或者实轴或者虚轴）。根存在，或者实轴或者虚轴）。例如，一个控制系统的特征方程为例如，一个控制系统的特征方程为 ：0161620128223456SSSSSS列劳斯表列劳斯表16038166248000161220161221620810123

24、456SSSSSSS由上表可知，第一列由上表可知，第一列的系数均为正值，表的系数均为正值，表明该方程在明该方程在S右半平面右半平面上没有特征根。令上没有特征根。令F(s)=0，求得两对大，求得两对大小相等、符号相反的小相等、符号相反的根根2,2jj，显然这个系统处于临界稳定状态。，显然这个系统处于临界稳定状态。【例5-4】：劳斯判据特殊情况之三劳斯判据特殊情况之三特征方程在虚轴上有重根特征方程在虚轴上有重根 如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是

25、不稳定的，因而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定的，且具有的，且具有 的形式，的形式，Routh-HurwitzRouth-Hurwitz判据不能发判据不能发现这种形式的不稳定。现这种形式的不稳定。例如：一个控制系统的特征方程多项式为例如：一个控制系统的特征方程多项式为 ：sintt 54321221q ss ss j s j s j s jsssss 12112101101543210ssssss06-7-20控制系统的稳定性分析255.3.2 5.3.2 劳斯判据的应用劳斯判据的应用相对稳定性相对稳定性 稳定判据只是初步解

26、决了系统特征方程式的根在稳定判据只是初步解决了系统特征方程式的根在S S平面上平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即不能保证系统的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特不能表明系统特征根在征根在S S平面上相对于虚轴的距离平面上相对于虚轴的距离。但能判断是否所有特征。但能判断是否所有特征根都落在虚轴的左半平面根都落在虚轴的左半平面.若用若用S=Z-1S=Z-1代入特征方程中代入特征方程中,求出的根的实部即为特征根求出的根的实部即为特征根距距S=-1S=-1垂线的距离，可判断稳定程度垂线

27、的距离，可判断稳定程度.用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有几个根在的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右侧。垂线的右侧。1S例例5-506-7-20控制系统的稳定性分析26解：列劳斯表解：列劳斯表 42.121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令令1 ZS代入特征方程：代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223ZZZ014223ZZZ式中有负号，显然有根式中有负号，显然有根在在1S的右方的右方。列劳斯表列劳斯表12114120123SSSS第一列的

28、系数符号变化了一次，表示原方程有一第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线个根在垂直直线1S的右方。的右方。06-7-20控制系统的稳定性分析275.3.3 5.3.3 赫尔维茨（赫尔维茨（Hurwitz)Hurwitz)判据判据以以4 4阶系统为例使用赫尔维茨判据阶系统为例使用赫尔维茨判据赫尔维茨行列式为：赫尔维茨行列式为：系统稳定的充要必要条件是：主行列式系统稳定的充要必要条件是：主行列式 及其对角线上的各子及其对角线上的各子行列式行列式 均有正值。即：均有正值。即：043223140asasasasa4203142031000000aaaaaaaaaa011a020312

29、aaaan121,n00031420313aaaaaaa0406-7-20控制系统的稳定性分析28有时称有时称 为赫尔维茨行列式。由于这个行列式直接由系数排列为赫尔维茨行列式。由于这个行列式直接由系数排列而成，规律简单而明确，使用也比较方便。但对六阶以上的系而成，规律简单而明确，使用也比较方便。但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，较少应用。统，由于行列式计算麻烦，较少应用。n【例例5-65-6】：设控制系统的特征方程为：设控制系统的特征方程为：，试用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。，试用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss 解解：首先，由方程系数均为正可知已满足

30、稳定的必要条件。：首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。各系数排列成如下的行列式：各系数排列成如下的行列式：4203142031000000aaaaaaaaaa06-7-20控制系统的稳定性分析29由于：由于：08101711682016805171016830151710016800517100168故系统稳定。故系统稳定。劳斯判据和赫尔维茨判据都是利用特征根与系数的关系来判劳斯判据和赫尔维茨判据都是利用特征根与系数的关系来判别稳定性的，它们之间有一致性，所以有时侯，称为劳斯别稳定性的，它们之间有一致性，所以有时侯，称为劳斯-赫尔赫尔维茨判据。又由于它们的判别式均为代数式，故又称这

31、些判据为维茨判据。又由于它们的判别式均为代数式，故又称这些判据为代数判据。劳斯判据和赫尔维茨判据对于带延迟环节等系统形代数判据。劳斯判据和赫尔维茨判据对于带延迟环节等系统形成的超越方程式无能为力，这是代数判据的局限性，而下面介成的超越方程式无能为力，这是代数判据的局限性，而下面介绍的乃魁斯特稳定性判据能够判别带延迟环节系统的稳定性，应绍的乃魁斯特稳定性判据能够判别带延迟环节系统的稳定性，应用更为广泛。用更为广泛。06-7-20控制系统的稳定性分析30劳斯劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用赫尔维茨稳定性判据的应用p 判定控制系统的稳定性判定控制系统的稳定性 例例5-7 5-7 系统的特征方程为：系统

32、的特征方程为：，判断系统的稳定性。，判断系统的稳定性。43223450ssss 解解：排列劳斯阵如下：排列劳斯阵如下：43210135240150600500sssss因为，因为，且劳斯，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在化，所以系统在s s右半平面有两个右半平面有两个极点。极点。0,(0 4)iai实际上，其根为：实际上，其根为：0.28781.4161j1.28780.8579j06-7-20控制系统的稳定性分析31例例5-85-8系统的特征方程为：系统的特征方程为：该系统稳定

33、吗？求出每一个极点并画出极点分布图。该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。54322244823460sssss 解解：劳斯阵如下：劳斯阵如下5431242324846000sss543210124232242311201223010002300ssssss 行全为零。由前一行系数构成辅助行全为零。由前一行系数构成辅助方程得方程得3s4242()24846()2423Q sssQ sss其导数为：其导数为：将将 4,48 4,48 或或 1,12 1,12 代代替替 行，可继续排列劳斯阵如下：行，可继续排列劳斯阵如下：3()448Q sss 因为因为 行全为零，所以特征方程必有特殊的根

34、行全为零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：。求解如下：由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定0,(0 5)iai3s221,23,4()0,(23)(1)023,1Q ssssjsj 令有，3s06-7-20控制系统的稳定性分析32设剩余的一个根为设剩余的一个根为-p-p。则：。则：，整，整理得：理得：42()(2423)0sp ss5432242423230spsspssp比较系数得：比较系数得：-p=-2-p=-2极点分布如下：极点分布如下：注意：注意：劳斯判据实际上只能判断代数劳斯判据实际上只能判断代数方程的根是在方程的根是在s s平面左半闭平面平面左半闭平面还是在右半开平面。对于虚轴还是在右半开平面。对于虚轴上的根要用辅助方程求出。上的根要用辅助方程求出。若代数方程有对称于虚轴的实若代数方程有对称于虚轴的实根或共轭复根，则一定在劳斯根或共轭复根，则一定在劳斯表的第一列有变号，并可由辅表的第一列有变号，并可由辅助方程求出。助方程求出。23j23j1 j1 j2NoImage