几所高校量子力学硕士试题

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1、高校量子力学研究生招生试题汇总一 复旦大学 1999 硕士入学量子力学试题(1) S 时、竝予处亍 - siil(Air) -|cosL(A?;)求住子动至和动能的乎須值(2C 利用测不世关系或不晞定灶煖毘1沽宾岂原子基态醴董电(20说 弍在我象中.求 兀 本征态口 (20分)(V住体乐口金密顿2左能垦表沒中为矩阵；耳； 苍申讣为真熟试用微扰仑式隶能輦至二規僅正值【沙升)(5)若在竞发为前的无夯深方势皤的中心位置放入 儿吞仪)劳，问尅于 无钙滦方势阱的底朮各能缀蒂何彩哺C2V分)二天津大 学 1999 硕士 入学量子力学试题（ 1）号霆20分.1. 设氢怎子址于狀态巩）=押也i但刃 仲厲如）戎

2、氢原予能量，角动量平方忑角动蟹j分量的可能值，这些可聽值出现於 几隼和这些力学量的爭均值.2./ ）求:L/g氏2?b J,衆:九刃-?c ）,若电荷为匕的粒干在恒芝饌场总中运臥 买迫虞为小試3-积）玉 中历为璐蟻矢董势，0是紐子的亀就劲壘、护为粒予的质量口证明社子的掘 度分量河的时囱关累是：“旳-V,Vx匸卩八-吧=嗨-檢叫二工 如果车把类觐原子的棣疝威点亀荷.而看咸半径为尽的均勻莆电的4球 a ）,写出这种模理的作用彗及微猊哈密蛟墅.b ）试计算述种效应对类氢原子基态能董的一紅修丘.厂 丫注：氢廉子基态波函数.为忆二、a S IO_ J t77tJ閑附丄拥即十洲-1曲2#+就DA.a扎 域

3、爲出两自旋曲1/2的全同粒子熱的自旋波國数并就明它们的对#a,JiA.*性与炉和迟的本征值（其中：二+爲）b）,两自谨集1/2的全同粒子和 捷自it算苻为氏与爲*算和盖作禺龍为总（血十丸）点知试卓它的本捉函数与本机值，三北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 招生专业：物理系各专业 试题：考试时间：2000.1.23 下午研究方向：各研究方向.（20分）质量为m的粒子，在位势V（x） =5 （x） + V0 x 0V0 000中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x0区域中的几率。它是大于1/2,还是小于1/2,为什么？二.

4、（10分）若衣和小是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电 子的自旋轨道耦合项）a. 给出衣 和小态的守恒量完全集；b. 若卩f（r）s rF）丰0 ,则衣和小态的那些量子数可能是不同的，为什么？/X /X（注：*“是r的非零函数，S 丫为电子的自旋和坐标算符。） 三（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为s1)H = C （s S + s0 1 2 2aa( 1)( 2)求本征值和简并度。四.（22分）两个自旋为1/2的粒子，在（S1 z S2z ）表象中的表示为羊八卩-，其中,12是第i个粒子自旋向上的几率,2i是第i个粒子自旋向下的几率。a. 求哈密顿量八H

5、= V Qq qq )01x 2 y1y 2 x的本征值和本征函数；（v0为一常数）b. t=0时，体系处于态a1 =卩2 = 1a 二 P 二 0求 t 时刻发现体系在态卩1 = 1的几率。（注：Q ix Q iy为第i个粒子泡利算符的x, y分量）五(10 分)考虑一维谐振子，其哈密顿量八1a, a + = 1H = h (a+a + 空)而a, a = a +, a + = 0a.若10是归一化的基态矢(alO) =0),则第n个激发态为- N (a+)q0)试求归一化因子NJ f _c. 若外加一微扰，H - ga+a+aa，试求第n个激发态的能量本征值(准至g 一级)。六.分)考虑体

6、系H - 丁 + V(x),AxA0，V(x)-a. 利用变分法，取试探波函数为-x 2)1/2e2b2求基态能量上限；b. 我们知道，如试探波函数为12 x - x2屮(x) - ()1/2 _e2b22b J兀b，厂.81,A2 h2E - ()1/3()1/3则基态能量上限为2v4nm。对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？四量子力学试题：2:00pm- 4:00pm. July 1, 2002建议在100分钟完成，可以允许未能按时完成的考生再延长30分钟。参考题：试用测不准关系 x p 估计氢原子的基态能级 第一题（3 10分）：1、写出泡利矩阵的形式。2、带电粒子在电磁场中

7、的Schrodinger方程为1i2m如果粒子被局限在xy平面内运动，而沿z方向加入强度为B的均匀磁场，试具 体写出（不用求解）相应的的Schrodinger方程。3、试求质量为m的粒子处在长度为L的一维盒子（可以看成是无限深势阱）中对壁的压力。第二题（12+9+9）：V （r） Qe r/a1、试求屏蔽库仑势场r的微分散射截面。提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）()4m 20 护(r)dvK 2ksin其中2,（分子中k应改为K）2、考查低能极限ka 1时的形式，并用一句话说出其物理特性。3、考查a时的极限形式,第三题(11+10+10+9)：V （r）丄m 2x2电子被束缚

8、在简谐振子势场中：2,若引入m 1/2ax2/ m3、1/2 (ia + = 2方丿x pkm3丿H =方 (a +a + )则 有 2并有关系a+n = yjn +1 n +1a=网-1。显然基态）应满足= 01、试求基态波函数T二？2、进一步求第 1 激发态的波函数。3、如果势阱中有两个电子（忽略它们间的相互作用），他们整体的基态波函数 是什么？（提示：电子为自旋为 1/2 的全同粒子）。4、如果加入均匀磁场B问当B很强，超过某临界Bc时，上述基态还会是基态 吗？ 试具体求出 Bc。西妥电子科技大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试考试科目代码：4门一考试科目名称:曇孑丸空考试日期；2

9、000年i月23日下午答题要求*答案必须垮在试卷匕写在试题上一律作废“试卷上不得作任何标甲疗寺#特“叢*多Aq(d o t ) #才甲从侶久询订皋彳刼. 苦*绅工扶总求-旳件e航鮭疗闿霁戒严年啦申2如1 軒松f慎聲箕#4严值卑列？知临寺链资厲月爛严“严值申H彳 年宀沁畅#和H =加比耘4少诗 U 唇 彳胆M说4牢妙蠢汁严知好必幻飒干A他昭R 申就攵；)r,5豹求】CD施辛做匕巧嗣折珂粳俶适r液也曩G)峑険t申g如料 诳4/严唸逖机 岡那率处沏唸2* 2务兀池收建諾胡焊酬宀哆晞倔1角严 交痢廻毎潮? %i触*針他坂嚥t *侵务就5由決竦y枷艇otA&啲2000年西安电子科技大学硕士研究生招生量子

10、力学试题2一.用境子力学观点解秤下列现彖和槓念：（共洗分）1. 波函数2. 紙迁3在和 |为基矢的表象中，有力学量G其算特表示为：另有一液函数:F = (3D 11 0试求:测量G的可能值;在屮啊0量G得到各可能值的 几率及平均值.八甩0分)将筱函数- expfe) +兰号衍T 0O)用于描述一个量子散射过程，求：(1) 入射几率流和散射几率流的表示式；(2) f 与散射截面之间的关系Lx =加仍in糾器十cfg召cos甲备人L = 一说住am审昙一醍g日或口串一efftf-p止-一円両討吹而時)玄租甘:柱S -dx =気TIX竺岂如为偶ft)；JJ171dlr(+i)= W). ro)= i

11、s=中国科学院中国科技大学2001 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）一、（10 分）设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。二、（10 分）设一个质量为 m 的粒子束沿正 x 方向以能量 E 向 x=0 处的势垒运动0 ） 0）14试用量子力学的观点回答：在 x=0 处被反射的反射系数是多少？三、（20 分）1、在坐标表名胜中写出一维量子体系的坐标算符q和动量算符p，并推导 其间的对易关系。2、在动量表象中做 1 所要求做的问题。四、（20 分）设一个微观粒子在球对称的中心势场V （r ）中运动，且处于

12、一个能量和轨道角 动量的共同本征态。1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能VC）在此态 中平均值V的表达式，并最后表示成径向积分的形式。2、设V（r）为r的单调上升函数（即对任意r, dV 0 ）。试证明：对任意给 dr定的r0,均有jroV （r ） :V；|R（r ） 2 r 2 dr 0，o其中 R（r） 是径向波函五、（20 分）设一个质量为 m 的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中 有工（E - E ）X I2 二n m nm2mn其中E为能量，x为坐标。六、（20 分）设一微观体系的哈密顿H=H0+H ，其中H为微扰。在一个由正交归一函数 作为基的

13、表象中。100 、0c0、H =020H =c00U 00 - 2 丿、00c 丿其中 c 为常数1、求H的精确本征值2、求 H 的准确到微扰的二级修正的本征值3、比较1和2的结果，指出其间关系。一九九八年华东师范大学一九九八年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：量子力学专业：理论物理、光学、生物物理、学科教学论、无线电物理等1、一电子在沿x-方向的强度为E的均匀静电场中，(1) 定出该一维电子系统的哈密顿算符；(2) 该电子动量算符平均值的时间变化率是多少？将所得结果与经典物理学结果比较。2、(1)由经典波动力学的统计表波条件， 德布罗意波粒二象性假设及有关公式(E = H, p = h),

14、直接导出宽度为a的无限深方势阱中一自由粒子能量的可能值；写出相应的波函数形式。(2)对本例中所包含的基本观点、方法及其结果，您能说些什么？3、(1)算符S = b 其中，6 (i=x,y,z)为泡里矩阵有何物理意义？写出它们的矩阵形i 2 i i 式及基本对易关系；写出它们的本征值和本征态形式。九(2)设某电子处于某一状态，在该状态中测量其自旋沿Z -方向的值恒定为-。问，若在该状态中测量其自旋沿x-方向的值，所得结果是什么？简要说明您的思考步序及计算公 式。4、(1)量子力学中怎样判断某力学量(算符)是守恒量？为什么？(2)为了描写一量子力学系统的状态，需寻找一个“守恒力学量(算符)完全集。

15、”该集的力学量都是守恒量，且相互对易，其数目与该系统的自由度数目相同。于是，人们可用与该 算符集中每一算符相对应的本征值量子数来特征该量子系统(如氢原子)。问，在讨论下列两种哈密顿算符所确定的电子的运动状态时，各守恒力学量集应包含哪些力学量？证明之。p2(a) H =+ V(r)，其中V (r)表示有心势。2mp 2- 一一 一(b) H =+ V(r)+g (r) S - L，其中g (r) S - L表示自旋轨道磁矩相互作用能项,2m- 力-S = -b为自旋算符，L为轨道角动量算符。提示：L-和Li (上x,y,z)都仅对与角度的微分算符有关。 注意事项： 1、以上四题每题25 分； 2

16、、要求回答简洁，思路清晰，书写整齐。雅舍考研之路网友:qinhu提供.1997 年华东师范大学一九九七年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：量子力学专业：理论物理、光学、凝聚态物理、生物物理、学科教学论、无线电物理一、求对易关系x,ex = ? 0为常数。(10分)二、若粒子在位势伙(r)中运动，试证：d =x ；dtmd dVx =-。dtdh 表示算符的平均值。( 10 分)三、利用角动量算符L和L组成升值算符L和降值算符L :x y+-L = L + iL ， L = (L ) +土xy+_(1) 试求 L L = ?L L = ?- + + -(2) 已知L I lm = C I lm

17、 +1 ， L I lm = C I lm 一 1 试求常数C 和 C 的值。+ + - - + -四、带电粒子(电荷为q)在与磁场B (沿z轴)垂直的xy平面内运动，取矢势为(0,B ,0),x(1) 写出此二维问题的哈密顿。(2) 求其能量本征值与本征函数。五、一维谐振子的状态(在其能量表象中)为112I 屮 =46100a丿试求、，H为哈密顿算符，表示算符的平均值。(提示：1 I nin 1xV (x) U V (x) + 計 7屮(x)，n 2 n-12 n+dn . .dx屮 n (X) 0 n一1(x)飞六、设哈密顿的矩阵形式为(1) 求H的精确本征值；(2) 若设c 1，应用微扰

18、论来求H本征值的二级近似;( 3 )在怎样条件下( 2 )和( 1 )的结果一致？七、设有二个电子，自旋态分别为cos sm 、 迎 e 2e 2丿(1) 证明二个电子处于自旋单态S=0及三重态S=1的概率分别为1919W = (1 一 COS2)， W = (1 + COS2)；a 2 2 S 2 2(2) 设有这样二束极化忠心耿耿散射，证明：(9) = (3 + cos9) +(1 cos9)式中。3和b分别是二个电子处于三重态和单态43131下的散射截面。雅舍考研之路网友:qinhu提供.1996 年华东师范大学一九九六年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：量子力学专业：理论物理、光学、

19、生物物理、学科教学论、凝聚态物理（1）量子力学和经典力学对于粒子系统的描述有何不同？为什么？（2）量子力学中的一个重要特点是，需要通过力学量算符和波函数的适当组合运算才能求 出实验上的可测量。试举出三个例子。（应写出必要的公式）（3）证明：在有心力场V（r）中微观粒子的角动量平方L2和角动量的任一分量L （i二1,2,3）i 都是守恒量。0（0 x a）（4）一维无限深方势井V（x）中，微观粒子能量的本征值为（x a）厉2兀2 n 2E （n 1,2,3）相应的本征函数为n2 ma 2屮（x） sm（x）na a现设某一粒子在该势井中的运动状态由/、4 .兀x兀x屮（x） =sin cos2一

20、Jaa a描写，求该粒子的能量可能值和相应的几率。（5） 描写电子自旋的角动量沿直角坐标系各轴方向的分量为b （i x,y,z）；沿方向in （s in9 cos,sin0 sin,cos0）的分量为b -n。 写出这些力学量算符b和b -n在b表象是的矩阵形式。iz 分别求出它们的本征值和本征函数。 在b - n的属于本征值为+1的本征函数所描写的状态中，出现b =+1或-1状态的几率多z少？出现b =+1或-1状态的几率又是多少？x（6）利用Schrodinger议程证明，动量算符在任意状态屮（x,t）中的平均值= J屮* p屮dx和势能的平均值= J屮*V（x）屮dx之间存在如下关系（称

21、为da.Ehrenfest 定理）： 一 =。dt注意到势能的负梯度-VV即为势场中该粒子所受到的力，上式与经典力学中的牛顿第二定 律相对应。*（1）-（4）题各 15 分；（5）-（6）题各20 分。雅舍考研之路网友:qinhu提供.南京师范大学1997 年研究生入学考试试卷学科专业：理论物理、天体物理考试科目：量子力学擒狐(qinhu)编缉 OICQ:68524281、(15分)证明：(1) i(p x xp )是厄密算符。xx，一，、，亠 一 -i力 f /d 屮d屮 *、,(2) 维运动的粒子的动量平均值可表示为：P = - J (屮*-屮)dx2 dx dx2、 (15分)设屮 是L

22、和L的本征函数，其相应的本征值分别为l(l +1)方2和m力。试证明：lmz(1) 9二(L + iL )屮。也是L2和L的本征函数。x y lmz(2) 在态屮 中，L的平均值为零。lm xf0(r R)3、 (15分)粒子在硬壁球形空腔中运动，粒子的势能为U(r)= R)为零时的能级和波函数。4、( 15分)在一维无限深势阱中运动的粒子，受到微扰H(x)作用兀xH(x) = Ac 0 4,(0 x = E I n ，2卩 nX =。nl方2匸方2证明：(1)x,H,x =(2)工(E E ) I / I2 =卩 n l nl2卩n7、 (10分)用Bohn近似法，求出高能粒子在势场V(r)

23、 = V e中的微分散射截面。感谢雅舍网友 qinhu南京师范大学1998 年研究生入学考试试卷学科专业：理论物理考试科目：量子力学（548）擒狐（qinhu）编缉 OICQ:6852428一、（10分）若要使电子的德布罗意波长达到1米，那么电子的速度应为多少？若将电子换为中子，其速度又为多少？通过计算，你认为宏观尺度上的物质波是否现实？九二、（10分）已知作一维运动的自由粒子的位置与动量之间的测不准关系为AxAp ，x2导出其时间与能量之间的测不准关系。三（15分）（1）计算下列对易关系：y2,p ,L ,y,s ,L 。y x z z（2）若算符A B与它们的对易子A,B都对易，证明：A,

24、Bn 二nBn- 1A, BA n , B 二 nA n 一1 A, B （3）证明在有心力场中运动的粒子，其角动量守恒。（不考虑自旋）一 1mw 2x2,x 0四、（10分）一个质量为m的粒子在势阱V（x） = 2中运动，求其基态，第 x 为D和l的共同本征矢，则zI (l + il ) I lm =(l + il ) I lm ；z xyxyl (l 一 il ) I lm =(l 一 il ) I lm 。z xyxye -3 kr4、 设有波函数屮(r) = c ，几率密度 (r) =；几率流密度rr5、氢原子中电子处于3d态，屮=Ar2 ” 3aY （e,申）的径向颁为最大值时的32

25、1 20r=。6、在S表象中，在自旋态z中 S 的可能测值为z和，其相应几率分别为和。；L , p 二xz7、对易关系：s , s 二；L , y二y xxs , z =z8、中心力场中，电偶极跃迁的选择定则为A/ =； Am =9、考虑到电子自旋，氢原子能级E的简并度为；碱金属原子能级E的简nnl。相应并度为。10、两个角动量j = 1, j =，耦合的总角动量J=和1 2 2耦合态个数分别为个和个。二、计算题（每题10 分）1、试求粒子（E0）在下列势阱壁（x=0）处的反射系数（见图）。V (x)二-Vo，(x 0)、V(x)0IIIx2、试计算L ,L在l和L共同本征态Y （e,申）中的

26、平均值。x yzlm0（ r a）为零时能级和归一化的波函数。4、一维非线性谐振子的势能为V（x） = 2kx2 + cx3 + dx4若把非谐振项看作微扰，试求基态 和第一激发态能量的一级修正。e -85、 用玻恩近似方法，求在势场V（r）=卩（8 0）中散射微分截面。r136、 两个自旋波函数各有几个？在s =情况下，对称和反对称的自旋波函数各有几个？南京师范大学2000 年研究生入学考试试卷学科专业：理论物理、天体物理考试科目：量子力学(A卷)559擒狐(qinhu)编缉 OICQ:6852428一、填充：(每题 4 分，共 32 分)1、 波函数模的平方I屮(r,t)l2表示的物理意义

27、是1。I屮(戸,t)|2 dT表示的物理意义是2。2、 由几率流密度矢量J构成的-JdT表示的物理意义是3。3、 算符A若满足关系4，则此算符为角动量算符。x,4、 完成对易关系：x,p =5,L2,L 6。Q & 7 。5、设屮(r ,0, )为氢原子的能量本征函数，完成下列积分:dT =8nlmf入入nlm x y nlmJ屮 * L2屮 dT 二10nlm nlm6、若采用狄拉克符号，J2,J2, J2,J 构成的耦合表象的基矢为111 2 zj2,J ,J2,J 构成的耦合表象的基矢为12。1z2z7、在任意状态中(AX)2 - (Ap )2 13，在L2和L的本征态Y中，lm(aL

28、)2 - (AL )2 14。xy8、对坐标和自旋变量分别为q和q的两个费米子，若粒子的可能状态为和，则体系12i j的波函数为15。二、选择：(每题4分，共16分)1、判断下列氢原子偶极跃迁中何为允许跃迁：AMT屮433310B.屮T屮100310CM T屮320200DMT屮322210J 屮 * (L + L )屮 dT = _92、若氢原子在t=0处在状态爭210 + C2屮310中则在t时刻氢原子的波函数为:A(卡 210+ c屮2 310EtB.(卡 210+ c 屮)exp(-i2 310Et3-九c. cy210exp(-iE:tD. c 屮exp(-it) + c 屮exp(

29、-iEt)1210九2310九3、判断下列算符的矩阵表示何为厄密算符，其中a, b为实数: （A.ab、-ba丿aib、- iba丿C.B.a + ibib 、一 ib a + ib 丿D.4、判断下列波函数何为定态波函数：EtEtA.屮（x,t） =（x）exp（-i） +*（x）exp（-i）1力力B.E tE t屮(x, t) =0 (x) exp(-i) +0 (x) exp( -i)21九九c.D.EtEt屮(x,t) = 0(x)exp(-i) +0(x)exp(i )3 力力EtEt屮(x,t) = 0(x)exp(ikx-i ) +0(x)exp(-ikx + i )4 力力三

30、、证明：(共16 分)1、(8分)证明i(p L - L p )为厄密算符。y z z y2、（8分）已知体系中厄密算符A与B对易，设屮/）和屮2（戸）分别是A的属于本征值为巴和Q 2的本征函数，证明（1）（5分）B屮（戸）和B屮（r）也分别为A的属于本征值为Q和a的本征函数。1 2 1 2（2）（3分）证明积分J屮B屮dT = 021四、计算：（共36 分）)exp(i 2- 九V -g x-ao1、（10分）设粒子在一维势场U（x） 0 a x a中运动，求：V a x g0（1）（7 分）能级所满足的方程，（2）（3分）证明当Vo Tg粒子的能级与一维无限深势阱的能级相同。2、（ 10分

31、）设自旋角动量在（sin 9 cos ,sin 9 sin ,cos0）方向的投影为S S sin 9 cos + S sin 9 sin + S cos 9 求:n xyz(1)(5分)S的本征值和本征函数，n（2）（5分）在这些态中，测量S有哪些可能值，相应的几率和平均值。 z3 、（ 16 分 ） 两 维 各 向 同 性 谐 振 子 的 哈 密 顿 算 符 为)+ 卩2(X2 + y2)，求 ox 221）（5分）能量的本征值和本征函数。（2）（3分）第n个能级的简并度。（3）（8分）现粒子受到微扰H-九xy，试用有简并的微扰理论求第一激发态的能量一级 修正。/、1 r |万/、,in +1/(递推公式：x屮(x)屮(x) +屮(x)na 2 n-1 2n+1