大学物理期末复习刚体动力学1

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1、本节内本节内容容一、刚体运动学（复习）。一、刚体运动学（复习）。二、刚体的转动定律。二、刚体的转动定律。三、刚体的转动惯量。三、刚体的转动惯量。1、理解力矩及转动惯量理解力矩及转动惯量，掌握平行轴定理；（实验）2、掌握转动定律；掌握转动定律；矢量的矢乘积，俗称叉乘：矢量的矢乘积，俗称叉乘：大小：两矢量构成的平行四边形面积大小：两矢量构成的平行四边形面积AB BACCCABABBA)0(sin，ABBAC质质 点点 动动 力力 学学 小小 结结一、牛顿力学三定律一、牛顿力学三定律amdtvdmvmdtdF)(二、动量定理二、动量定理力的时间累积作用规律力的时间累积作用规律12-PPPdtFI 三

2、、动能定理三、动能定理力的空间累积作用规律力的空间累积作用规律四、动量守恒定律四、动量守恒定律五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律质点动力学的三大武器质点动力学的三大武器k1rrk2EErdFW21刚体：在运动过程中形状和大小不变的物体刚体：在运动过程中形状和大小不变的物体主主 要要 研研 究究 内内 容容1 1、刚体的定轴转动的运动描述、刚体的定轴转动的运动描述2 2、刚体定轴转动定律、刚体定轴转动定律3 3、刚体定轴转动的角动量定理与角动量守恒、刚体定轴转动的角动量定理与角动量守恒4 4、刚体定轴转动的动能定理、刚体的势能。、刚体定轴转动的动能定理、刚体的势能。刚体力学基础理想模型。理想模

3、型。研究方法：牛顿质点力学的理论研究方法：牛顿质点力学的理论 质点系质点系 叠加原理叠加原理二、定轴转动的角量描述二、定轴转动的角量描述1 1、刚体的角坐标与角位移、刚体的角坐标与角位移OxOx轴上角坐标为正，反轴上角坐标为正，反之为负。之为负。X 转动方向与转轴方向成转动方向与转轴方向成右手螺旋关系的角位移右手螺旋关系的角位移为正，反之为负。为正，反之为负。2 2、刚体的角速度：、刚体的角速度：dtd Z Z面对转轴正向，逆时针转动刚体的面对转轴正向，逆时针转动刚体的角速度为正，反之为负。角速度为正，反之为负。转动方向与转轴方向成右手螺旋的转动方向与转轴方向成右手螺旋的角速度为正，反之为负。

4、角速度为正，反之为负。0 0 4、刚体定轴转动中角量和线量的关系、刚体定轴转动中角量和线量的关系22dtddtdrv dtd与方向一致时，刚体加速转动；方向一致时，刚体加速转动；vr3 3、刚体的角加速度：、刚体的角加速度：与方向相反时，刚体减速转动；方向相反时，刚体减速转动；角加速度方向为沿轴方向角加速度方向为沿轴方向 rv rat22 rrvan 在刚体作匀角加在刚体作匀角加速转动时，速转动时，=常数，常数，有以下有以下相应的公式相应的公式:20021ttt0)(20202 在质点作匀加速直在质点作匀加速直线运动时，线运动时，a=常数，有常数，有以下以下相应的公式相应的公式:20021at

5、tvxx atvv 0)(20202xxavv第五节 特殊质点系的定理与守恒定律 改变刚体的转动状态需要改变刚体的转动状态需要研究力的哪些方面？研究力的哪些方面？问题三问题三 门的开关是日常生活中典型的刚体的门的开关是日常生活中典型的刚体的定轴转动的情形。请问在任何位置处推开定轴转动的情形。请问在任何位置处推开门所需的力的大小都一样吗？除了力的大门所需的力的大小都一样吗？除了力的大小我们还需要考虑力的哪些方面？小我们还需要考虑力的哪些方面？Pz*OFrdFdFrMsin:力臂力臂dFrM对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F力矩力矩 M用来描述力对刚体的转动作用用来描述力对刚体的转动作用0,0ii

6、iiMFFF0,0iiiiMFFF讨论讨论12fff1frkMzsin1rfMz （1 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量行和垂直于转轴方向的两个分量 f 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩2ffZ1frPO转动平面转动平面2ffzMO（2 2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM（3 3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩互相的力矩互相抵消。抵消。jiMMjririjiFjFdiMjM一对内力的力矩之和为零一对内力的力矩之和为零!力矩、转动定

7、律、转动惯量力矩、转动定律、转动惯量一、力对转轴的力矩（总结）一、力对转轴的力矩（总结）frMz ZfrPdOzM转动平面转动平面 fdMzZ1frPO转动平面转动平面2ffzM1frMz f1、力在转动平面内、力在转动平面内2、力不在转动平面内、力不在转动平面内sinfr rfsinrd sinff对对 mi 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：Fit外外+fit内内=mi ait外力矩外力矩内力矩内力矩二、定轴转动定律的推导二、定轴转动定律的推导iiiiamfF 内内外外两边乘以两边乘以ri？2iiiitiitrmrfrF内外刚体刚体 在外力作用下如何转动？在外力作

8、用下如何转动？iiitiiitffFFsinsinri mi i i外iF内ifait=ri对所有质元的同样的式子求和：对所有质元的同样的式子求和：一对内力的力矩之和为零？一对内力的力矩之和为零？令令 J J m mi i r ri i2 2，用用 M M 表示表示合外力矩合外力矩M MJ J 刚体的刚体的定轴转动定律定轴转动定律只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。)(sinsin2iiii

9、iiiiiiirmrfrF)(sin2iiiiiiirmrFJ J ：称为刚体对于转轴的：称为刚体对于转轴的转动惯量转动惯量ri mi i i外iF内ifJM讨论讨论:1、仅适用于刚体定轴转动的情形；、仅适用于刚体定轴转动的情形；JM2、M 是刚体所受的合外力矩；是刚体所受的合外力矩；3、J 是描述刚体转动惯性的物理量；是描述刚体转动惯性的物理量；4、此定律的作用与牛顿第二定律相类似。、此定律的作用与牛顿第二定律相类似。力矩力矩M M的作用是什么？转动惯量的作用是什么？转动惯量J J的作用是什么？的作用是什么？竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都

10、分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？(2)为瞬时关系为瞬时关系(3)转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同maF JM(1),与与 方向相同方向相同 JM M 转动定律应用转动定律应用JM 三、刚体定轴转动定律的应用三、刚体定轴转动定律的应用 隔离物体，分析受力，隔离物体，分析受力，选择坐标，建立方程。选择坐标，建立方程。建立方程：建立方程：对质点，应用牛顿第二定律；对质点，应用牛顿第二定律；对刚体，应用定轴转动定理。对刚体，应用定轴转动定理。注意使用角量与线量的关系。注意使用角量与线量的关系。解题步骤：解题步骤：例例1 1、一个质量为、半径为的定滑轮（当、一个质量为、半径为的定滑轮（当

11、作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。高度时的速度和此时滑轮的角速度。mg解：解：:maTmgm对221 MRJJTRMM：对Ra gMmma2 解方程得：242Mmmghahv MmmghRRv 241 221 MRJ2m1maaamTgm222amgmT111231221 RmJJRTRTMM：对gm22T1Tgm111TT 22TTRa 角量和线量的关系：2.162T1T 3m

12、例例2 2、一个飞轮的质量为、一个飞轮的质量为69kg69kg，半径为，半径为0.25m,0.25m,正在以每分正在以每分10001000转的转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.05.0秒内使它均匀减速而最后秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力停下来。求闸瓦对轮子的压力N N为多大？为多大？F0解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度)/(9.2020sradt rad/s7.1046021000min/r10000外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。2mRJNRRfMr2mRNR)(5.360NmRN

13、1s5 0 t 0Nfr稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例2.17一长为一长为 l、质量为质量为 m 匀质细杆竖直放匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转相接，并可绕其转动动由于此竖直放置的细由于此竖直放置的细杆处于非杆处于非m,lOmg231mlJ 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由

14、转动定律得NFJmglsin21231mlJ sin23lgm,lOmgttddddddddlgdsin23d)cos1(3lg 0 0四、转动惯量四、转动惯量:iiirmJ2 若质量连续分布若质量连续分布 dmrJ2刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。J 的单位：的单位：kgm2dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中、分分别为质量的线密别为质量的线密度、面密度和体度、面密度和体密度。密度。线分布线分布

15、体分布体分布面分布面分布3、刚体的形状、刚体的形状与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：1、刚体的质量、刚体的质量 2、转轴的位置、转轴的位置几几种种常常见见刚刚体体的的转转动动惯惯量量书：书：80页页例例1、求长为、求长为l、质量为、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。动惯量。ABlXABl/2l/2CX解：解：2222121mldxxJllC 20231mldxxJlA dxxdxx dmrJ2问问:同一物体转轴不同同一物体转轴不同,J是否相同是否相同?取如图坐标，取如图坐标，dm=dx注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有对于几何形状

16、规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量四、平行轴定理四、平行轴定理231mLJA结论结论:若有任一轴与过质心的轴平行，相距为若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为J，则有：，则有：JJCmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。ABL/2L/2C231mlJA2121mlJC2241121mLmL 22LmJC5、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转动的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,lrdrdvdm2drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212 2221mRJlRm 问：实心圆柱对其轴的转动惯量是多少问：实心圆柱对其轴的转动惯量是多少?作业作业 Bye-bye1、质点、刚体的角动量、角动量定理及其守恒定律，、质点、刚体的角动量、角动量定理及其守恒定律，2、力矩的功、转动动能定理、刚体的势能。、力矩的功、转动动能定理、刚体的势能。作业：一、作业：一、1，2，3，4动量部分习题课动量部分习题课